Kurs:Differentialgeometrie/9/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Hausdorff-Raum ${\displaystyle {}X}$.
2. Eine differenzierbare Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon L\longrightarrow M}$

   zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$.

3. Das Tangentialbündel zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle {}M}$.
4. Die zweite Fundamentalmatrix zu einer lokalen Parametrisierung

   ${\displaystyle V\longrightarrow U\subseteq Y}$

   (mit ${\displaystyle {}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}}$ offen) einer differenzierbaren Hyperfläche ${\displaystyle {}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.

5. Die äußere Ableitung zu einer stetig differenzierbaren Differentialform ${\displaystyle {}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)}$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle {}M}$.
6. Eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wobei ${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}W_{i}}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes ${\displaystyle {}X}$ ist.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die algebraische Eigenschaft der Weingartenabbildung.
2. Der Satz über Orientierbarkeit und positive Volumenform.
3. Der Brouwersche Fixpunktsatz.

Bestimme die Krümmung in jedem Punkt des durch

${\displaystyle {}h(x,y)=x^{2}+y^{2}=1\,}$

implizit gegebenen Einheitskreises mit Lemma 3.11 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) und dem Gradientenfeld zu ${\displaystyle {}h}$.

Das Gradientenfeld zu ${\displaystyle {}h}$ ist ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}}}$, ein Einheitsnormalenfeld ist somit

${\displaystyle {}N{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.}$

Das totale Differential von ${\displaystyle {}N}$ in einem Punkt

${\displaystyle {}P={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,}$

ist

${\displaystyle {}\left(DN\right)_{P}={\begin{pmatrix}{\frac {y^{2}}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{3/2}}}&-{\frac {xy}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{3/2}}}\\-{\frac {xy}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{3/2}}}&{\frac {x^{2}}{{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{3/2}}}\end{pmatrix}}\,.}$

Angewendet auf den tangentialen Vektor ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}}}$ ergibt sich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\left(DN\right)_{P}{\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}y^{2}&-xy\\-xy&x^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}y{\left(y^{2}+x^{2}\right)}\\-x{\left(y^{2}+x^{2}\right)}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Daher ist die Krümmung der Kurve in ${\displaystyle {}P}$ nach Lemma 3.11 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) gleich ${\displaystyle {}-1}$. (Dies passt, da ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}}}$ und das Gradientenfeld die Standardorientierung repräsentieren und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}}}$ die Tangentialrichtung für die Bewegung mit dem Uhrzeigersinn ist.)

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein Hausdorff-Raum. Zeige, dass die Diagonale

${\displaystyle {}\triangle ={\left\{(x,y)\in X\times X\mid x=y\right\}}\,}$

eine abgeschlossene Teilmenge im Produktraum ${\displaystyle {}X\times X}$ ist.

Wir müssen zeigen, dass das Komplement

${\displaystyle {}W=X\times X\setminus \triangle ={\left\{(x,y)\mid x,y\in X,\,x\neq y\right\}}\,}$

offen ist. Es sei also ${\displaystyle {}(x,y)}$ ein Paar mit ${\displaystyle {}x\neq y}$. Aufgrund der vorausgesetzten Hausdorff-Eigenschaft gibt es disjunkte offene Mengen ${\displaystyle {}U,V\subseteq X}$ mit ${\displaystyle {}x\in U}$ und ${\displaystyle {}y\in V}$. Es ist ${\displaystyle {}(x,y)\in U\times V}$ und nach Definition der Produkttopologie ist ${\displaystyle {}U\times V}$ eine offene Menge in ${\displaystyle {}X\times X}$. Wegen der Disjunktheit folgt aus ${\displaystyle {}(z,w)\in U\times V}$ sofort ${\displaystyle {}z\neq w}$. Also ist

${\displaystyle {}(x,y)\in U\times V\subseteq W\,}$

und ${\displaystyle {}W}$ ist die Vereinigung von solchen offenen Produktmengen, also selbst offen.

Zeige, dass die drei eindimensionalen Mannigfaltigkeiten

${\displaystyle S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \vert {(x,y)}\vert =1\right\}},\,\,\mathbb {R} \,{\text{ und }}\,\mathbb {R} \setminus \{0\}}$

paarweise nicht homöomorph sind.

Als abgeschlossene beschränkte Teilmenge des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ ist der Einheitskreis kompakt (Satz von Heine-Borel). Die reelle Gerade ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ und ${\displaystyle {}\mathbb {R} \setminus \{0\}}$ sind hingegen nicht kompakt, da sie unbeschränkte Teilmengen von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ sind. Also ist ${\displaystyle {}S^{1}\not \cong \mathbb {R} ,\,\mathbb {R} \setminus \{0\}}$.

Die reelle Gerade ist zusammenhängend, wie aus dem Zwischenwertsatz folgt. Dagegen ist ${\displaystyle {}\mathbb {R} \setminus \{0\}}$ nicht zusammenhängend, da man

${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}=(\mathbb {R} \setminus \{0\})\cap [0,\infty ]=(\mathbb {R} \setminus \{0\})\cap \,]0,\infty ]\,}$

schreiben kann, sodass man eine sowohl offene als auch abgeschlossene nichtleere Teilmenge erhält. Also ist ${\displaystyle {}\mathbb {R} \,\not \cong \mathbb {R} \setminus \{0\}}$.

Es sei ${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ offen und sei ${\displaystyle {}M\subseteq G}$ eine ${\displaystyle {}n}$- dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, die orientiert und mit der induzierten riemannschen Struktur und der kanonischen Volumenform ${\displaystyle {}\omega }$ versehen sei. Es sei ${\displaystyle {}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ offen und es sei

${\displaystyle \varphi \colon W\longrightarrow U}$

ein Diffeomorphismus mit der offenen Menge ${\displaystyle {}U\subseteq M}$. Zeige, dass auf ${\displaystyle {}W}$ die Formel

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi ^{*}{\left(\omega {|}_{U}\right)}&=\left(\det \left(\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}\end{pmatrix}}\right\rangle \right)_{1\leq i,j\leq n}\right)^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\\&=\left(\det {\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}+\cdots +{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)^{1/2}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\end{aligned}}}$

gilt.

Die zweite Gleichung ergibt sich einfach durch Auswertung des Standardskalarproduktes auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{m}}$. Nach Definition der metrischen Fundamentalmatrix ist für ${\displaystyle {}Q\in W}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}g_{ij}(Q)&=\left\langle T_{Q}(\varphi )(e_{i}),T_{Q}(\varphi )(e_{j})\right\rangle _{\varphi (Q)}\\&=\left\langle T_{Q}(\varphi )(e_{i}),T_{Q}(\varphi )(e_{j})\right\rangle \\&=\left\langle {\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(e_{i}\right)},{\left(D\varphi \right)}_{Q}{\left(e_{j}\right)}\right\rangle \\&=\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{i}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{i}}}(Q)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j}}}(Q)\end{pmatrix}}\right\rangle ,\end{aligned}}}$

da ja der Tangentialraum ${\displaystyle {}T_{\varphi (Q)}M}$ das induzierte Skalarprodukt des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{m}}$ trägt, da die Tangentialabbildung im lokalen Fall das totale Differential ist und da man dessen Einträge mit den partiellen Ableitungen ausdrücken kann. Daher ergibt sich die Behauptung aus Lemma 16.7 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)).

Wir betrachten den ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{6}={\left(\mathbb {R} ^{2}\right)}^{3}}$ als Menge aller (auch entarteter) Dreiecke, indem wir ein Dreieck mit den (geordneten) Eckpunkten ${\displaystyle {}P_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle {}P_{2}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}P_{3}={\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{pmatrix}}}$, mit dem Koordinatentupel

${\displaystyle (x_{1},y_{1},x_{2},y_{2},x_{3},y_{3})}$

identifizieren.

1. Zeige, dass die Menge der Dreiecke, bei denen zwei Eckpunkte zusammenfallen, eine abgeschlossene Teilmenge des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{6}}$ ist (das Komplement davon ist somit eine offene Menge in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{6}}$, die wir ${\displaystyle {}U}$ nennen).
2. Zeige, dass die Menge der Dreiecke, bei denen alle drei Eckpunkte auf einer Geraden liegen, eine abgeschlossene Teilmenge des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{6}}$ ist (das Komplement davon, das aus allen nichtentarteten Dreiecken besteht, ist somit eine offene Menge in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{6}}$, die wir ${\displaystyle {}V}$ nennen).
3. Erstelle eine Funktionsvorschrift, die die Abbildung

   ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} }$

   beschreibt, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet.

4. Zeige, dass die Funktion ${\displaystyle {}F}$ aus Teil (3) auf der Menge ${\displaystyle {}U}$ stetig differenzierbar ist.
5. Berechne die partielle Ableitung von ${\displaystyle {}F}$ nach ${\displaystyle {}x_{1}}$ auf ${\displaystyle {}U}$.
6. Zeige, dass die Menge der nichtentarteten Dreiecke mit Umfang ${\displaystyle {}1}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle {}V}$ bildet. Was ist die Dimension?

1. Die Eckpunkte ${\displaystyle {}P_{1}}$ und ${\displaystyle {}P_{2}}$ stimmen genau dann überein, wenn ihre beiden Koordinaten übereinstimmen, wenn also ${\displaystyle {}x_{1}=x_{2}}$ und ${\displaystyle {}y_{1}=y_{2}}$ ist. Eine solche Bedingung definiert eine abgeschlossene Teilmenge, da es sich um die Faser einer (stetigen) linearen Abbildung handelt. Da eine endliche Vereinigung von abgeschlossenen Teilmengen wieder abgeschlossen ist, ist die in Frage stehende Menge abgeschlossen.
2. Wir betrachten die Verbindungsvektoren

   ${\displaystyle P_{2}-P_{1}={\begin{pmatrix}x_{2}-x_{1}\\y_{2}-y_{1}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,P_{3}-P_{1}={\begin{pmatrix}x_{3}-x_{1}\\y_{3}-y_{1}\end{pmatrix}}}$

   Die drei Punkte sind genau dann kollinear, wenn diese zwei Vektoren linear abhängig sind, und dies ist genau dann der Fall, wenn ihre Determinante ${\displaystyle {}0}$ ist. Die Kollinearitätssbedingung lautet somit

   ${\displaystyle {}H(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3})=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})=0\,.}$

   Da ${\displaystyle {}H}$ eine polynomiale Abbildung und damit stetig ist, ist die Faser zu ${\displaystyle {}0}$ eine abgeschlossene Teilmenge.

3. Da der Umfang einfach die Summe der drei beteiligten Dreiecksseiten ist, gilt

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}F(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3})&=d(P_{1},P_{2})+d(P_{1},P_{3})+d(P_{2},P_{3})\\&={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}+{\sqrt {(x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}}}+{\sqrt {(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}}}.\,\end{aligned}}}$

4. Für einen Punkt aus ${\displaystyle {}U}$ ist jeder Radikand als polynomiale Funktion stetig differenzierbar und echt positiv, somit sind auch die Quadratwurzeln daraus stetig differenzierbar.
5. Die partielle Ableitung ist

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}&={\frac {1}{2}}{\left((x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\right)}^{-1/2}(2x_{1}-2x_{2})+{\frac {1}{2}}{\left((x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}\right)}^{-1/2}(2x_{1}-2x_{3})\\&={\left((x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\right)}^{-1/2}(x_{1}-x_{2})+{\left((x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}\right)}^{-1/2}(x_{1}-x_{3}).\,\end{aligned}}}$

6. Auf ${\displaystyle {}U}$ sind die Radikanden positiv, somit verschwindet die partielle Ableitung nach ${\displaystyle {}x_{1}}$ nur, falls ${\displaystyle {}x_{1}=x_{2}=x_{3}}$ ist. Ein Dreieck mit dieser Bedingung ist aber kollinear. Das bedeutet, dass auf ${\displaystyle {}V}$ die partielle Ableitung nach ${\displaystyle {}x_{1}}$ nie ${\displaystyle {}0}$ wird und das bedeutet insbesondere, dass der Gradient auf ${\displaystyle {}V}$ nirgends verschwindet, also regulär ist. Nach Satz 8.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) ist die Faser eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, und zwar der Dimension

   ${\displaystyle {}6-1=5\,.}$

Es seien ${\displaystyle {}r}$ und ${\displaystyle {}R}$ positive reelle Zahlen mit ${\displaystyle {}0<r<R}$, wir betrachten den (eingebetteten) Torus

${\displaystyle {}T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,}$

mit der induzierten riemannschen Struktur. Zeige, dass zu jedem ${\displaystyle {}\alpha \in [0,2\pi [}$ die Abbildung

${\displaystyle \Psi _{\alpha }\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto \left(x\cos \alpha -y\sin \alpha ,\,x\sin \alpha +y\cos \alpha ,\,z\right),}$

eine Isometrie von ${\displaystyle {}T}$ in sich induziert.

Die Abbildung ist auf

${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \,}$

das Produkt einer ebenen Drehung mit der Identität. Daher liegt eine euklidische Isometrie des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ vor. Es sei ${\displaystyle {}(x,y,z)\in T}$ und

${\displaystyle {}\Psi _{\alpha }(x,y,z)=(u,v,z)\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}\\&={\left({\sqrt {{\left(x\cos \alpha -y\sin \alpha \right)}^{2}+{\left(x\sin \alpha +y\cos \alpha \right)}^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}\\&={\left({\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\alpha +y^{2}\sin ^{2}\alpha -2xy\cos \alpha \sin \alpha +x^{2}\sin ^{2}\alpha +y^{2}\cos ^{2}\alpha +2xy\cos \alpha \sin \alpha }}-R\right)}^{2}+z^{2}\\&={\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}\\&=r^{2},\,\end{aligned}}}$

also ${\displaystyle {}\Psi _{\alpha }(x,y,z)\in T}$. Es ist also

${\displaystyle \Psi _{\alpha }\colon T\longrightarrow T}$

ein Diffeomorphismus und eine Isometrie, da ${\displaystyle {}T}$ die induzierte riemannsche Struktur trägt.

Beschreibe ein Modell für die hyperbolische Fläche.

Beweise das Theorema egregium.

Wir differenzieren die erste Bestimmungsgleichung für die Christoffelsymbole, also

${\displaystyle {}\partial _{1}\partial _{1}\varphi =\Gamma _{11}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{11}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{11}N\,,}$

in Richtung der zweiten Variablen und die zweite Bestimmungsgleichung, also

${\displaystyle {}\partial _{1}\partial _{2}\varphi =\Gamma _{12}^{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{12}^{2}\partial _{2}\varphi +h_{12}N\,,}$

in Richtung der ersten Variablen und erhalten nach Schwarz

${\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{1}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}\right)}\partial _{2}\varphi +{\left(\partial _{2}h_{11}\right)}N+\Gamma _{11}^{1}\partial _{2}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{11}^{2}\partial _{2}\partial _{2}\varphi +h_{11}\partial _{2}N\\&={\left(\partial _{1}\Gamma _{12}^{1}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}\right)}\partial _{2}\varphi +{\left(\partial _{1}h_{12}\right)}N+\Gamma _{12}^{1}\partial _{1}\partial _{1}\varphi +\Gamma _{12}^{2}\partial _{1}\partial _{2}\varphi +h_{12}\partial _{1}N.\,\end{aligned}}}$

Die Differenz dieser Ausdrücke ist ${\displaystyle {}0}$, und wir bestimmen, was sich dabei auf den Basisvektor ${\displaystyle {}\partial _{2}\varphi }$ bezieht. Dazu müssen wir die Bestimmungsgleichungen für die Christoffelsymbole und Lemma 19.3 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))  (3) heranziehen und erhalten

${\displaystyle 0=\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}+h_{11}{\frac {g_{12}h_{12}-g_{11}h_{22}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}-h_{12}{\frac {g_{12}h_{11}-g_{11}h_{12}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\,.}$

Mit

${\displaystyle -g_{11}{\left(h_{11}h_{22}-h_{12}^{2}\right)}=h_{11}{\left(g_{12}h_{12}-g_{11}h_{22}\right)}-h_{12}{\left(g_{12}h_{11}-g_{11}h_{12}\right)}\,}$

können wir die beiden hinteren Summanden ersetzen und erhalten mit Lemma 19.3 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))  (4)

${\displaystyle {}{\begin{aligned}g_{11}K&=g_{11}{\frac {h_{11}h_{22}-h_{12}^{2}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}\\&={\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}.\end{aligned}}}$

Wir betrachten die Differentialform

${\displaystyle {}\omega =ydx+zdy+xdz\,}$

auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ und die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(u,\,v\right)\longmapsto \left(u^{2},\,v^{2},\,uv\right).}$

1. Berechne die äußere Ableitung von ${\displaystyle {}\omega }$.
2. Berechne den Rückzug ${\displaystyle {}\varphi ^{*}\omega }$ von ${\displaystyle {}\omega }$ unter ${\displaystyle {}\varphi }$.
3. Berechne die äußere Ableitung von ${\displaystyle {}\varphi ^{*}\omega }$ auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$.
4. Berechne den Rückzug ${\displaystyle {}\varphi ^{*}d\omega }$ von ${\displaystyle {}d\omega }$ unter ${\displaystyle {}\varphi }$ unabhängig von (3).

1. Es ist

   ${\displaystyle {}d\omega =d{\left(ydx+zdy+xdz\right)}=dy\wedge dx+dz\wedge dy+dx\wedge dz=-dx\wedge dy-dy\wedge dz+dx\wedge dz\,.}$

2. Es ist

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &=v^{2}du^{2}+uvdv^{2}+u^{2}duv\\&=2v^{2}udu+2uv^{2}dv+u^{2}(udv+vdu)\\&={\left(2uv^{2}+u^{2}v\right)}du+{\left(2uv^{2}+u^{3}\right)}dv.\end{aligned}}}$

3. Es ist

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left({\left(2uv^{2}+u^{2}v\right)}du+{\left(2uv^{2}+u^{3}\right)}dv\right)}&=d{\left(2uv^{2}+u^{2}v\right)}du+d{\left(2uv^{2}+u^{3}\right)}dv\\&={\left(4uv+u^{2}\right)}dv\wedge du+{\left(2v^{2}+3u^{2}\right)}du\wedge dv\\&={\left(-4uv+2v^{2}+2u^{2}\right)}du\wedge dv.\end{aligned}}}$

4. Der Rückzug ${\displaystyle {}\varphi ^{*}d\omega }$ ist

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi ^{*}{\left(-dx\wedge dy-dy\wedge dz+dx\wedge dz\right)}&=-du^{2}\wedge dv^{2}-dv^{2}\wedge duv+du^{2}\wedge duv\\&=-4uvdu\wedge dv-2v^{2}dv\wedge du+2u^{2}du\wedge dv\\&={\left(-4uv+2v^{2}+2u^{2}\right)}du\wedge dv.\end{aligned}}}$

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle {}\omega }$ eine exakte Differentialform auf ${\displaystyle {}M}$. Es sei ${\displaystyle {}S}$ eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei

${\displaystyle \varphi \colon S\longrightarrow M}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige

${\displaystyle {}\int _{S}\varphi ^{*}\omega =0\,.}$

Da nach Satz 20.4 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))  (5) das Zurückziehen von Formen mit der äußeren Ableitung verträglich ist, ist auch ${\displaystyle {}\varphi ^{*}\omega }$ exakt. Es sei ${\displaystyle {}\tau }$ eine differenzierbare Form auf ${\displaystyle {}S}$ mit

${\displaystyle {}d\tau =\varphi ^{*}\omega \,.}$

Nach dem Satz von Stokes ist

${\displaystyle {}\int _{S}\varphi ^{*}\omega =\int _{S}d\tau =\int _{\partial S}\tau =\int _{\emptyset }\tau =0\,.}$

Beweise den Satz über die Retraktionen auf den Rand auf Mannigfaltigkeiten.

Der Rand ${\displaystyle {}\partial M}$ ist nach Satz 21.8 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eine orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand). Daher gibt es nach Satz 22.11 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eine stetig differenzierbare positive Volumenform ${\displaystyle {}\tau }$ auf ${\displaystyle {}\partial M}$. Es ist ${\displaystyle {}\int _{\partial M}\tau >0}$. Die äußere Ableitung der Volumenform ${\displaystyle {}\tau }$ ist ${\displaystyle {}0}$. Nehmen wir an, dass es eine stetig differenzierbare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon M\longrightarrow \partial M}$

mit ${\displaystyle {}\varphi {|}_{\partial M}=\operatorname {Id} _{\partial M}}$ gebe. Dann ist die zurückgezogene Form ${\displaystyle {}\varphi ^{*}\tau }$ eine ${\displaystyle {}(n-1)}$- Differentialform auf ${\displaystyle {}M}$, deren Einschränkung auf den Rand mit ${\displaystyle {}\tau }$ übereinstimmt. Daher gilt unter Verwendung von Satz 23.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) und Satz 20.4 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))  (5)

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{\partial M}\tau &=\int _{\partial M}\varphi ^{*}\tau \\&=\int _{M}d(\varphi ^{*}\tau )\\&=\int _{M}\varphi ^{*}(d\tau )\\&=\int _{M}\varphi ^{*}(0)\\&=0.\end{aligned}}}$

Dies ist ein Widerspruch.