Supremumseigenschaft
In der Mathematik ist die Supremumseigenschaft eine grundlegende Eigenschaft der reellen Zahlen, genauer ihrer Anordnung, und bestimmter anderer geordneter Mengen. Die Eigenschaft besagt, dass jede nichtleere und nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen eine kleinste obere Schranke, ein Supremum, besitzt. Sie kann verwendet werden, um viele grundlegende Resultate der reellen Analysis zu zeigen, etwa den Zwischenwertsatz, den Satz von Bolzano-Weierstraß, den Extremwertsatz oder den Satz von Heine-Borel. Für die synthetische Konstruktion der reellen Zahlen wird sie üblicherweise als Axiom vorausgesetzt. Mit der Konstruktion der reellen Zahlen mittels des Dedekindschen Schnittes ist sie ebenso eng verbunden.
Die Supremumseigenschaft ist eine Form des Vollständigkeitsaxioms für die reellen Zahlen. Sie ist äquivalent zur Dedekind-Vollständigkeit der reellen Zahlen und wird in der Literatur auch als eine Form der Ordnungsvollständigkeit bezeichnet. Dabei ist zu beachten, dass der Begriff der Ordnungsvollständigkeit nicht einheitlich verwendet wird und in anderen Kontexten auch stärkere Vollständigkeitseigenschaften bezeichnen kann. In der Ordnungstheorie kann die Supremumseigenschaft zu einem Vollständigkeitsbegriff für jede partiell geordnete Menge verallgemeinert werden. Eine dichte, total geordnete Menge, welche die Supremumseigenschaft erfüllt, nennt man lineares Kontinuum.