Regler mit Zustandsrückführung

Indizierung:

• Matrizen = Großbuchstaben mit Unterstrich,
• Vektoren = Kleinbuchstaben mit Unterstrich,
• Transponierte Vektordarstellung, Beispiel: ${\displaystyle {\underline {k}}^{T}\,}$

Standardmäßig liegt ein Vektor immer in Spaltenform vor. Um einen Zeilenvektor zu erhalten, muss ein Spaltenvektor transponiert werden.

Die Regler-Zustandsrückführung (zur Unterscheidung der Rückführung der Zustandsgrößen) bezieht sich auf den Zustandsvektor ${\displaystyle {\underline {x}}(t)}$, der mittels Vektorverstärkung ${\displaystyle {\underline {k}}^{T}}$ laut dem Signalflussplan des Modells des Zustandsregelkreises auf die Eingangsgröße ${\displaystyle V\cdot w(t)\,}$ zurückgeführt wird:

Der lineare Zustandsregler bewertet die einzelnen Zustandsvariablen der Regelstrecke mit Faktoren und summiert die so entstandenen Zustandsprodukte zu einem Soll-Istwert-Vergleich.

${\displaystyle u(t)=V\cdot w(t)-x_{1}\cdot k_{1}-x_{2}\cdot k_{2}-\cdots -x_{n}\cdot k_{n}=V\cdot w(t)-{\underline {x}}(t)\cdot {\underline {k}}(t)\,}$

Die mit dem Regler zurückgeführten bewerteten Zustandsgrößen ${\displaystyle {\underline {k}}\cdot {\underline {x}}(t)\,}$ durchlaufen noch einmal das Zustandsraum-Modell der Strecke und bilden neue Kreis-Zustandsgrößen, wodurch differenzierendes Verhalten entsteht. Deshalb entspricht die Wirkung der zurückgeführten Zustandsgrößen je nach Höhe der Ordnung n der Differenzialgleichung der Strecke der eines ${\displaystyle PD_{(n-1)}\,}$-Reglers.

Die nachfolgenden einfachen algebraischen Gleichungen beziehen sich auf die Zustandsdifferentialgleichung der Größe ${\displaystyle {\underline {x}}'(t)\,}$ laut des um die Regler-Zustandsrückführung erweiterten Blockschaltbildes des Zustandsraum-Modells für eine Eingrößen-Regelstrecke.

Gleichung der Zustandsregler-Rückführung ${\displaystyle {\underline {u}}(t)\,}$:

${\displaystyle {\underline {u}}(t)=V\cdot {\underline {w}}(t)-{\underline {k}}\cdot {\underline {x}}(t)}$

Die Standardform der Zustandsdifferenzialgleichung (vereinfacht auch Zustandsgleichung genannt) der Regelstrecke lautet:

${\displaystyle {\underline {x}}'(t)={\underline {A}}\cdot {\underline {x}}(t)+{\underline {b}}\cdot u(t)}$

Wird die Gleichung der Reglerrückführung für ${\displaystyle {\underline {u}}(t)\,}$ in die Zustandsgleichung eingesetzt, dann ergibt sich die Gleichung des Zustandsdifferenzialgleichung des Regelkreises.

Für regelungstechnische Belange hat die Regelstrecke von Ausnahmen abgesehen immer mehr Pole als Nullstellen. Für n > m vereinfacht sich die Ausgangsgleichung, weil der Durchgriff ${\displaystyle d\,}$ (bzw. ${\displaystyle \,\,{\underline {D}}\,}$) gleich Null wird. Ist die Regelstrecke ein lineares System, so ergeben sich folgende Zustandsgleichungen des Regelkreises:

Gleichungen des Regelkreis-Zustandsraummodells laut des dargestellten grafischen Signalflussplanes:

Gleichung	Bei Eingrößensystemen
Zustandsdifferenzialgleichung des Regelkreises	${\displaystyle {\underline {x}}'(t)=({\underline {A}}\ -\ {\underline {b}}\cdot {\underline {k}})\cdot {\underline {x}}(t)\ +\ {\underline {b}}\cdot V\cdot w(t)}$
Ausgangsgleichung des Regelkreises	${\displaystyle y(t)={\underline {c}}^{T}\cdot {\underline {x}}(t)}$ d = 0 für n > m

Gleichung	Bei Mehrgrößensystemen
Zustandsdifferenzialgleichung des Regelkreises	${\displaystyle {\underline {x}}'(t)=({\underline {A}}-{\underline {B}}\cdot {\underline {K}})\cdot {\underline {x}}(t)+{\underline {B}}\cdot V\cdot w(t)}$
Ausgangsgleichung des Regelkreises	${\displaystyle y(t)={\underline {C}}\cdot {\underline {x}}(t)}$ ${\displaystyle {\underline {D}}\,}$ = 0 für n > m

Für Zustandsregler gibt es im Wesentlichen zwei Entwurfsverfahren. Beim Reglerentwurf zur Polzuweisung (engl. pole placement) werden für Ein- oder Mehrgrößensysteme gewünschte Eigenwerte des Regelkreises durch die Regler-Rückführung festgelegt. Die Güteforderungen aus dem Zeitbereich werden in die Lage der Eigenwerte übersetzt. Die Pole können genau dann beliebig vorgegeben werden, wenn die zu regelnde Strecke vollständig steuerbar ist. Andernfalls gibt es einzelne feste Eigenwerte, die nicht verändert werden können.

Auch der Entwurf eines LQ-Reglers, ein Verfahren zur optimalen Regelung, basiert auf der Struktur der Zustandsrückführung. Jedes Entwurfsverfahren muss auf eine stabile Matrix ${\displaystyle {\underline {A}}-{\underline {b}}\cdot {\underline {k}}\,}$ (oder ${\displaystyle {\underline {A}}-{\underline {B}}\cdot {\underline {K}}\,}$) führen, damit der Regelkreis stabil ist.

Die Zustandsrückführung erfordert die Kenntnis des Zustandes zu jedem Zeitpunkt. Ist die Regelstrecke beobachtbar, so kann der Zustandsvektor durch Einsatz eines Beobachters aus den Ausgangsgrößen rekonstruiert werden.

Siehe Grafikdiagramme für ein Berechnungsbeispiel eines Zustandsreglers im Artikel Zustandsraumdarstellung.

Regler mit Ausgangsrückführung

Begriffsklärung:

Zustandsrückführung

In einem Regelkreis werden über einen Verstärkungsvektor ${\displaystyle {\underline {k}}\,}$ die so bewerteten Zustandsgrößen (= Zustandsvektor ${\displaystyle {\underline {x}}(t)\,}$) der Regelstrecke zurückgeführt zu einem Soll-Istwert-Vergleich mit der Führungsgröße w(t).

Ausgangsrückführung

In einem Regelkreis mit einer im Zustandsraum definierten Regelstrecke wird die Regelgröße y(t) zu einem Soll-Istwert-Vergleich zurückgeführt. Die Zustandsgrößen werden nicht genutzt.

Ein Regelkreis mit Zustandsrückführung kann durch einen überlagerten I- oder PI-Regelkreis mit einer Ausgangsrückführung ausgestattet werden. Damit wird das Vorfilter V überflüssig und die Regelabweichung theoretisch zu Null.

Fazit:

Bei Verzicht auf den Aufwand der Erfassung der Zustandsgrößen steht für den Entwurf eines Reglers nur die Ausgangsrückführung der Regelstrecke zur Verfügung. Bei einer Regelstrecke als Eingrößensystem bedeutet die Ausgangsrückführung für einen Regelkreis, dass es sich um einen Standardregelkreis handelt.

Ein Regler mit einer Ausgangsrückführung kann einen optimierten Regler mit einer Zustandsrückführung nicht ersetzen, weil die Zustandsgrößen dynamisch schneller als die Ausgangsrückführungen reagieren.

Bei Mehrgrößen-Regelstrecken mit Ausgangsrückführungen handelt es sich um Mehrgrößenregelungen. Die Beschreibung derartiger Mehrgrößensysteme erfolgt ebenfalls in der Matrizen / Vektor-Darstellung.

Dezentrale Regler bei Mehrgrößen-Regelstrecken

Bei Mehrgrößensystemen sind die Eingangsgrößen U(s) mit den Ausgangsgrößen Y(s) untereinander über gekoppelte Übertragungssysteme schwach bis stark gekoppelt.

Bei Regelstrecken mit identischer Anzahl von Ein- und Ausgängen mit schwacher Kopplung werden dezentrale Regler für jede Hauptstrecke eingesetzt und die Kopplung bleibt unberücksichtigt. Die eingekoppelten Signalgrößen werden als Störgrößen betrachtet.

Für den dezentralen Regler gilt der konventionelle Entwurf des Reglers mit der Beschreibung der Übertragungsfunktion aller Komponenten unter Vernachlässigung der gegenseitigen Beeinflussung durch Koppelelemente.

Bei einem Einsatz von Standardreglern bietet sich als einfachste Entwurfsstrategie die Pole-Nullstellenkompensation des Reglers mit der Hauptregelstrecke des offenen Regelkreises an. Mit der inversen Laplace-Transformation des geschlossenen Regelkreises kann für ein Eingangs-Testsignal die P-Verstärkung des Regelkreises optimiert werden. Die Ausgangsgröße y(t) kann grafisch dargestellt werden.

Es ist zu beachten, dass die Stellgrößen der Regler nicht durch die Regelstrecken begrenzt werden, anderenfalls sind diese Berechnung und auch alle anderen Methoden der Reglerdimensionierung im komplexen Frequenzbereich nicht gültig.

Sind nichtlineare Elemente oder eine Systemtotzeit in der Strecke enthalten, kann ein optimaler Regler durch numerische Berechnung bestimmt werden. Entweder werden kommerzielle Rechenprogramme verwendet oder alle nichtlinearen Komponenten werden durch logische Gleichungen, alle linearen Komponenten durch Differenzengleichungen für diskrete Zeitintervalle Δt beschrieben.

Mehrgrößenregler mit Entkopplung

Regelstrecken mit starker Kopplung erfordern Mehrgrößenregler, anderenfalls kann die gegenseitige Beeinflussung der Signalgrößen zu einem unbefriedigenden Regelverhalten des Gesamtsystems bis zum Verlust der Stabilität führen.

Für den einfachen Fall der Verkopplung einer Regelstrecke mit 2 Eingängen und 2 Ausgängen treten die häufigsten symmetrischen Verkopplungsarten in P- und V-kanonischer Struktur auf.

Bei der P-kanonischen Struktur wirkt ein Eingang der Strecke über ein Koppelelement (Koppelglied) auf den nicht zugehörigen Ausgang der Strecke. Bei der V-kanonischen Struktur wirkt ein Ausgang der Strecke über ein Koppelelement auf den nicht zugehörigen Eingang der Strecke. Die Koppelelemente können statisches, dynamisches oder beide Eigenschaften aufweisen.

Moderne regelungstechnische Methoden basieren fast alle auf der P-kanonischen Struktur. Liegt das Modell in der Regelstrecke als V-kanonische Struktur vor, kann es in die P-kanonische Struktur umgerechnet werden. Die Regelstrecken und die Entkopplungsregeler können auch in beliebiger Struktur-Mischform realisiert werden.

Die beste Strategie der Entkopplung ist das Einfügen von Entkopplungsreglern, deren Wirkung auf die Entkopplung der Regelstrecke beschränkt ist. Damit kann man die 2 entkoppelten Regelkreise als unabhängige Eingrößenregelkreise betrachten und nachträgliche Parameteränderungen der Regler durchführen. Die ursprüngliche verkoppelte Regelstrecke mit den Hauptregelstrecken G11(s) und G22(s) ändert sich wie nachfolgend dargestellt auf 2 unabhängige Regelstrecken G_S1(s) und G_S2(s):

Der Entkopplungsregler wird zuerst entworfen. Er ist nur abhängig von den Regelstrecken und deren Verkopplung. Die Übertragungsfunktion der Entkopplungsregler für G_R12(s) und G_R21(s) lautet:

Entkopplungsregler G_R12(s) und G_R21(s)

${\displaystyle G_{R12}(s)={\frac {G_{12}(s)}{G_{11}(s)}};\qquad G_{R21}(s)={\frac {G_{21}(s)}{G_{22}(s)}}}$

Ersatzregelstrecke G_S1(s)

Die zwei offenen unabhängigen entkoppelten Regelkreise haben sich bezüglich der Regelstrecke durch die Kopplungselemente geändert. Die neue Regelstrecke G_S1(s) besteht aus der Parallelschaltung der Zweige: G11(s) parallel zu (−1) * G_R21(s) * G12(s)

Die Übertragungsfunktion der neuen Regelstrecke G_S1(s) lautet:

${\displaystyle G_{S1}(s)=G_{11}(s)-G_{R21}(s)\cdot G_{12}(s)}$

Wird in diese Gleichung die Gleichung für G_R21(s) eingesetzt, dann erhält man die neue Übertragungsfunktion der Strecke G_S1(s), die in Verbindung mit dem zugehörigen Entkopplungsregler völlig unabhängig ist. Sie ist nur abhängig von den Übertragungsgliedern der ursprünglichen Strecke mit ihren Verkopplungen:

${\displaystyle G_{S1}(s)={\frac {G_{11}(s)\cdot G_{22}(s)-G_{12}(s)\cdot G_{21}(s)}{G_{22}(s)}}}$

Ersatzregelstrecke G_S2(s)

Die zwei offenen unabhängigen entkoppelten Regelkreise haben sich bezüglich der Regelstrecke durch die Kopplungselemente geändert. Die neue Regelstrecke G_S2(s) besteht aus der Parallelschaltung der Zweige: G22(s) parallel zu (−1) * G_R12(s) * G21(s)

Die Übertragungsfunktion der neuen Regelstrecke G_S2(s) lautet:

${\displaystyle G_{S2}(s)=G_{22}(s)-G_{R12}(s)\cdot G_{21}(s)\,}$

Wird in diese Gleichung die Gleichung für G_R12(s) eingesetzt, dann erhält man die neue Übertragungsfunktion der Strecke G_S2(s), die in Verbindung mit dem zugehörigen Entkopplungsregler völlig unabhängig ist. Sie ist nur abhängig von den Übertragungsgliedern der ursprünglichen Strecke mit ihren Verkopplungen:

${\displaystyle G_{S2}(s)={\frac {G_{11}(s)\cdot G_{22}(s)-G_{12}(s)\cdot G_{21}(s)}{G_{11}(s)}}}$

Der Regelentwurf kann wie in dem Kapitel – „Dezentrale Regler bei Mehrgrößen-Regelstrecken“ geschildert – erfolgen.

Mehrgrößenregler beliebiger Strukturen

Der „echte“ Mehrgrößenregeler hat so viele Eingänge r wie Regelgrößen (wie auch Regelabweichungen) und so viele Ausgänge m wie Stellgrößen.

Die übliche Systembeschreibung von Mehrgrößensystemen erfolgt durch die Übertragungsfunktion aller Elemente in der Matrizen / Vektor-Darstellung. Wie bei Eingrößensystemen ist auch bei Mehrgrößensystemen die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises mit ihren Eigenwerten für die Stabilität verantwortlich.

Bei einschleifigen Regelkreisen wird der Nenner der Übertragungsfunktion des Regelkreises gleich Null gesetzt.

${\displaystyle 1+G_{R}(s)\cdot G(s)=1+G_{O}(s)=0\,}$

Der Regelkreis ist stabil, wenn die Wurzeln der charakteristischen Gleichung sich in der linken s-Halbebene befinden. (Siehe Bedeutung der Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion)

Nachfolgend werden die Schritte beschrieben, um die Übertragungsfunktionsmatrix des geschlossenen Regelkreises und die zugehörige charakteristische Gleichung zu ermitteln:

• Aufstellung der Übertragungsmatrix der verkoppelten Regelstrecke,
• Aufstellung des Matrix-Vektor-Produktes des offenen Regelkreises,
• Aufstellung der Übertragungsfunktionsmatrix des geschlossenen Mehrgrößenregelkreises,
• Darstellung der charakteristischen Gleichung in Matrix-Vektor-Darstellung und skalarer Darstellung.

Um die mathematische Beschreibung einfach zu gestalten, wird von Systemen mit 2 gekoppelten Ein- und Ausgangsgrößen ausgegangen. Eine Erweiterung auf Systeme mit mehreren Ein- und Ausgangsgrößen ist möglich.

Aufstellung der Übertragungsmatrix der verkoppelten Regelstrecke

Laut des dargestellten Blockdiagramms eines offenen Regelkreises wirkt in einem Zweigrößensystems ein Regler G_R(s) auf eine Regelstrecke G(s). Die Kopplung der Regelstrecke ist in P-kanonischer Struktur ausgeführt.

Aus dem Blockschaltbild des offenen Regelkreises können die skalaren Gleichungen der Regelstrecke direkt abgelesen werden:

${\displaystyle Y_{1}(s)=G_{11}(s)\cdot U_{1}(s)+G_{12}(s)\cdot U_{2}(s)}$

${\displaystyle Y_{2}(s)=G_{21}(s)\cdot U_{1}(s)+G_{22}(s)\cdot U_{2}(s)}$

Aufstellung des Matrix-Vektor-Produktes des offenen Regelkreises

In Matrix-Schreibweise ergibt sich folgende Darstellung als Übertragungsmatrix:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Y_{1}(s)\\Y_{2}(s)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}G_{11}(s)&G_{12}(s)\\G_{21}(s)&G_{22}(s)\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{1}(s)\\U_{2}(s)\\\end{bmatrix}}}$

Allgemein lässt sich eine Regelstrecke mit r Eingängen (Stellgrößen) und m Ausgängen (Regelgrößen) durch folgende Matrixgleichung beschreiben:

${\displaystyle {\underline {Y}}(s)={\underline {G}}(s)\cdot {\underline {U}}(s)\,}$

Die genannten Größen haben folgende Bedeutung:

• ${\displaystyle {\underline {G}}(s)\,}$ = Strecken-Übertragungsmatrix,
• ${\displaystyle {\underline {Y}}(s)\,}$ = Regelgrößenvektor,
• ${\displaystyle {\underline {U}}(s)\,}$ = Stellgrößenvektor.

Fasst man die Strecken-Übertragungsmatrix und die Regler-Übertragungsmatrix zusammen, dann ergibt sich folgende Matrixgleichung des offenen Regelkreises:

${\displaystyle {\underline {G}}_{O}(s)={\underline {G}}(s)\cdot {\underline {G}}_{R}(s)={\begin{bmatrix}G_{11}&G_{12}\\G_{21}&G_{22}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}G_{R1}&0\\0&G_{R2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}G_{11}G_{R1}&G_{12}G_{R2}\\G_{21}G_{R1}&G_{22}G_{R2}\\\end{bmatrix}}}$

Aufstellung der Übertragungsfunktionsmatrix des geschlossenen Mehrgrößenregelkreises

Die Übertragungsfunktionsmatrix des offenen Regelkreises ${\displaystyle {\underline {G}}_{O}(s)\,}$ kann mit der Schließbedingung zu einem geschlossenen Regelkreis überführt werden.

Danach lautet die Matrixgleichung der Regelgröße ${\displaystyle {\underline {Y}}(s)\,}$ laut des Blockdiagramms:

${\displaystyle {\underline {Y}}(s)={\underline {G}}_{O}(s)\cdot [{\underline {W}}(s)-{\underline {Y}}(s)]\,}$

Die Schließbedingung mit der Matrix ${\displaystyle {\underline {I}}\,}$ für den r-fachen Regelkreis ergibt:

${\displaystyle {\underline {Y}}(s)={\frac {{\underline {G}}_{O}(s)}{{\underline {I}}+{\underline {G}}_{O}}}\cdot {\underline {W}}(s)\,}$

Damit lautet die Übertragungsfunktionsmatrix des geschlossenen Regelkreises:

${\displaystyle {\underline {G}}_{W}(s)={\frac {{\underline {Y}}(s)}{{\underline {W}}(s)}}={\frac {{\underline {G}}_{O}(s)}{{\underline {I}}+{\underline {G}}_{O}}}}$

Darstellung der charakteristischen Gleichung in Matrix-Vektor-Darstellung und skalarer Darstellung

Der Eigenvorgang des geschlossenen Regelkreises wird beschrieben durch:

${\displaystyle \ [{\underline {I}}+{\underline {G}}_{O}(s)]\cdot {\underline {Y}}(s)={\underline {0}}}$

In Matrizendarstellung lautet diese Gleichung:

${\displaystyle {\Biggl (}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}G_{11}G_{R1}&G_{12}G_{R2}\\G_{21}G_{R1}&G_{22}G_{R2}\\\end{bmatrix}}{\Biggr )}\cdot {\underline {Y}}={\begin{bmatrix}1+G_{11}G_{R1}&G_{12}G_{R2}\\G_{21}G_{R1}&1+G_{22}G_{R2}\\\end{bmatrix}}\cdot {\underline {Y}}={\underline {0}}}$

Eine Lösung dieses Gleichungssystems existiert nur dann, wenn die Determinante von (${\displaystyle {\underline {I}}+{\underline {G}}_{O}\,}$) verschwindet. Man erhält die charakteristische Gleichung des Mehrfachregelkreises:

${\displaystyle {\text{det}}({\underline {I}}+{\underline {G}}_{O})={\begin{vmatrix}1+G_{11}G_{R1}&G_{12}G_{R2}\\G_{21}G_{R1}&1+G_{22}G_{R2}\\\end{vmatrix}}=(1+G_{11}G_{R1})\cdot (1+G_{22}G_{R2})-G_{R1}\cdot G_{R2}\cdot G_{12}\cdot G_{21}=0}$

Damit ist gezeigt, dass ein Mehrgrößensystem wie ein Eingrößensystem auch nur eine charakteristische Gleichung besitzt, die das Stabilitätsverhalten bestimmt.

Der geschlossene Mehrgrößenregelkreis ist dann E/A-stabil, wenn alle Pole (beziehungsweise je nach Betrachtung die Wurzeln) der charakteristischen Gleichung einen negativen Realteil haben.

Anwendung Fuzzy-Controller

Die Hauptanwendung der Fuzzy-Logik bezieht sich auf Fuzzy-Controller für Prozesse mit mehreren Ein- und Ausgangsgrößen, deren mathematische Modelle aufwändig oder schwierig zu beschreiben sind. Dies sind meist technische Prozesse mit konventionellen Verfahren, die korrigierende Eingriffe von Menschenhand (Anlagenfahrer) erfordern, oder wenn der Prozess nur manuell gefahren werden kann. Das Ziel der Anwendung der Fuzzy-Logik ist, solche Prozesse zu automatisieren.

Anwendungsbeispiele sind die Steuerung von Schienenfahrzeugen oder Regalförderanlagen, bei denen Fahrzeiten, Bremswege und Positionsgenauigkeiten von den Massen, Förderwegen, Schienenhaftwerten und Zeitplänen abhängig sind. Im Allgemeinen handelt es sich bei diesen Prozessen um Mehrgrößensysteme, deren Führungsgrößen Programm-gesteuert und -geregelt werden. Einfachere Anwendungen im privaten Haushalt finden sind als Wasch- und Geschirrspülmaschinen.

Die Grundidee des Fuzzy-Controllers bezieht sich auf die Anwendung des Expertenwissens mit linguistischen Begriffen, durch die der Fuzzy-Controller optimiert wird, ohne dass ein mathematisches Modell des Prozesses vorliegt. Der Fuzzy-Controller hat keine dynamischen Eigenschaften.

Diese Anwendungen der Fuzzy-Controller als Kennfeld-Controller in Mehrgrößensystemen gelten als robust und arbeiten auch bei Änderung der Prozess-Parameter noch relativ zuverlässig.

Fuzzy-Regler in Eingrößensystemen

Die auf die Fuzzy-Logik basierenden Fuzzy-Regler sind statische nichtlineare Regler, deren Eingangs-Ausgangkennlinie in Abhängigkeit von den gewählten Fuzzy-Sets und deren Bewertung (Regelbasis) abhängt. Die Eingangs-Ausgangskennlinie kann in allen Quadranten des Koordinatensystems, speziell nichtlinear durch den Ursprung im 1. und 3. Quadranten, lückend (Ausgangsgröße = 0) in der Nähe des Ursprungs oder nur positiv im 1. Quadranten verlaufen. Sie kann als extremes Beispiel durch Wahl der Lage der Fuzzy-Sets auch linear verlaufen oder ein klassisches 3-Punkt-Regelverhalten zeigen.

Fuzzy-Regler haben keine dynamischen Komponenten. Als Eingrößensysteme sind sie deshalb im Verhalten mit einem Proportional-Regler (P-Regler) vergleichbar, dem in Abhängigkeit von den linguistischen Variablen und deren Bewertung eine beliebige nichtlineare Kennlinie gegeben wird. Deshalb sind Fuzzy-Regler für lineare Eingrößen-Regelstrecken einem optimierten konventionellen Standardregler mit PI-, PD- oder PID-Verhalten hoffnungslos unterlegen.

Fuzzy-Regler können durch Erweiterung der Eingangskanäle mit integralem und differenziellem Anteil zu einem PID-Verhalten modifiziert werden. Sie haben gegenüber dem klassischen PID-Regler keinen funktionellen Vorteil, sind aber fähig, eine nichtlineare Funktion der Regelstrecke zu kompensieren. Bei zwei oder mehreren Signal-Eingängen wird der Fuzzy-Regler zu einem Kennfeldregler.

Anwendungen des Zweipunktreglers

• Regelstrecken mit Beharrungsverhalten

Grundsätzlich können nur Regelstrecken ohne I-Verhalten eingesetzt werden, deren Ausgangsgröße im stationären Zustand einem Beharrungszustand anstrebt. Wenn der Zweipunktregler einen positiven und negativen Ausgang (alternativ einen aktiven 2. Ausgang) hat, können theoretisch auch I-Regelstrecken und instabile PT1-Glieder geregelt werden. In der Praxis kommen für motorische Stellantriebe Dreipunktregler zum Einsatz, die eine Kennlinie mit einer „Totzone“ aufweisen und damit einen schaltfreien Ruhezustand ermöglichen.

• Stellglieder des Reglers

Die Schnittstelle „Ausgang des Reglers“ und „Eingang der Regelstrecke“ ist meist durch eine gegebene Regelstrecke festgelegt. Für die Anwendung des Zweipunktreglers kommen nur Regelstrecken-Eingänge mit Zweipunktverhalten in Frage. Das sind zum Beispiel Schütze, Ventile, Magnete und andere elektrische Anlagen.

Kleine elektrische Leistungen können mit Relais, Bimetall-Schaltern und Transistoren gesteuert werden. Für die Steuerung großer elektrischer Leistung des Stellgliedes werden Schütze, Leistungstransistoren und Thyristoren eingesetzt.

• Genauigkeitanforderungen

Einfache Regelkreise mit geringen Genauigkeitsanforderungen, bei denen eine bestimmte Welligkeit (Oszillation) um den Wert der Regelgröße akzeptiert wird, können mit elektromechanischen Reglern betrieben werden. Dies gilt insbesondere für Regelstrecken mit großen Zeitkonstanten.

Bei großen Genauigkeitsanforderungen an die Regelgröße sind angepasste elektronische Zweipunktregler erforderlich. Dies gilt für schnelle Regelstrecken, gewünschtem quasistetigen Verhalten der Regelgröße und gute Störunterdrückung.

Zweipunktregler mit Hysterese

Für die Berechnung bzw. die Simulation eines Schaltregelkreises muss das Verhalten des Zweipunktreglers klar definiert sein. Der ideale Zweipunktregler vergleicht ein Eingangssignal e(t) > 0 und e(t) < 0 und liefert ein Ausgangssignal u(t) = U_MAX oder u(t) = u(0). Bei einer Regelstrecke 1. Ordnung würde durch den idealen Zweipunktregler eine sehr hohe Schaltfrequenz entstehen, die durch die zufällig gewählten Schaltkomponenten und der Regelstrecke bestimmt wäre. Deshalb erhält ein komfortabler realer Schaltregler eine möglichst einstellbare Hysterese zugeordnet.

Wichtigste Komponente dieses idealen Zweipunktreglers ist der Komparator, der 2 Spannungen vergleicht. Durch positive Rückführung (Mitkopplung) eines einstellbaren kleinen Anteil der Ausgangsgröße wird das Hystereseverhalten erreicht. Eine symmetrische Hysterese für das Eingangssignal e(t) > Null und e(t) < Null entsteht, wenn die Ausgangsgröße des Komparators positive und negative Werte annehmen kann. Eine Endstufe sorgt dann für die Beziehungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}e(t)&>{\text{Hysteresekriterium}}={\text{Ein}}=U_{\text{MAX}}\\e(t)&<-{\text{Hysteresekriterium}}={\text{Aus}}=0\end{aligned}}}$

Die Größe der Hysterese bezieht sich laut Signalflussplan auf das Ausgangssignal des idealen Zweipunktreglers u1(t) = ±U1_MAX, das über den Kopplungsfaktor K_H auf den Eingang des Reglers positiv zurückgeführt wird. Diesen Anteil muss die Regelabweichung e(t) als Eingangsgröße des Reglers überschreiten oder unterschreiten, damit der Zweipunktregler reagiert.

Der symmetrische Bereich der Hysterese beträgt:

${\displaystyle \pm U_{H}=K_{H}\cdot \pm U1_{\text{MAX}}\,}$

Der Kopplungsfaktor K_H kann empirisch bei der Auslegung des Reglers festgelegt werden. Der symmetrische Hystereseeinfluss U_H kann auch in [%] des Reglerausgangs u1(t) = U1_MAX definiert werden:

Der Kopplungsfaktor K_H beträgt für U_H[%]:

${\displaystyle K_{H}={\frac {U_{H}[\%]\cdot U1_{MAX}}{100}}}$

Schaltfrequenz im Regelkreis

Die Schaltfrequenz eines Regelkreises mit einem realen Zweipunktregler wird bestimmt durch:

• die Größe der Zeitkonstanten der Regelstrecke,
• die Ordnung der Differenzialgleichung bzw. der Übertragungsfunktion der Regelstrecke,
• die Größe der Hysterese des Reglers,
• eine evtl. vorhandene Totzeit der Regelstrecke,
• eine positive Rückführung über ein zeitverzögerndes Element am Regler-Ausgang,
• in geringem Maße durch die Größe des Sollwertes.

Die Schaltfrequenz f_SCHALT ergibt sich durch die Größe der Einschaltzeit t_EIN und der Ausschaltzeit t_AUS im Regelkreis und bestimmt damit die Periodendauer.

${\displaystyle f_{SCHALT}={\frac {1}{t_{EIN}+t_{AUS}}}}$

Die optimale Schaltfrequenz ist erreicht, wenn eine weitere Zunahme der Frequenz nur höhere Schaltverluste bringt, ohne die Regelabweichung der Regelgröße zu verbessern, beziehungsweise wenn die Schaltüberlagerungen der Regelgröße unterhalb der angezielten Genauigkeitsklasse liegen.

Der Einfluss der Hysterese wirkt als Verzögerung der zeitabhängigen Regelabweichung e(t). Die Regelabweichung muss im positiven und im negativen Bereich die Größe der Hysterese überwinden, bis der Regler reagiert. Die Größe der Hysterese verstimmt die Regelabweichung und damit die Regelgröße. In vielen Fällen reicht eine Hysterese von 0,1 % bis 1 % der Stellgröße.

Im Regelkreis mit einem realen Zweipunktregler mit Hysterese wird mit steigender Hysterese die Schaltfrequenz niedriger. Bei einer Regelstrecke 1. Ordnung ergibt sich eine sehr hohe Schaltfrequenz, die durch die Einstellung einer größeren Hysterese reduziert wird.

Für eine PT1-Regelstrecke mit einem Zweipunktregler mit Hysterese kann der Verlauf der Regelgröße y(t) als Sprungantwort grafisch konstruiert werden. Es handelt sich dabei um Ausschnitte des exponentiellen Anstiegs und Abfalls des Verlaufs des geschalteten PT1-Gliedes entsprechend der Zeitkonstanten.

Eine Regelstrecke höherer Ordnung kann als ein System mit Ersatztotzeit aufgefasst werden und führt zu einer niedrigen Schaltfrequenz. Durch zusätzliche Rückführungsmaßnahmen der Stellgröße u(t) kann die Schaltfrequenz erhöht und eine zufriedenstellende Regeleigenschaft erreicht werden.

Eine echte Systemtotzeit in der Größe von mehr als 10 % der dominanten Zeitkonstante der Regelstrecke führt zu einer niedrigen Schaltfrequenz und damit zu großer Welligkeit des Signals der Regelgröße mit annäherungsweise 10 %. Zusätzliche Rückführungsmaßnahmen der Stellgröße ergeben nur mit einer verzögert nachgebenden Rückführung eine Verbesserung. Je größer die dominante Zeitkonstante der Regelstrecke ist, umso weniger kritisch ist die Einstellung der Reglerparameter. Der Schaltregler ist je nach Anspruch an die Genauigkeit der Regelgröße für Regelstrecken mit Totzeit in dynamischer Hinsicht besser geeignet als ein stetiger Standardregler.

Mathematische Behandlung des Zweipunktreglers im Regelkreis

Für die Berechnung des Regelkreises werden häufig normierte Größen eingeführt. Handelt es sich zum Beispiel um eine Temperaturregelung, bei der die elektrische Energie über ein Schütz oder über eine Leistungselektronik zugeführt wird, können der Sollwert w(t), die Stellgröße u(t) und die Regelgröße y(t) in der Dimension Temperatur ausgedrückt werden. Die Sprungantwort der Stellgröße u(t) für den Wert U_MAX stellt sich erst nach einer theoretisch unendlich langen Zeit an der Regelstrecke ein.

Für die Normierung der Systemgrößen können die maximalen Werte der Führungsgröße w(t) und der Regelgröße y(t) des Regelkreises mit 100 % oder mit 1 dargestellt werden. Die maximale Stellgröße U_MAX muss größer als die maximale Regelgröße sein.

Die Stellgröße u1(t) = ±U1_MAX kann in einem beliebigen Verhältnis zu ±U_MAX stehen und wird meist durch die verwendeten Elektronik-Bausteine bestimmt. Die Größe der Hysterese U_H ist abhängig von ±U1_MAX und dem Kopplungsfaktor U_K.

Es ist zu beachten, dass die Aufheizzeitkonstanten der Regelstrecke nicht identisch mit den Abkühlzeitkonstanten sein müssen.

Die einzig sinnvolle und relativ einfache Berechnungsmethode eines Regelkreises mit Zweipunkt und Mehrpunkt-Reglern ist die Anwendung kommerzieller Rechenprogramme oder die numerische Behandlung mit der diskretisierten Zeit Δt auf der Basis logischer Gleichungen kombiniert mit den Differenzengleichungen linearer Systeme. Das zeitliche Verhalten sämtlicher Regelkreisgrößen wird tabellarisch und grafisch direkt dargestellt.

Die numerische Beschreibung des Zweipunktreglers mit Hysterese besteht aus einer einfachen linearen und 2 nichtlinearen Gleichungen. Die logische Beschreibung kann mit der WENN-, DANN-; SONST-Anweisung der Tabellenkalkulation laut des dargestellten Signalflussplanes erfolgen.

Dieser Regler hat kein Zeitverhalten, aber er bewirkt an seinem Ausgang eine Phasenverschiebung zu einem zeitabhängigen Eingangssignal.

Die 3 folgenden numerisch zu lösenden Gleichungen sind in der Reihenfolge festgelegt und werden durch Rekursion gelöst.

Lineare numerische Gleichung der Rückführung für das Hystereseverhalten:

${\displaystyle E1_{(n)}=E_{(n)}+K_{H}\cdot U1_{(n-1)}}$

(Anmerkung: ${\displaystyle U1_{(n)}}$ ist laut der Gleichungsreihenfolge noch nicht bekannt)

Nichtlineare Gleichung des Komparators:

${\displaystyle U1_{(n)}=[WENN\ \ E1_{(n)}>0];\ DANN\ =U1_{MAX};\ SONST\ =-U1_{MAX})}$

Nichtlineare Gleichung der Stellgröße:

${\displaystyle U_{(n)}=[WENN\ \ U1_{(n)}>0];\ DANN\ =U_{MAX};\ SONST\ =0)}$

Die Indizierungen mit n bedeuten: n = (0; 1; 2; 3; …) = Rekursionsfolge, n-1 = um eine Folge zurückliegendes Ergebnis.

Für die Berechnung eines Regelkreises werden für eine Rekursionsfolge der gleichen Zahl n alle Systeme der Systemkette hintereinander mit der diskreten Zeit Δt berechnet. n * Δt ist die aktuelle Zeit der Folge n.

Die Rekursionsfolge für eine beliebige Zahl von n lautet für einen Regelkreis:

• Regelabweichung E(n) = W(n) - Y(n-1),
• Regler: Gleichungen des Zweipunktreglers,
• Regelstrecke mit linearen Elementen: Differenzengleichungen

Im Artikel Regelkreis mit dem Kapitel Unstetige Regler wird der Entwurf mit unstetigen Reglern behandelt.

Zweipunktregler mit zeitabhängiger Rückführung

Einfachste Bimetall-Regler, die bei Heizanlagen meist nur auf einen festen Temperatur-Schaltpunkt reagieren, sind seit langem im Einsatz. Um Überschwingungen der Regelgröße bei einem Sollwertsprung zu vermeiden und um die Schaltfrequenz zu erhöhen, wird durch den aktiven Einschaltvorgang des Schaltreglers gleichzeitig durch eine kleine Heizquelle der Bimetall-Regler zum vorzeitigen Abschalten geführt. Dieses Verhalten bezeichnet man mit „Thermischer Rückführung“.

Elektronische Regler mit einer zeitabhängigen Rückführung des Ausgangssignals erlauben eine beliebige Anpassung des Reglers an die Regelstrecke. Sie wirken alle subtrahierend auf die Regelabweichung und erhöhen damit die Schaltfrequenz. Nachteilig wirkt bei größerem Einfluss die damit verbundene Verstimmung der Regelabweichung und damit die Abweichung der Regelgröße vom Sollwert.

Eine wesentlich bessere Eigenschaft der Rückführung ergibt sich, wenn die Verstimmung der Regelabweichung nur vorübergehend wirkt und dann exponentiell abnimmt.

Durch folgende bekannte Rückführungsmaßnahmen des Zweipunktregler wird die Dynamik des Regelkreises verbessert:

• Zweipunktregler mit nachgebender Rückführung

Die Stellgröße des Reglers wirkt auf ein PT1-Glied, dessen Ausgangssignal subtraktiv die Regelabweichung beeinflusst. Ein Faktor K_R beispielsweise im Bereich 10 % Umax bestimmt den Einfluss der Rückführung. Da die Rückführung entsprechend der sich einstellenden Schaltfrequenz ständig das Signal der Regelabweichung in Form einer sägezahnförmigen Spannung mit Gleichspannungsanteil verstimmt, ist diese Art für genaue Regelungen nicht zu empfehlen.

Mit steigender Zeitkonstante der Rückführung wird die Schaltfrequenz des Regelkreises niedriger. Mit steigender Verstärkung mit dem Faktor K_R wird die Schaltfrequenz höher, die Regelabweichung größer und das Überschwingverhalten der Regelgröße geringer.

Zweipunktregler mit nachgebender Rückführung entsprechen annähernd dem Verhalten eines PD-Reglers. Überschwingungen nach einem Sollwertsprung werden reduziert. Eine ständige Regelabweichung im stationären Zustand steht an.

Übertragungsfunktion der Rückführung mit einem PT1-Glied lautet:

${\displaystyle G_{\text{RÜCK}}(s)={\frac {K_{R}}{T_{R}\cdot s+1}}}$

Die mathematische Beschreibung des Zweipunktreglers mit Hysterese und der nachgebenden Rückführung besteht aus 2 einfachen linearen und 2 nichtlinearen Gleichungen. Die logische Beschreibung kann mit der WENN-, DANN-; SONST-Anweisung der Tabellenkalkulation laut des dargestellten Signalflussplanes erfolgen.

Es gilt noch die numerische Gleichung der Rückführung für den Hysterese-Effekt:

${\displaystyle E1_{(n)}=E_{(n)}+K_{H}\cdot U1_{(n-1)}}$

Das Hysterese-Produkt wird zu ${\displaystyle u(t)}$ addiert, die nachgebende Rückführung u_R(t) von ${\displaystyle e(t)}$ subtrahiert.

Die zugehörige numerische Gleichung lautet:

${\displaystyle E1_{(n)}=E_{(n)}+K_{H}\cdot U1_{(n-1)}-U_{R(n-1)}}$

Logische Gleichung des Zweipunktreglers:

${\displaystyle U1_{(n)}=[WENN\ \ E1_{(n)}>0];\ DANN\ =U1_{MAX};\ SONST\ =-U1_{MAX})}$

Logische Gleichung der Stellgröße:

${\displaystyle U_{(n)}=[WENN\ \ U1_{(n)}>0];\ DANN\ =U1_{MAX};\ SONST\ =0)}$

Differenzengleichung des PT1-Gliedes der Rückführung:

${\displaystyle U_{R(n)}=U_{R(n-1)}+[K_{PT1}\cdot U_{R(n)}-U_{R(n-1)}]\cdot {\frac {\Delta t}{T+\Delta t}}}$

• Zweipunktregler mit verzögert-nachgebender Rückführung

Variante: 2 parallelgeschaltete PT1-Glieder in Differenzschaltung

Erweitert man die nachgebende Rückführung um einen Parallelzweig mit einem weiteren PT1-Glied mit größerer Zeitkonstante, das additiv die Regelabweichung beeinflusst, dann verläuft die Sprungantwort dieser Rückführung nach genügend langer Zeit zu dem Wert Null.

Im stationären Zustand einer beliebigen Schaltfrequenz im Regelkreis subtrahieren sich die Gleichspannungsanteile der beiden zurückgeführten sägezahnförmigen Signale der PT1-Glieder. Aktiv bleibt die relativ kleine Differenz der beiden Welligkeiten als Wechselspannungsüberlagerung um die Regelabweichung des Niveaus Null. Die Amplituden dieser Welligkeit sind durch die Größe der Hysterese beziehungsweise durch die sich einstellende Schaltfrequenz gegeben.

Das Ergebnis der Sprungantwort (Übergangsfunktion) dieser Rückführung in Differenzschaltung ist ein einzelner exponentiell schnell ansteigender und dann exponentiell flach gegen Null abfallender sinusähnlicher Impuls. Aufgabe des Impulses ist die Verstimmung der Regelabweichung und damit die vorzeitige Abschaltung der Stellgröße, bevor die Regelgröße den Sollwert erreicht.

Als Regler-Entwurfsstrategie ist die Dauer des Impulses der maximalen Anstiegszeit der Regelgröße bis zum Erreichen des Sollwertes anzupassen. Bei geeigneter Auslegung der Rückführung und der Hysterese des Reglers kommt es im Regelkreis bei einem größeren Sollwertsprung zu einer vorzeitigen Abschaltung des Stellgliedes und Reduzierung der Überschwingung der Regelgröße. Die Regelabweichung ist im stationären Zustand nahezu Null.

Übertragungsfunktion der Rückführung:

${\displaystyle G_{\text{RÜCK}}(s)=K_{R}*\left({\frac {1}{T1_{R}*s+1}}-{\frac {1}{T2_{R}*s+1}}\right)}$

für T2_R > T1_R

Die Interpretation des PID-ähnlichen Verhaltens ist bei Zweipunktreglern so zu verstehen, dass der D-Anteil des Reglers dem vorzeitigen Abschalten des Reglerausgangs entspricht und das I-Verhalten des Reglers durch die hohe Schaltverstärkung erreicht wird, durch die kaum eine relevante Regelabweichung entsteht. Vorausgesetzt ist, dass der Regelkreis auf die optimale Schaltfrequenz eingestellt ist.

• Zweipunktregler mit verzögert-nachgebender Rückführung

Variante: 2 PT1-Glieder mit einem D-Glied in Produktform

Dies ist eine andere Variante eines Zweipunktreglers mit PID-ähnlichem Verhalten. Die Rückführung besteht aus 2 PT1-Gliedern und einem D-Glied, wobei das D-Glied und ein PT1-Glied die gleiche Zeitkonstante aufweisen.

Das Ergebnis einer Sprungantwort dieser Rückführung nach einem positiven Eingangssprung ist ein einzelner gedämpft ansteigender sinusähnlicher Impuls, der exponentiell nach Null abfällt.

Die Wirkung dieser beiden Verfahren der verzögert nachgebenden Rückführungen ist praktisch identisch. Lediglich die Parameter sind anders einzustellen.

Übertragungsfunktion der Rückführung:

${\displaystyle G_{R{\ddot {U}}CK}(s)={\frac {K_{R}*T2_{R}*s}{(T1_{R}*s+1)*(T2_{R}*s+1)}}}$

Testsignale zur Identifizierung des Zweipunktreglers

• Sprungantwort des Zweipunktreglers

Anders als in der Klasse der stetigen Regler (Ausnahme P-Regler) haben alle Formen des Zweipunktreglers laut Definition im Signalflussplan als Sprungantwort scheinbar kein Zeitverhalten.

Wenn ein vom negativen zum positiven Bereich kommendes Sprungsignal die eingestellte Hysterese des Reglers überwinden kann, springt das Ausgangssignal des Reglers auf den Schaltzustand U_MAX. Dies ist unabhängig von der Größe einer vorhandenen zeitabhängigen Rückführung.

Das übliche normierte Testsignal „Einheitssprung = 1“ und die zugehörige Sprungantwort ist deshalb keine Maßnahme zur Identifizierung des Verhaltens des Zweipunktreglers.

• Testsignal Wechselspannung

Der Zweipunktregler ohne Hysterese reagiert auf die Amplituden der Wechselspannung im Nulldurchgang mit einer Rechteckspannung der Amplituden Umax gleicher Phasenlage. Bekommt der Regler eine symmetrisch wirkende Hysterese zugeordnet, reagiert er auf die Wechselspannung, wenn deren Amplitude größer als die Hysterese in % des Ausgangssignals Umax ist. Je nach Frequenz der Wechselspannung vergeht vom Nulldurchgang bis zur Überwindung der Hysterese eine Zeit, die eine nacheilende Phasenverschiebung der Rechtspannung verursacht.

• Testsignal Wechselspannung für Zweipunktregler mit Rückführung

Rückführungen des Regler-Ausgangssignals mit zeitabhängigen Elementen wirken subtrahierend auf das Eingangssignal, um die Regelabweichung so zu verstimmen, dass der Regler vorzeitig ausschaltet. Damit wird im Regelkreis das Überschwingen der Regelgröße beim Erreichen des Sollwertes reduziert und die Schaltfrequenz erhöht. Eine verzögert nachgebende Rückführung reduziert zeitabhängig den Einfluss der dauernden Verstimmung der Regelabweichung.

Mit einem Wechselspannungs-Testsignal kann das Arbeiten eines Zweipunktreglers und die Größe der Hysterese geprüft werden.

Für die Ermittlung des Zeitverhaltens eines gegebenen Zweipunktreglers mit Rückführung mit einem symmetrischen Wechselspannungs-Testsignal muss der Mittelwert der Einschalt- und Ausschaltdauer während einer Periodendauer gebildet werden. Für hochwertige Regelungen der Genauigkeitsklasse < 1 % ist zu beachten, dass der Einfluss der Hysterese bei der Größenordnung < 1 % und der (vorübergehende) Einfluss der Rückführung bei der Größenordnung < 5 % liegt. Dieser Messvorgang ist schwierig.

Die wirkliche qualitative Beurteilung des Verhaltens eines angepassten Zweipunktreglers und der benötigten Parameter für eine vorhandene Regelstrecke ist am einfachsten durch eine Simulation des Regelkreises möglich.

Systemgrößen des symmetrischen Dreipunktreglers

• U_MAX und -U_MAX entsprechen der maximalen und minimalen Stellgröße des Reglers,
• U1_MAX und -U1_MAX entsprechen der maximalen und minimalen Ausgangsgröße des Komparators. Für die Berechnung und Simulation des Regelkreises ist das Signal u1(t) vorteilhaft, wenn U1_MAX und U1_MIN der maximalen und minimalen Stellgröße zugeordnet werden.
• u1(t) beziehungsweise u(t) ist die modulierte Stellgröße des Dreipunktreglers, welche die Amplituden U_MAX und -U_MAX oder Null annehmen kann.

• Die Hysterese in % mit dem Einfluss u_H(t) bezieht sich im positiven Bereich auf die Ausgangsgröße des Komparators U_MAX und im negativen Bereich auf -U_MAX. Laut dargestelltem Blockschaltbild und der Grafik mit der Funktionstabelle wirkt die Hysterese jeweils am Ende des positiven und negativen Bereichs der Totzone. Ist die Totzone gleich Null, wirken zwei getrennte Hysteresebereiche für positive und negative Reglerausgangsgrößen.

Für die Einstellung der Hysterese muss das Verhältnis von U_MAX zu U1_MAX berücksichtigt werden. Der Faktor der Hysterese beträgt:

${\displaystyle K_{H}(n)={\frac {{\text{Hysterese}}[\%]*U1_{MAX}}{U_{MAX}*100}}}$

• Totzone E_TOT

Die Werte von E_TOT und -E_TOT beziehen sich auf einen Bereich des Eingangssignals e1(t), bei dem das Ausgangssignal e2(t) den Wert Null annimmt. Die Dimensionierung der Totzone ist abhängig von der Art der Regelstrecke.

Die Stellgröße eines Dreipunktreglers in Verbindung mit einer P-Regelstrecke schwingt immer im positiven Bereich, wenn die Totzone optimiert wurde. Eine zu große Totzone vergrößert die stationäre Regelabweichung der Regelgröße.

Je höher die Ordnung einer I-Regelstrecke ist und je größer die Totzeit, umso größer muss die Totzone gewählt werden, damit die Regelgröße auch innerhalb des Toleranzbereichs in den stationären schaltfreien Zustand kommt. Die Totzone wirkt erst, wenn U_TOT > des Anteils der Hysterese u_H(t) ist.

In der Anwendung bei einem Regelkreis ist die Wirkung der Totzone erheblich größer als die der Hysterese. Die Totzone wird an das Einschwingverhalten der Regelgröße angepasst.

Numerische Beschreibung des Dreipunktreglers mit Hysterese und Totzone

• Einfluss der Hysterese u_H: (Symmetrie der Komparatorsignale U1_MAX und -U1_MAX vorausgesetzt)

${\displaystyle E1(n)=E(n)+U_{H}(n-1)\,}$

• Totzone (2 nichtlineare Gleichungen und deren Addition):

${\displaystyle E21(n)=WENN(E1(n)<\ \ E_{TOT};\ 0;\ E1(n))}$

${\displaystyle E22(n)=WENN(E1(n)<-E_{TOT};\ E1(n);\ 0)}$

${\displaystyle E2(n)=E21(n)+E22(n)}$

• Komparator mit Hystereserückführung

In der Fachliteratur ist die übliche zeitunabhängige Darstellung des Ausgangssignals u als Funktion des Eingangssignals e des Dreipunktreglers als positives oder negatives Signal für den aktiven Zustand gezeichnet. Diese Form des Ausgangssignals mit den Amplituden U1_MAX und -U1_MAX ist für die Berechnung und Simulation des Regelkreises vorteilhaft.

Ausgangsgröße des Komparators:

${\displaystyle U1(n)=WENN(E2(n)>U_{H};\ U1_{MAX};\ WENN(E2(n)<-U_{H};\ -U1_{MAX};\ 0))}$

Hystereseanteil:

${\displaystyle U_{H}(n)=U1(n)*K_{H}}$

In der Realität sind dem laut Signalflussplan dargestellten Ausgangssignal u1(t) 2 unabhängige Schalter nachgeschaltet, welche die Schnittstelle der Regelstrecke mit den Schaltern U_SCH1 und U_SCH2 steuern. Die geschalteten Signale entsprechen U1_MAX und -U1_MAX.