Kurs:Elementare Algebra/14/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Einheit in einem Ring ${\displaystyle {}R}$.
2. Der Realteil einer komplexen Zahl ${\displaystyle {}z}$.
3. Ein maximales Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
4. Der Kern eines Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H.}$

5. Ein Erzeugendensystem ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ eines ${\displaystyle {}K}$-Vektorraumes ${\displaystyle {}V}$.
6. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.
2. Der Satz über die Norm im Ring der Gaußschen Zahlen.
3. Der Satz über das Minimalpolynom und Irreduzibilität bei einer Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.

Ist die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+},\,(a,b)\longmapsto (a+b,ab,a^{b}),}$

injektiv oder nicht?

Die Abbildung ist nicht injektiv, da wegen

${\displaystyle {}2^{4}=16=4^{2}\,}$

die beiden Paare ${\displaystyle {}(2,4)}$ und ${\displaystyle {}(4,2)}$ unter ${\displaystyle {}\varphi }$ auf das gleiche Element abgebildet werden.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}x\in K}$ ein Element mit ${\displaystyle {}x\neq 1}$. Beweise für ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ durch Induktion die Beziehung

${\displaystyle {}\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.}$

Für ${\displaystyle {}n=0}$ steht beidseitig ${\displaystyle {}1}$. Es sei die Gleichung für ein bestimmtes ${\displaystyle {}n}$ bewiesen. Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n+1}x^{k}&=\sum _{k=0}^{n}x^{k}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+1}(x-1)}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+2}-x^{n+1}}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+2}-1}{x-1}},\end{aligned}}}$

was die Behauptung für ${\displaystyle {}n+1}$ ist.

Es seien ${\displaystyle {}a,b\geq 2}$ und sei ${\displaystyle {}n=ab}$.

a) Zeige, dass die beiden Polynome ${\displaystyle {}X^{a}-1}$ und ${\displaystyle {}X^{b}-1}$ Teiler des Polynoms ${\displaystyle {}X^{n}-1}$ sind.

b) Es sei ${\displaystyle {}a\neq b}$. Ist ${\displaystyle {}(X^{a}-1)(X^{b}-1)}$ stets ein Teiler von ${\displaystyle {}X^{n}-1}$?

c) Man gebe drei Primfaktoren von ${\displaystyle {}2^{30}-1}$ an.

a) Es ist

${\displaystyle {}X^{n}-1={\left(X^{b}\right)}^{a}-1={\left(X^{b}-1\right)}{\left({\left(X^{b}\right)}^{a-1}+{\left(X^{b}\right)}^{a-2}+\cdots +{\left(X^{b}\right)}^{2}+X^{b}+1\right)}\,}$

und daher ist ${\displaystyle {}X^{b}-1}$ (und ebenso ${\displaystyle {}X^{a}-1}$) ein Teiler von ${\displaystyle {}X^{n}-1}$.

b) Dies ist nicht der Fall. Für

${\displaystyle {}n=8=4\cdot 2\,}$

ist

${\displaystyle {}X^{8}-1=(X^{4}-1)(X^{4}+1)\,.}$

Das Polynom ${\displaystyle {}X^{4}+1}$ hat keine reelle Nullstelle und ist deshalb kein Vielfaches von ${\displaystyle {}X^{2}-1}$. Daher ist ${\displaystyle {}(X^{4}-1)(X^{2}-1)}$ kein Teiler von ${\displaystyle {}X^{8}-1}$.

c) Da ${\displaystyle {}2,3,5}$ Teiler von ${\displaystyle {}30}$ sind, ergibt sich aus Teil a), dass ${\displaystyle {}2^{2}-1=3,\,2^{3}-1=7}$ und ${\displaystyle {}2^{5}-1=31}$ Teiler von ${\displaystyle {}2^{30}-1}$ sind. Daher sind ${\displaystyle {}3,7,31}$ Primteiler von ${\displaystyle {}2^{30}-1}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und es seien ${\displaystyle {}n}$ verschiedene Elemente ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K}$ und ${\displaystyle {}n}$ Elemente ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K}$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ vom Grad ${\displaystyle {}\leq n-1}$ derart gibt, dass ${\displaystyle {}P(a_{i})=b_{i}}$ für alle ${\displaystyle {}i}$ ist.

Finde eine Darstellung der ${\displaystyle {}1}$ für das Zahlenpaar ${\displaystyle {}11}$ und ${\displaystyle {}13}$.

Es ist

${\displaystyle {}6\cdot 11-5\cdot 13=66-65=1\,.}$

Bestimme den Exponenten zu ${\displaystyle {}2}$ von ${\displaystyle {}203264}$.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}203264&=2\cdot 101632\\&=2^{2}\cdot 50816\\&=2^{3}\cdot 25408\\&=2^{4}\cdot 12704\\&=2^{5}\cdot 6352\\&=2^{6}\cdot 3176\\&=2^{7}\cdot 1588\\&=2^{8}\cdot 794\\&=2^{9}\cdot 397.\end{aligned}}}$

Da ${\displaystyle {}397}$ ungerade ist, ist der Exponent zu ${\displaystyle {}2}$ von ${\displaystyle {}203264}$ gleich ${\displaystyle {}9}$.

Bestimme das inverse Element zu ${\displaystyle {}{\overline {8}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(17)}$.

Der euklidische Algorithmus liefert direkt

${\displaystyle {}17=2\cdot 8+1\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}1&=17-2\cdot 8\\\end{aligned}}}$

Daher ist

${\displaystyle {}-2=15\,}$

das inverse Element zu ${\displaystyle {}8}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(17)}$.

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}3}$ im Ring der Gaußschen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ ein Primelement ist.

b) Bestimme die Charakteristik des Körpers ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(3)}$.

c) Bestimme die Anzahl der Elemente im Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]/(3)}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Bestimme die Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion

${\displaystyle {\frac {3X^{7}+5X^{3}-4X^{2}-6X+11}{X^{4}}}.}$

Es ist direkt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {3X^{7}+5X^{3}-4X^{2}-6X+11}{X^{4}}}&=3{\frac {X^{7}}{X^{4}}}+5{\frac {X^{3}}{X^{4}}}-4{\frac {X^{2}}{X^{4}}}-6{\frac {X}{X^{4}}}+11{\frac {1}{X^{4}}}\\&=3X^{3}+{\frac {5}{X}}-{\frac {4}{X^{2}}}-{\frac {6}{X^{3}}}+{\frac {11}{X^{4}}}.\end{aligned}}}$

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

${\displaystyle {\begin{matrix}5x-7y-4z&=&0\\2x+y-3z&=&0\\7x+6y-2z&=&0\,\end{matrix}}}$

nur die triviale Lösung ${\displaystyle {}(0,0,0)}$ besitzt.

Wir rechnen

${\displaystyle {}II'=II-{\frac {2}{5}}I={\frac {19}{5}}y-{\frac {7}{5}}z=0\,}$

und

${\displaystyle {}III'=III-{\frac {7}{5}}I={\frac {79}{5}}y+{\frac {18}{5}}z=0\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}5\cdot 79\cdot II'-5\cdot 19\cdot III'=(-7\cdot 79-18\cdot 19)z=-895z=0\,.}$

Daraus ergibt sich ${\displaystyle {}z=0}$, aus ${\displaystyle {}II'}$ ergibt sich ${\displaystyle {}y=0}$ und aus ${\displaystyle {}I}$ ergibt sich ${\displaystyle {}x=0}$.

Erläutere, warum das Achsenkreuz im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ kein Untervektorraum ist.

Offensichtlich gehören die Vektoren ${\displaystyle {}e_{1},e_{2}}$ zum Achsenkreuz, die Summe dieser beiden Vektoren jedoch nicht. Folglich ist das Achsenkreuz kein Untervektorraum

Beweise das Basisaustauschlemma.

Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist. Zunächst kann man wegen

${\displaystyle {}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,}$

und ${\displaystyle {}s_{k}\neq 0}$ den Vektor ${\displaystyle {}v_{k}}$ als

${\displaystyle {}v_{k}={\frac {1}{s_{k}}}w-\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}-\sum _{i=k+1}^{n}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}\,}$

schreiben. Es sei nun ${\displaystyle {}u\in V}$ beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben

${\displaystyle {}{\begin{aligned}u&=\sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}t_{i}v_{i}+t_{k}v_{k}+\sum _{i=k+1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}t_{i}v_{i}+t_{k}{\left({\frac {1}{s_{k}}}w-\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}-\sum _{i=k+1}^{n}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}\right)}+\sum _{i=k+1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}{\left(t_{i}-t_{k}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}\right)}v_{i}+{\frac {t_{k}}{s_{k}}}w+\sum _{i=k+1}^{n}{\left(t_{i}-t_{k}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}\right)}v_{i}.\end{aligned}}}$

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung ${\displaystyle {}k=1}$ an. Es sei

${\displaystyle {}t_{1}w+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=0\,}$

eine Darstellung der Null. Dann ist

${\displaystyle {}0=t_{1}w+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=t_{1}{\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\right)}+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=t_{1}s_{1}v_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(t_{1}s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\,.}$

Aus der linearen Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie folgt insbesondere ${\displaystyle {}t_{1}s_{1}=0}$ und wegen ${\displaystyle {}s_{1}\neq 0}$ ergibt sich ${\displaystyle {}t_{1}=0}$. Deshalb ist ${\displaystyle {}\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=0}$ und daher gilt ${\displaystyle {}t_{i}=0}$ für alle ${\displaystyle {}i}$.

Ein angeordneter Körper ${\displaystyle {}K}$ enthalte die Wurzeln ${\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{2}}}$ und ${\displaystyle {}{\sqrt[{7}]{2}}}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}K}$ auch ${\displaystyle {}{\sqrt[{21}]{2}}}$ enthält.

Aus

${\displaystyle {}1\cdot 7-2\cdot 3=1\,}$

erhält man durch Division durch ${\displaystyle {}21}$ die Gleichung

${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}-2\cdot {\frac {1}{7}}={\frac {1}{21}}\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\sqrt[{21}]{2}}&=2^{\frac {1}{21}}\\&=2^{{\frac {1}{3}}-2\cdot {\frac {1}{7}}}\\&=2^{\frac {1}{3}}\cdot 2^{-2\cdot {\frac {1}{7}}}\\&=2^{\frac {1}{3}}\cdot {\left(2^{\frac {1}{7}}\right)}^{-2}\\&={\sqrt[{3}]{2}}\cdot {\left({\sqrt[{7}]{2}}\right)}^{-2}.\end{aligned}}}$

Da nach Voraussetzung der Körper die beiden Zahlen ${\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{2}}}$ und ${\displaystyle {}{\sqrt[{7}]{2}}}$ enthält, muss er auch das inverse Element ${\displaystyle {}{\left({\sqrt[{7}]{2}}\right)}^{-1}}$ und somit auch das angegebene Produkt enthalten.

Forme die Gleichung

${\displaystyle {}x^{4}+3x^{3}-5x^{2}+2x-7=0\,}$

in eine äquivalente Gleichung der Form

${\displaystyle {}y^{4}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+b_{0}=0\,}$

mit ${\displaystyle {}b_{i}\in \mathbb {Q} }$ um.

Wir setzen ${\displaystyle {}x=y-{\frac {3}{4}}}$ an und drücken das Polynom bzw. die Gleichung in ${\displaystyle {}y}$ aus. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x^{4}&={\left(y-{\frac {3}{4}}\right)}^{4}\\&=y^{4}-4{\frac {3}{4}}y^{3}+6{\frac {9}{16}}y^{2}-4{\frac {27}{64}}y+{\frac {81}{256}}\\&=y^{4}-3y^{3}+{\frac {27}{8}}y^{2}-{\frac {27}{16}}y+{\frac {81}{256}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}3x^{3}&=3{\left(y-{\frac {3}{4}}\right)}^{3}\\&=3{\left(y^{3}-3{\frac {3}{4}}y^{2}+3{\frac {9}{16}}y-{\frac {27}{64}}\right)}\\&=3y^{3}-{\frac {27}{4}}y^{2}+{\frac {81}{16}}y-{\frac {81}{64}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}-5x^{2}=-5{\left(y-{\frac {3}{4}}\right)}^{2}=-5{\left(y^{2}-{\frac {3}{2}}y+{\frac {9}{16}}\right)}=-5y^{2}+{\frac {15}{2}}y-{\frac {45}{16}}\,}$

und

${\displaystyle {}2x=2{\left(y-{\frac {3}{4}}\right)}=2y-{\frac {3}{2}}\,.}$

Insgesamt ergibt sich also

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x^{4}+3x^{3}-5x^{2}+2x-7&=y^{4}+{\left({\frac {27}{8}}-{\frac {27}{4}}-5\right)}y^{2}+{\left(-{\frac {27}{16}}+{\frac {81}{16}}+{\frac {15}{2}}+2\right)}y+{\left({\frac {81}{256}}-{\frac {81}{64}}-{\frac {45}{16}}-{\frac {3}{2}}-7\right)}\\&=y^{4}-{\frac {67}{8}}y^{2}+{\frac {103}{8}}y-{\frac {3139}{256}}.\,\end{aligned}}}$

Eine äquivalente Gleichung ist also

${\displaystyle {}y^{4}-{\frac {67}{8}}y^{2}+{\frac {103}{8}}y-{\frac {3139}{256}}=0\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}\epsilon ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}}$ die dritte komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}]=L\subseteq {\mathbb {C} }\,.}$

a) Bestimme das Minimalpolynom von ${\displaystyle {}\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}}$.

b) Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$ gleich ${\displaystyle {}3}$ ist.

c) Zeige, dass die komplexe Konjugation nicht ${\displaystyle {}L}$ in ${\displaystyle {}L}$ überführt.

a) Es ist

${\displaystyle {}{\left(\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\right)}^{3}=\epsilon ^{3}7=7\,.}$

Daher annulliert ${\displaystyle {}X^{3}-7}$ das Element. Als Minimalpolynom kommt nur ein Teiler (mit rationalen Koeffizienten) dieses Polynoms in Frage. Die andern komplexen Nullstellen dieses Polynoms sind ${\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{7}}}$ und ${\displaystyle {}\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}}$. Die Faktorzerlegung dieses Polynoms über ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ ist daher

${\displaystyle {}X^{3}-7={\left(X-{\sqrt[{3}]{7}}\right)}{\left(X-\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\right)}{\left(X-\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}\right)}\,.}$

Die echten Teiler des Polynoms, die den mittleren Linearfaktor als Faktor enthalten, sind

${\displaystyle {}{\left(X-{\sqrt[{3}]{7}}\right)}{\left(X-\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\right)}=X^{2}-{\left(1+\epsilon \right)}{\sqrt[{3}]{7}}X+\epsilon 7^{\frac {2}{3}}\,}$

und

${\displaystyle {}{\left(X-\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\right)}{\left(X-\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}\right)}=X^{2}-{\left(\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}{\sqrt[{3}]{7}}X+7^{\frac {2}{3}}=X^{2}+{\sqrt[{3}]{7}}X+7^{\frac {2}{3}}\,,}$

die beide keine rationalen Koeffizienten besitzen. Also ist ${\displaystyle {}X^{3}-7}$ das Minimalpolynom.

b) Der Grad der Körpererweiterung ist ${\displaystyle {}3}$, da nach Satz 23.1 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) die Isomorphie

${\displaystyle {}\mathbb {Q} [\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}]\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-7)\,}$

gilt und somit der Grad ${\displaystyle {}3}$ vorliegt.

c) Die konjugiert-komplexe Zahl zu ${\displaystyle {}\epsilon }$ ist ${\displaystyle {}\epsilon ^{2}}$ und somit ist die konjugiert-komplexe Zahl von ${\displaystyle {}\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}}$ gleich ${\displaystyle {}\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}}$. Wir behaupten, dass diese Zahl nicht zu ${\displaystyle {}L}$ gehört. Nehmen wir an, sie würde doch dazugehören. Dann ist auch

${\displaystyle {}\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}+\epsilon ^{2}{\sqrt[{3}]{7}}={\left(\epsilon +\epsilon ^{2}\right)}{\sqrt[{3}]{7}}=-{\sqrt[{3}]{7}}\in L\,}$

und somit würde auch ${\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{7}}\in L}$ gelten. Es ist aber

${\displaystyle {}L\cap \mathbb {R} =\mathbb {Q} \,,}$

da der Durchschnitt ein Zwischenkörper ist, dessen Grad ein Teiler des Gesamtgrades sein muss. Wegen ${\displaystyle {}\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}\notin \mathbb {R} }$ ist aber der Grad ${\displaystyle {}3}$ ausgeschlossen und der Grad muss ${\displaystyle {}1}$ sein. Dies ist ein Widerspruch, da ${\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{7}}}$ reell, aber nicht rational ist.

Ist die Zahl ${\displaystyle {}{\sqrt[{1024}]{2}}}$ konstruierbar?

Wegen ${\displaystyle {}1024=2^{10}}$ geht es um die Zahl, die entsteht, wenn man aus der ${\displaystyle {}2}$ zehnmal sukzessive die Quadratwurzel zieht. Diese Zahl ist nach Lemma 26.1 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) konstruierbar.

In einer Schulklasse gibt es ${\displaystyle {}32}$ Kinder; es wurden vier identische Pizzen bestellt, die gerecht auf die Kinder verteilt werden sollen. Es steht ein beliebig langes Messer zur Verfügung. Zeige, dass man durch ${\displaystyle {}10}$ Schnitte die Aufteilung erreichen kann (die Pizzen dürfen nicht übereinander gelegt werden, und die Pizzen dürfen im gesamten Schneidevorgang nicht bewegt werden).

Es sei ${\displaystyle {}S}$ die Standardparabel und es sei ${\displaystyle {}G}$ eine Gerade, die durch zwei konstruierbare Punkte gegeben sei. Sind die Schnittpunkte von ${\displaystyle {}S}$ und ${\displaystyle {}G}$ ebenfalls konstruierbar?

Die Gleichung für die Parabel ist

${\displaystyle {}y=x^{2}\,.}$

Die Gleichung für eine Gerade durch konstruierbare Punkte besitzt die Form

${\displaystyle {}ax+by+c=0\,}$

mit reell-konstruierbaren Zahlen ${\displaystyle {}a,b,c}$. Bei

${\displaystyle {}b\neq 0\,}$

und man kann die Geradengleichung zu

${\displaystyle {}y=ux+v\,}$

umformen. Einsetzen in die Parabelgleichung ergibt die Gleichung

${\displaystyle {}ux+v=x^{2}\,,}$

also eine quadratische Gleichung in der einen Variablen ${\displaystyle {}x}$. Die Lösungen sind nach Lemma 26.1 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) konstruierbar. Bei

${\displaystyle {}b=0\,}$

ist ${\displaystyle {}a\neq 0}$ und damit ist direkt ${\displaystyle {}x=-{\frac {c}{a}}}$ und ${\displaystyle {}y={\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$, also wieder konstruierbar.