Leitungswellenwiderstand

Für Mikrostreifenleitungen auf Leiterplatten lässt sich für bestimmte Fälle eine exakte Lösung für den Leitungswellenwiderstand (charakteristische Impedanz) angeben, wobei die allgemeinste Form von H. Wheeler 1965 in folgender Form abgeleitet wurde:

${\displaystyle Z_{\text{Leitung}}={\frac {Z_{0}}{2\pi {\sqrt {2(1+\varepsilon _{r})}}}}\ln \left(1+{\frac {4h}{w_{\text{eff}}}}\left({\frac {14+{\frac {8}{\varepsilon _{r}}}}{11}}{\frac {4h}{w_{\text{eff}}}}+{\sqrt {\left({\frac {14+{\frac {8}{\varepsilon _{r}}}}{11}}{\frac {4h}{w_{\text{eff}}}}\right)^{2}+\pi ^{2}{\frac {1+{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}}{2}}}}\,\right)\right)}$

w_eff ist die effektive Breite der Leitung inklusive eines Korrekturfaktors für die Dicke der Metallisierung. Diese effektive Breite ist gegeben durch folgende Gleichung:

${\displaystyle w_{\text{eff}}=w+t{\frac {1+{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}}{2\pi }}\ln \left({\frac {4e}{\sqrt {\left({\frac {t}{h}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{{\frac {w}{t}}+{\frac {11}{10}}}}\right)^{2}}}}\right)}$

Da ein Teil des elektrischen Feldes nicht im Dielektrikum der Leiterplatte verläuft, ergibt sich auch eine Abhängigkeit von der Leiterplattengeometrie. Dies wird ausgedrückt durch die effektive Permittivitätszahl, zur Ermittlung der physikalischen Länge der Leitung:

${\displaystyle \varepsilon _{re}={\frac {\varepsilon _{r}+1}{2}}+{\frac {\varepsilon _{r}-1}{2}}\cdot \left(1+10\cdot {\frac {h}{w}}\right)^{-0{,}555}}$

mit

${\displaystyle Z_{0}}$ dem Freiraumwellenwiderstand (${\displaystyle \approx 376{,}73~\Omega }$),

${\displaystyle \varepsilon _{re}}$ die effektive Permittivitätszahl,

${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ der Permittivitätszahl des Substrats,

${\displaystyle w}$ der Breite der Mikrostreifenleitung,

${\displaystyle h}$ der Dicke des Substrats,

${\displaystyle t}$ der Dicke der Metallisierung und

${\displaystyle e}$ der eulerschen Zahl (nicht etwa der Elementarladung)

Obige Gleichung für den Leitungswellenwiderstand liefert unter folgenden Bedingungen asymptotisch exakte Werte:

1. w ≫ h, bei beliebigen ε_r
2. w ≪ h und ε_r = 1
3. w ≪ h und ε_r ≫ 1

Für alle anderen Fälle ist das Gleichheitszeichen in obiger Gleichung durch ein ≈ zu ersetzen und der Fehler der Näherung ist meist kleiner 1 % und garantiert kleiner 2 %.

Darüber hinaus existieren in der Literatur noch eine Reihe weiterer, meist einfacherer Näherungsgleichungen mit eingeschränkten Gültigkeitsbereichen für den Leitungswellenwiderstand von Mikrostreifenleitungen.