Annahmen

Die Volkswirtschaft wird im Solow-Modell als eine Aggregatseinheit angesehen (sozusagen als ein einziger Haushalt), die jegliche Produktions- und Konsumaktivität vornimmt. Weiterhin wird von der Existenz eines Staates abstrahiert und man nimmt an, dass keine monetären Effekte vorliegen, d. h. alle Güterpreise sind auf 1 normiert ${\displaystyle (p\equiv 1)}$. Die Volkswirtschaft besitzt zu jedem Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ gewisse Mengen an Kapital (${\displaystyle K}$), Arbeit (${\displaystyle L}$) und Technologie (${\displaystyle T}$), aus denen zusammen gemäß einer Produktionsfunktion (${\displaystyle F}$), Output (${\displaystyle Y}$) produziert wird:

${\displaystyle Y_{t}=F(K_{t},T_{t}\cdot L_{t})}$

Das Produkt ${\displaystyle T_{t}\cdot L_{t}}$ wird dabei als effektive Arbeit bezeichnet. Für die Produktionsfunktion ${\displaystyle F}$ wird angenommen, dass sie neoklassisch ist, also folgende vier Eigenschaften aufweist:

1. Essentialität der Produktionsfaktoren. Ein Produktionsfaktor wird als essentiell bezeichnet, wenn ohne dessen Einsatz der Output stets 0 beträgt:

   ${\displaystyle F(K_{t}=0,T_{t}L_{t}>0)=0,\;\;F(K_{t}>0,T_{t}L_{t}=0)=0}$

2. Konstante Skalenerträge bzw. Homogenität vom Grad 1 in effektiver Arbeit und Kapital. Ökonomisch bedeutet dies: Ein vermehrter/verminderter Einsatz dieser Produktionsfaktoren führt zu einer im gleichen Verhältnis erhöhten/verminderten Produktion:

   ${\displaystyle F(\lambda K_{t},\lambda T_{t}L_{t})=\lambda F(K_{t},T_{t}L_{t})}$

3. Positive und abnehmende Grenzerträge:Die Grenzerträge von Kapital und effektiver Arbeit sind positiv, sinken aber mit zunehmendem Einsatz des jeweiligen Faktors. Wird also beispielsweise mehr effektive Arbeit verwendet, so steigt die Produktion, aber sie steigt weniger, wenn bereits viel effektive Arbeit eingesetzt wird. Mathematisch bedeutet dies, dass die ersten partiellen Ableitungen der Produktionsfunktion nach effektiver Arbeit und Kapital positiv, die jeweiligen zweiten Ableitungen aber negativ sind:

   ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial K_{t}}}>0,\;\;{\frac {\partial ^{2}F}{\partial K_{t}^{2}}}<0}$

   ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial (T_{t}L_{t})}}>0,\;\;{\frac {\partial ^{2}F}{\partial (T_{t}L_{t})^{2}}}<0}$

4. Die sogenannten Inada-Bedingungen müssen erfüllt sein, d. h., dass das Grenzprodukt eines jeden Produktionsfaktors bestimmt divergiert, wenn man nur den jeweiligen Faktoreinsatz gegen null streben lässt. Lässt man den jeweiligen Faktoreinsatz hingegen gegen unendlich streben, so konvergiert das Grenzprodukt des Faktors gegen null:

   ${\displaystyle \lim _{K_{t}\to 0}{\frac {\partial F}{\partial K_{t}}}=\infty \quad {\textrm {und}}\quad \lim _{K_{t}\to \infty }{\frac {\partial F}{\partial K_{t}}}=0}$

   ${\displaystyle \lim _{L_{t}\to 0}{\frac {\partial F}{\partial (T_{t}L_{t})}}=\infty \quad {\textrm {und}}\quad \lim _{L_{t}\to \infty }{\frac {\partial F}{\partial (T_{t}L_{t})}}=0}$

Ökonomisch bedeutet dies, dass bei gegebener Technologie in einer Volkswirtschaft der Output nicht beliebig gesteigert werden kann, indem der Arbeitseinsatz (bzw. Kapitaleinsatz) immer weiter erhöht wird. Somit ist eine positive Wachstumsrate des Einkommens im Falle einer neoklassischen Produktionsfunktion ohne technischen Fortschritt bei Gültigkeit der Inada-Bedingungen langfristig nicht möglich.

In seiner einfachsten Form bezieht sich das Solow-Modell außerdem auf eine geschlossene Volkswirtschaft ohne Staatstätigkeit. Einkommen und Produktion müssen sich in einer solchen Volkswirtschaft entsprechen, die Produktion kann deswegen entweder für Konsum oder für Investitionen verwendet werden (Outputverwendungsgleichung):

${\displaystyle Y_{t}=C_{t}+I_{t}}$

Die Bruttoinvestitionen entsprechen ex post außerdem genau dem, was die Volkswirtschaft spart: ${\displaystyle S_{t}\equiv I_{t}}$ (Siehe hierzu auch Investition und Sparen). In einer geschlossenen Volkswirtschaft ist somit ${\displaystyle S_{t}=Y_{t}-C_{t}}$. Das Sparverhalten der Volkswirtschaft wird durch eine konstante Sparquote (${\displaystyle s=\mathrm {const.} }$) modelliert: ${\displaystyle S_{t}=s\cdot Y_{t}}$, wobei ${\displaystyle s}$ zwischen 0 und 1 liegt. Die Volkswirtschaft spart also in jeder Periode einen gewissen Prozentsatz der gesamten Produktion. Diese über die Zeit konstante Sparquote ${\displaystyle s}$ wird als ein nicht im Modell bestimmter, exogener Parameter angenommen. Die Resultate zusammengefasst gilt:

${\displaystyle Y_{t}=C_{t}+I_{t}=C_{t}+S_{t}=C_{t}+sY_{t}}$ mit ${\displaystyle s\in [0,1]}$

Zwei weitere Annahmen betreffen Kapital und Arbeit: Hinsichtlich Kapital wird angenommen, dass in jeder Periode ein gewisser Prozentsatz ${\displaystyle \delta }$ des bestehenden Kapitals unbrauchbar wird (Abschreibungen), während die arbeitende Bevölkerung mit einer konstanten Wachstumsrate ${\displaystyle n}$ exponentiell wächst. Weiterhin wird angenommen, dass die Sparquote ${\displaystyle s}$, aufgrund der unterstellten Gleichheit von Sparen und Investitionen, der Investitionsquote ${\displaystyle \gamma }$ entspricht. Dies ist jedoch keine restriktive Annahme, da in der Realität eine annähernde Gleichheit der beiden Quoten über die Zeit herrscht.

Der Wachstumsprozess

Zur Analyse von Volkswirtschaften mit wachsender Bevölkerung und zur besseren Vergleichbarkeit von Volkswirtschaften unterschiedlicher Größe werden die Modellgrößen nicht absolut, sondern pro Kopf ausgedrückt, wobei Kleinbuchstaben für Pro-Kopf-Größen verwendet werden. Man definiert demgemäß:

${\displaystyle y_{t}\equiv {\frac {Y_{t}}{L}}={\frac {F(K_{t},T_{t}L)}{L}}=F\left({\frac {K_{t}}{L}},T_{t}\right)}$,

wobei die letzte Gleichung aus der Annahme konstanter Skalenerträge folgt.

Unter der Annahme einer konstanten Technologie ${\displaystyle T_{t}}$ kann dann mit dem Pro-Kopf-Kapital ${\displaystyle k_{t}\equiv K_{t}/L}$ die Pro-Kopf-Produktionsfunktion definiert werden als

${\displaystyle f(k_{t})\equiv F\left({\frac {K_{t}}{L}},T_{t}\right)}$.

Diese gibt für jeden Pro-Kopf-Kapitalbestand ${\displaystyle k_{t}}$ an, wie viel Output pro Kopf hergestellt wird. Für die Entwicklung des Pro-Kopf-Einkommens ist also der Pro-Kopf-Kapitalbestand entscheidend.

Dessen Entwicklung wird durch drei Faktoren bestimmt:

1. In jeder Periode spart die Volkswirtschaft einen Teil ihres Pro-Kopf-Einkommens: ${\displaystyle sy_{t}=sf(k_{t})}$
2. In jeder Periode wird ein Teil ${\displaystyle \delta \in (0,1)}$ des Pro-Kopf-Kapitalstocks: ${\displaystyle k}$ unbrauchbar ${\displaystyle -\delta k}$
3. In jeder Periode wächst die Bevölkerung exponentiell mit einer exogenen Rate ${\displaystyle n}$, sodass mehr Arbeiter mit Kapital ausgestattet werden müssen, um das Pro-Kopf-Kapital konstant zu halten: ${\displaystyle L(t)=L(0)e^{nt}}$

Damit ist die Veränderung des Pro-Kopf-Kapitalstocks jeder Periode gegeben als

Fundamentale Bewegungsgleichung des Solow-Modells mit Bevölkerungswachstum:

${\displaystyle {\dot {k}}_{t}=\color {Green}sf(k_{t})-\color {Red}(n+\delta )k_{t}}$

• ${\displaystyle {\dot {k}}_{t}}$: Änderung der Kapitalintensität über die Zeit
• ${\displaystyle sf(k_{t})}$: Bruttoinvestitionen pro Kopf
• ${\displaystyle (n+\delta )k_{t}}$: Erweiterte Abschreibungen pro Kopf
• ${\displaystyle sf(k_{t})-(n+\delta )k_{t}}$: Nettoinvestitionen pro Kopf

Wenn ${\displaystyle {\dot {k}}_{t}}$ positiv ist, wächst der Pro-Kopf-Kapitalstock und damit das Pro-Kopf-Einkommen. Ist ${\displaystyle {\dot {k}}_{t}}$ negativ, so schrumpfen Pro-Kopf-Kapital und -Produktion. Formal bedeutet dies:

${\displaystyle sf(k_{t})>(n+\delta )k_{t}\Rightarrow {\dot {k}}_{t}>0}$ (Kapitalintensität und Pro-Kopf-Einkommen wachsen)

${\displaystyle sf(k_{t})<(n+\delta )k_{t}\Rightarrow {\dot {k}}_{t}<0}$ (Kapitalintensität und Pro-Kopf-Einkommen schrumpfen)

Im langfristigen Gleichgewicht – dem Wachstumsgleichgewichts-Niveau der Volkswirtschaft – muss gelten, dass die Investitionen genau den Abschreibungen (unter Berücksichtigung des Bevölkerungswachstums) des Kapitalmodells entsprechen, d. h., der Kapitalbestand pro Kopf ist über die Zeit konstant (${\displaystyle {\dot {k}}=0}$):

${\displaystyle sf(k_{t})-(n+\delta )k_{t}=0\Leftrightarrow sf(k_{t}^{*})=(n+\delta )k_{t}^{*}}$

Der Pro-Kopf-Kapitalstock ${\displaystyle k_{t}}$, der diese Gleichung erfüllt, ist der Wachstumsgleichgewichts-Kapitalstock (${\displaystyle k_{t}^{*}}$) der Volkswirtschaft. Die oben genannten Annahmen an die Produktionsfunktion (konstante Skalenerträge, positive, abnehmende Grenzerträge und die Inada-Bedingungen) garantieren die Existenz eines eindeutigen Wachstumsgleichgewichts.

Graphisch kann dies in einem Diagramm mit Pro-Kopf-Kapital auf der horizontalen und Pro-Kopf-Einkommen auf der vertikalen Achse dargestellt werden: ${\displaystyle f(k_{t})}$ ist gemäß der Annahmen eine konkave Funktion, ebenso die volkswirtschaftliche Sparfunktion ${\displaystyle sf(k_{t})}$. Die ${\displaystyle (n+\delta )k_{t}}$-Kurve ist eine Gerade, die angibt, wie viel gespart werden muss, um den Pro-Kopf-Kapitalstock gerade konstant zu halten und wird deswegen auch als Investitionsbedarfslinie (englisch requirement line) bezeichnet. Der Schnittpunkt zwischen Sparfunktion und Investitionsbedarfslinie bestimmt das langfristige Gleichgewichtsniveau (Wachstumsgleichgewicht) des Kapitalstocks, bei dem gerade so viel gespart wird, dass der Kapitalstock trotz Abschreibungen und Bevölkerungswachstum konstant bleibt. Wenn dieser Kapitalstock erreicht wird, ist die Wachstumsrate null und Pro-Kopf-Produktion, -Einkommen und -Kapital sind über die Zeit konstant.

Falls das Pro-Kopf-Kapital unter dem langfristigen Gleichgewichtsniveau liegt, wird die Volkswirtschaft wachsen und das langfristige Gleichgewicht schließlich asymptotisch erreichen. Die Wachstumsrate geht dabei mit steigendem Kapitalstock immer weiter zurück – eine Implikation der Annahme, dass die Grenzerträge des Kapitals abnehmen. Das Solow-Modell sagt also voraus, dass, ceteris paribus, Volkswirtschaften mit niedrigerem Pro-Kopf-Kapitalstock schneller wachsen als solche mit hoher Kapitalausstattung.

Konvergenz zum Gleichgewicht

In dem Bereich, in dem die Investitionen (${\displaystyle sf(k_{t})}$) größer als die Abschreibungen (${\displaystyle \delta k_{t}}$) sind, sind die Nettoinvestitionen positiv und somit steigt die Kapitalintensität über die Zeit ${\displaystyle {\dot {k}}_{t}>0}$. Im Gegensatz dazu sind die Nettoinvestitionen in dem Bereich, in dem die Investitionen kleiner als die Abschreibungen sind, negativ und somit sinkt die Kapitalintensität über die Zeit ${\displaystyle {\dot {k}}_{t}<0}$. Folglich ist das System global stabil, d. h., für jeden beliebigen Anfangswert (${\displaystyle k(0)>0}$) konvergiert die Ökonomie zum Wachstumsgleichgewicht (${\displaystyle k^{*}}$) (globale Stabilität):

${\displaystyle {\dot {k}}_{t}>0\;\;\forall \;\;k_{t}<k^{*}}$

${\displaystyle {\dot {k}}_{t}<0\;\;\forall \;\;k_{t}>k^{*}}$

Änderungen exogener Parameter

Der langfristige Wachstumsgleichgewichts-Kapitalstock (${\displaystyle k^{*}}$) wird, wie oben ausgeführt, bestimmt durch

${\displaystyle sf(k_{t}^{*})=(\delta +n)k_{t}^{*}}$.

Dabei werden die Sparquote ${\displaystyle s}$, die Abschreibungsquote ${\displaystyle \delta }$ und das Bevölkerungswachstum ${\displaystyle n}$ als exogene, nicht im Modell bestimmte Parameter angesehen. Änderungen dieser Parameter haben jedoch Auswirkungen auf das langfristige Gleichgewicht der Volkswirtschaft.

Technologischer Fortschritt

Technologischer Fortschritt verschiebt die Produktionsfunktion und damit auch die Sparfunktion im ${\displaystyle k-f(k)}$-Diagramm nach oben; der neue Schnittpunkt mit der Investitionsbedarfslinie befindet sich damit bei einem höheren Pro-Kopf-Kapital und -Einkommensniveau. Technologischer Fortschritt kann damit also auch im langfristigen Gleichgewicht zu Wachstum führen.

Mit technologischem Fortschritt, der den Produktionsfaktor Arbeit multipliziert, und unter den in Abschnitt 1.1 dargestellten Annahmen kann die Produktionsfunktion ${\displaystyle Y_{t}=F(K_{t},T_{t}L_{t})}$ durch den Faktor ${\displaystyle T_{t}\cdot L_{t}}$ geteilt werden. Dies ergibt anstatt der bisher verwendeten Pro-Kopf-Produktion die Produktion pro effektiver Arbeitseinheit (pro Effizienzeinheit) in Abhängigkeit vom Kapitalstock pro effektiver Arbeitseinheit:

${\displaystyle {\tilde {y}}_{t}\equiv {\frac {Y_{t}}{T_{t}L_{t}}}=F\left({\frac {K_{t}}{T_{t}L_{t}}},1\right)\equiv f\left({\tilde {k}}_{t}\right)}$

Der Investitionsbedarf pro effektiver Arbeitseinheit ergibt sich wie bisher aus der Abschreibungsrate und dem Wachstum der Bevölkerung; nun muss aber zusätzlich auch die infolge technologischen Fortschritts gestiegene Arbeitsproduktivität ausgeglichen werden: Technologischer Fortschritt führt zu einem Anstieg der effektiven Arbeitseinheiten (das Produkt ${\displaystyle T_{t}\cdot L_{t}}$ steigt), das Kapital pro effektiver Arbeitseinheit sinkt also ceteris paribus. Unter der Annahme eines exponentiellen Technologiewachstums mit Wachstumsrate ${\displaystyle g}$ ergibt sich die Investitionsbedarfslinie für Kapital pro effektiver Arbeitseinheit als ${\displaystyle (\delta +n+g){\tilde {k}}_{t}}$. Die Bewegungsgleichung für das Kapital pro effektiver Arbeitseinheit lautet damit:

Fundamentale Bewegungsgleichung des Solow-Modells mit Bevölkerungswachstum und technologischem Fortschritt:

${\displaystyle {\dot {\tilde {k}}}_{t}=\color {Green}sf({\tilde {k}}_{t})-\color {Red}(\delta +n+g){\tilde {k}}_{t}}$

Das langfristige Gleichgewicht ist erreicht, wenn der Kapitalstock pro effektiver Arbeitseinheit konstant ist, wenn also gilt:

${\displaystyle sf({\tilde {k}}_{t})=(\delta +n+g){\tilde {k}}_{t}}$

Der Kapitalstock und damit auch das Einkommen pro effektiver Arbeitseinheit wachsen im langfristigen Gleichgewicht nicht. Das Pro-Kopf-Einkommen ist jedoch gegeben durch

${\displaystyle y_{t}\equiv Y_{t}/L_{t}=[Y/T_{t}L_{t}]\cdot T_{t}={\tilde {y}}_{t}T_{t}}$.

Es wächst also mit der gleichen Rate wie die Technologie der Volkswirtschaft, ${\displaystyle g}$. Ein Wachstum der Pro-Kopf-Größen im langfristigen Gleichgewicht ist also möglich, allerdings nur aufgrund exogenen technologischen Fortschritts.

Beispiel: Solow-Modell mit Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

Eine mögliche Produktionsfunktion, die die oben dargestellten Annahmen erfüllt, stellt folgende Cobb-Douglas-Funktion dar:

${\displaystyle Y_{t}=T\cdot K_{t}^{\alpha }L_{t}^{1-\alpha }}$ mit ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$

Zu jedem Zeitpunkt wird in der Volkswirtschaft unter dem Einsatz der Produktionsfaktoren Arbeit ${\displaystyle L}$ und Kapital ${\displaystyle K}$ mithilfe eines gegebenen Technologielevels ${\displaystyle T}$ Output produziert. Für die Produktionselastizität des Kapitals gilt die Beschränkung, dass sie zwischen ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle 1}$ liegen muss. So folgt für die Produktionselastizität der Arbeit ${\displaystyle (1-\alpha )}$ die selbige Beschränkung. Nachdem man die Produktionsfunktion durch die Bevölkerungsgröße teilt, ergibt sich die Pro-Kopf-Version ${\displaystyle y_{t}=T\cdot k_{t}^{\alpha }}$. Die Bewegungsgleichung des Pro-Kopf-Kapitalstockes (Kapitalakkumulationsgleichung) ist dann gegeben durch

${\displaystyle {\dot {k}}_{t}=\color {Green}sTk_{t}^{\alpha }-\color {Red}(n+\delta )k_{t}}$.

Das langfristige Gleichgewicht ergibt sich, wenn diese Veränderung null beträgt und folglich

${\displaystyle sTk_{t}^{\alpha }=(\delta +n)k_{t}\Leftrightarrow k_{t}^{1-\alpha }={\frac {sT}{\delta +n}}}$,

und damit gilt für die gleichgewichtige Kapitalintensität dann

${\displaystyle k^{*}=\left({\frac {sT}{\delta +n}}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}}$.

Für das gleichgewichtige Pro-Kopf-Einkommen folgt somit

${\displaystyle y^{*}=T^{\frac {1}{1-\alpha }}\left({\frac {s}{\delta +n}}\right)^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}$

und für den Pro-Kopf-Konsum im stationären Zustand (${\displaystyle c^{*}=(1-s)y^{*}}$) gilt somit

${\displaystyle c^{*}=(1-s)T^{\frac {1}{1-\alpha }}\left({\frac {s}{\delta +n}}\right)^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}$.

Anhand der Gleichung von ${\displaystyle y^{*}}$ lässt sich erkennen, dass Unterschiede in ${\displaystyle T,s,\delta ,n,\alpha }$, also Unterschiede im Technologielevel, der Sparquote, der Abschreibungsrate, der Wachstumsrate der Bevölkerung und der Produktionselastizität des Kapitals die Unterschiede im Pro-Kopf-Einkommen zwischen den Ländern (zumindest teilweise) erklären können. Wegen ${\displaystyle \alpha <1}$ führen eine größere Sparquote und ein höheres Technologieniveau zu einem höheren gleichgewichtigen Kapitalstock, schnelleres Bevölkerungswachstum und eine größere Abschreibungsrate dagegen zu einem niedrigeren Gleichgewicht.

Weiterhin kann man zeigen, dass obige Produktionsfunktion die genannten Annahmen unter 1.1 erfüllt:

1. Konstante Skalenerträge:

Die Eigenschaft der konstanten Skalenerträge ist erfüllt:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\lambda K_{t},\lambda L_{t})&=T\cdot (\lambda K_{t})^{\alpha }(\lambda L_{t})^{1-\alpha }\\&=T\cdot \lambda ^{\alpha }K_{t}^{\alpha }\lambda ^{1-\alpha }L_{t}^{1-\alpha }\\&=\lambda T\cdot K_{t}^{\alpha }L_{t}^{1-\alpha }=\lambda F(K_{t},L_{t}).\end{aligned}}}$

2. Positive und abnehmende Grenzerträge:

Die Grenzprodukte des Kapitals und der Arbeit sind positiv:

${\displaystyle {\text{GPA}}\equiv {\frac {\partial F(K_{t},L_{t})}{\partial L_{t}}}=(1-\alpha )\cdot T\cdot K_{t}^{\alpha }L_{t}^{-\alpha }>0}$

${\displaystyle {\text{GPK}}\equiv {\frac {\partial F(K_{t},L_{t})}{\partial K_{t}}}=\alpha \cdot T\cdot K_{t}^{\alpha -1}L_{t}^{1-\alpha }>0}$

Da die partiellen Ableitungen aufgrund der Beschränkung ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ nur positiv werden können, sieht man, dass der Output bei einer Erhöhung der jeweiligen Inputfaktoren steigt. Die partiellen Ableitungen 2. Ordnung ergeben:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F(K_{t},L_{t})}{\partial L_{t}^{2}}}=-\alpha (1-\alpha )\cdot T\cdot K_{t}^{\alpha }L_{t}^{-\alpha -1}<0}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F(K_{t},L_{t})}{\partial K_{t}^{2}}}=\alpha (\alpha -1)\cdot T\cdot K_{t}^{\alpha -2}L_{t}^{-\alpha }<0}$

Sie werden für alle Inputs negativ sein, also fallen die Zuwachsraten (es liegen abnehmende Grenzerträge vor). Man könnte also sagen, dass bei steigendem Input der Output unterproportional steigt.

3. Die Inada-Bedingungen sind erfüllt:

${\displaystyle \lim _{K_{t}\to 0}{\frac {\partial F(K_{t},L_{t})}{\partial K_{t}}}=\infty \quad {\textrm {und}}\quad \lim _{K_{t}\to \infty }{\frac {\partial F(K_{t},L_{t})}{\partial K_{t}}}=0}$

${\displaystyle \lim _{L_{t}\to 0}{\frac {\partial F(K_{t},L_{t})}{\partial L_{t}}}=\infty \quad {\textrm {und}}\quad \lim _{L_{t}\to \infty }{\frac {\partial F(K_{t},L_{t})}{\partial L_{t}}}=0}$

Die Inada-Bedingungen (zusammen mit den oben genannten Annahmen) implizieren, dass für ${\displaystyle k_{t}\in (0;\infty )}$ genau ein stabiles Gleichgewicht ${\displaystyle k^{*}}$ mit ${\displaystyle {\dot {k}}=0}$ existiert, bei dem also der Kapitalstock über die Zeit konstant ist.

Verschiedene Sparquoten

Im Folgenden soll anhand einer komparativ statischen Analyse gezeigt werden, wie die Sparquote das Pro-Kopf-Einkommen des jeweiligen Landes determiniert. Für den Vergleich werden zwei Länder herangezogen, die sich in ihrer Sparquote stark unterscheiden, z. B. Korea und Uganda. Man geht im Fall von Korea von einer geschätzten Sparquote von ${\displaystyle s_{1}=\color {BrickRed}0{,}2}$ und im Fall von Uganda von einer geschätzten Sparquote von ${\displaystyle s_{2}=\color {BrickRed}0{,}05}$ aus. Des Weiteren wird von einer Kapitaleinkommensquote ${\displaystyle (\alpha )}$ von ${\displaystyle \color {BrickRed}1/3}$ ausgegangen (empirisch gesehen liegt die Kapitaleinkommensquote in den meisten Ländern etwa bei ${\displaystyle \color {BrickRed}1/3}$). Um zu zeigen, welche Auswirkungen sich für das Pro-Kopf-Einkommen ergeben, wenn sich die beiden Länder nur in der Sparquote unterscheiden, setzt man die gleichgewichtige Pro-Kopf-Einkommen der beiden Länder ins Verhältnis (komparative Statik):

${\displaystyle {\frac {y_{1}^{*}}{y_{2}^{*}}}={\frac {T^{\frac {1}{1-\alpha }}\left({\frac {s_{1}}{\delta +n}}\right)^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}{T^{\frac {1}{1-\alpha }}\left({\frac {s_{2}}{\delta +n}}\right)^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}}={\frac {\left({\frac {s_{1}}{\delta +n}}\right)^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}{\left({\frac {s_{2}}{\delta +n}}\right)^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}}=\left({\frac {s_{1}}{s_{2}}}\right)^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}$

Für das oben genannte Beispiel ergibt sich somit:

${\displaystyle {\frac {y_{1}^{*}}{y_{2}^{*}}}=\left({\frac {\color {BrickRed}0{,}2}{\color {BrickRed}0{,}05}}\right)^{\frac {\color {BrickRed}1}{\color {BrickRed}2}}=\color {BrickRed}2}$

Laut dem Solow-Modell ist Korea also doppelt so reich wie Uganda. Tatsächlich ist Korea aber ca. 13-mal so reich. Folglich können Einkommensunterschiede nur zum Teil durch das Solow-Modell erklärt werden.

Wachstumsbuchhaltung

Eng mit dem Solow-Modell verbunden ist die sogenannte Wachstumsbuchhaltung (englisch growth accounting), die von Moses Abramovitz und Robert Solow vorangetrieben wurde. Dabei wird untersucht, welcher Anteil des Wirtschaftswachstums durch Kapital, Arbeit und andere Faktoren erklärt werden kann. Für eine allgemeine Produktionsfunktion der Form ${\displaystyle Y_{t}=F(K_{t},L_{t},T_{t})}$ kann gezeigt werden, dass das Wachstum der Gesamtproduktion aufgeteilt werden kann mittels

${\displaystyle {\widehat {Y_{t}}}-{\widehat {L_{t}}}=\alpha _{K_{t}}\left({\widehat {K_{t}}}-{\widehat {L_{t}}}\right)+R_{t}}$,

wobei ${\displaystyle \alpha _{K_{t}}}$ die Elastizität der Produktion in Bezug auf das Kapital angibt. Auf diese Weise kann das Wirtschaftswachstum pro Kopf aufgeteilt werden in Pro-Kopf-Wachstum aufgrund von Pro-Kopf-Kapitalakkumulation und einen weiteren additiven Term ${\displaystyle R_{t}}$, das sogenannte Solow-Residuum. Dieses wird manchmal als Beitrag des technologischen Fortschritts zum Wachstum gedeutet, ist aber tatsächlich ein Sammelterm für alle Faktoren, die zu Wirtschaftswachstum führen und nicht bereits durch die Kapitalakkumulation abgedeckt sind.

Konvergenz

Falls sich die Volkswirtschaft noch unter dem langfristigen Gleichgewichtsniveau befindet und wächst, ist ihre Wachstumsrate höher, je niedriger der Pro-Kopf-Kapitalstock ist. Eine Volkswirtschaft mit ursprünglich wenig Pro-Kopf-Kapital wird gemäß dem Solow-Modell also zunächst sehr hohe Wachstumsraten aufweisen, die dann mit zunehmender Kapitalakkumulation abnehmen und schließlich gegen 0 tendieren. Für zwei Volkswirtschaften mit gleicher Technologie und gleichen exogenen Parametern (Abschreibungsquote, Sparquote, Bevölkerungswachstum) und damit gleichem langfristigen Gleichgewicht, aber unterschiedlicher ursprünglicher Kapitalausstattung, sagt das Modell voraus, dass die ursprünglich ärmere Volkswirtschaft schneller wachsen und damit gegenüber der ursprünglich reicheren Volkswirtschaft „aufholen“ wird (Aufholeffekt). Dieser Prozess wird auch als „${\displaystyle \beta }$-Konvergenz“ bezeichnet.

Internationale und historische Einkommensunterschiede

Gemäß dem Solow-Modell gibt es zwei mögliche Gründe für Pro-Kopf-Einkommensunterschiede zwischen Volkswirtschaften: einen unterschiedlichen Pro-Kopf-Kapitalstock und unterschiedliche Arbeitsproduktivität. Tatsächlich kann jedoch der Pro-Kopf-Kapitalstock die großen Einkommensunterschiede zwischen armen und reichen Ländern heute oder zwischen entwickelten Ländern früher und heute nicht erklären. Das Pro-Kopf-Einkommen industrialisierter Länder ist heute etwa zehnmal größer als ein Jahrhundert zuvor; die natürlichen Logarithmen der Pro-Kopf-Einkommen heute und vor ${\displaystyle 100}$ Jahren unterscheiden sich also um ${\displaystyle \ln(10)}$. Mit der Definition der Elastizität ${\displaystyle \alpha _{K}}$ des Pro-Kopf-Einkommens in Bezug auf das Pro-Kopf-Kapital, ${\displaystyle \alpha _{K}\equiv \mathrm {d} \log(y)/\mathrm {d} \log(k)}$, folgt ${\displaystyle \mathrm {d} \log(k)=\mathrm {d} \log(y)/\alpha _{K}}$. Mit ${\displaystyle \mathrm {d} \log(y)=\ln(10)}$ folgt, dass die Differenz im Pro-Kopf-Kapitalstock

${\displaystyle \operatorname {exp} \left({\frac {\ln(10)}{\alpha _{K}}}\right)=10^{1/\alpha _{K}}}$

betragen muss. Empirische Studien legen nahe, dass ${\displaystyle \alpha _{K}}$ rund ein Drittel beträgt. Wenn das Pro-Kopf-Kapital die einzige Quelle für Pro-Kopf-Einkommensunterschiede wäre, müsste das Pro-Kopf-Kapital in den letzten Jahren also etwa um einen Faktor ${\displaystyle 1000}$ gewachsen sein, um ein Wachstum des Pro-Kopf-Einkommens um den Faktor ${\displaystyle 10}$ zu erklären. Tatsächlich ist das Pro-Kopf-Kapital aber nur um etwa einen Faktor ${\displaystyle 10}$ gewachsen. Das Wachstum des Pro-Kopf-Kapitals kann den Umfang des Wirtschaftswachstums über die vergangenen ${\displaystyle 100}$ Jahre also nicht erklären.