Kurs:Lineare Algebra/Teil I/31/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die leere Menge.
2. Eine injektive Abbildung

   ${\displaystyle f\colon L\longrightarrow M.}$

3. Der Spaltenrang einer ${\displaystyle {}m\times n}$- Matrix ${\displaystyle {}M}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
4. Der Polynomring über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
5. Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert ${\displaystyle {}\lambda }$ zu einer linearen Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

   auf einem endlichdimensionalen ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.

6. Eine Fahne in einem ${\displaystyle {}n}$- dimensionalen ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
2. Der Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
3. Der Satz über die Charakterisierung einer diagonalisierbaren Abbildung.

Man erläutere das Prinzip, dass viele Bedingungen zu einer kleinen Lösungsmenge korrespondieren, anhand eines alltäglichen und anhand eines mathematisches Beispiels.

Folgende Aussagen seien bekannt.

1. Der frühe Vogel fängt den Wurm.
2. Doro wird nicht von Lilly gefangen.
3. Lilly ist ein Vogel oder ein Igel.
4. Für Igel ist 5 Uhr am Morgen spät.
5. Doro ist ein Wurm.
6. Für Vögel ist 5 Uhr am Morgen früh.
7. Lilly schläft bis 5 Uhr am Morgen und ist ab 5 Uhr unterwegs.

Beantworte folgende Fragen.

1. Ist Lilly ein Vogel oder ein Igel?
2. Ist sie ein frühes oder ein spätes Tier?
3. Fängt der späte Igel den Wurm?

1. Lilly ist ein Igel. Beweis durch Widerspruch. Nehmen wir an, dass Lilly kein Igel ist. Dann ist sie nach (3) ein Vogel. Da Lilly nach (7) um ${\displaystyle {}5}$ Uhr schon unterwegs ist, ist nach (6) Lilly ein früher Vogel. Nach (1) fängt Lilly also den Wurm. Da nach (5) Doro ein Wurm ist, wird er von Lilly gefangen im Widerspruch zu (2).
2. Nach dem ersten Teil ist Lilly ein Igel, und nach (7) steht sie um 5 Uhr auf. Dies ist nach (4) für Igel spät, Lilly ist also ein später Igel und somit ein spätes Tier.
3. Da nach dem zweiten Teil Lilly ein später Igel ist und sie nach (2) Doro, die nach (5) ein Wurm ist, nicht fängt, fängt der späte Igel im Allgemeinen nicht den Wurm.

In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt „Bitte nicht gleichzeitig sprechen“. Bringe diese Aussage mit dem Konzept von disjunkten Mengen in Verbindung.

Die Forderung von Frau Maier-Sengupta bedeutet, das die Sprechzeiten der Kinder paarweise disjunkt sein sollen.

Wenn man die Gesamtgoldmenge der Welt auf alle Menschen aufteilt, so erhält jeder Mensch einen Goldwürfel, dessen Seitenlänge ${\displaystyle {}1,085}$ Zentimeter beträgt. Gold wiegt ${\displaystyle {}19,3}$ Gramm pro Kubikzentimeter. Der Wert von einem Kilogramm Gold beträgt ca. ${\displaystyle {}50.000}$ Euro im Jahr ${\displaystyle {}2020}$. Wie viel Euro besitzt jeder Mensch in Gold?

Es ist

${\displaystyle {}1,085^{3}=1,277\,,}$

das ist die Goldmenge pro Person in Kubikzentimetern. In Gramm ist dies

${\displaystyle {}1,277\cdot 19,3=24,646\,.}$

Ein Gramm ist ${\displaystyle {}50}$ Euro wert, also besitzt jede Person

${\displaystyle {}24,646\cdot 50=1232,3\,}$

Euro in Gold.

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

${\displaystyle {}x}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}2}$	${\displaystyle {}3}$	${\displaystyle {}4}$	${\displaystyle {}5}$	${\displaystyle {}6}$	${\displaystyle {}7}$
${\displaystyle {}\varphi (x)}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}5}$	${\displaystyle {}2}$	${\displaystyle {}5}$	${\displaystyle {}4}$	${\displaystyle {}7}$	${\displaystyle {}4}$

gegebene Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \{1,2,3,4,5,6,7\}\longrightarrow \{1,2,3,4,5,6,7\}.}$

a) Bestimme das Bild von ${\displaystyle {}\{5,6,7\}}$ unter ${\displaystyle {}\varphi }$.

b) Bestimme das Urbild von ${\displaystyle {}\{1,2,3,4\}}$ unter ${\displaystyle {}\varphi }$.

c) Erstelle eine Wertetabelle für

${\displaystyle {}\varphi ^{3}=\varphi \circ \varphi \circ \varphi \,.}$

a) Das Bild von ${\displaystyle {}\{5,6,7\}}$ ist ${\displaystyle {}\{4,7\}}$.

b) Das Urbild von ${\displaystyle {}\{1,2,3,4\}}$ ist ${\displaystyle {}\{1,3,5,7\}}$.

c)

${\displaystyle {}x}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}2}$	${\displaystyle {}3}$	${\displaystyle {}4}$	${\displaystyle {}5}$	${\displaystyle {}6}$	${\displaystyle {}7}$
${\displaystyle {}\varphi (x)}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}5}$	${\displaystyle {}4}$	${\displaystyle {}5}$	${\displaystyle {}4}$	${\displaystyle {}5}$	${\displaystyle {}4}$

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper ${\displaystyle {}K}$.

 Nehmen wir an, dass ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ beide von ${\displaystyle {}0}$ verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente ${\displaystyle {}a^{-1}}$ und ${\displaystyle {}b^{-1}}$ und daher ist ${\displaystyle {}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=1}$. Andererseits ist aber nach Voraussetzung ${\displaystyle {}ab=0}$ und daher ist nach Lemma 3.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (1)

${\displaystyle {}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0{\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0\,,}$

${\displaystyle {}0=1}$ ergibt.

Es sei ${\displaystyle {}K=\mathbb {R} (t)}$ der Körper der rationalen Funktionen über ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$. Löse das lineare Gleichungssystem

${\displaystyle {}tx-t^{3}y=t^{2}-1\,,}$

${\displaystyle {}x-{\left(t-2\right)}y=t+4\,.}$

${\displaystyle {}tx-t^{3}y=t^{2}-1\,,}$

${\displaystyle {}x-{\left(t-2\right)}y=t+4\,.}$

Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit ${\displaystyle {}t}$ und erhalten

${\displaystyle {}tx-{\left(t^{2}-2t\right)}y=t^{2}+4t\,.}$

Wir ziehen diese Gleichung von der ersten ab und erhalten

${\displaystyle {}-t^{3}y+{\left(t^{2}-t\right)}y=t^{2}-1-t^{2}-4t\,}$

bzw.

${\displaystyle {}{\left(-t^{3}+t^{2}-t\right)}y=-4t-1\,}$

und damit

${\displaystyle {}y={\frac {4t+1}{t^{3}-t^{2}+t}}\,.}$

Dies ergibt wiederum

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x&={\left(t-2\right)}y+t+4\\&={\left(t-2\right)}\cdot {\frac {4t+1}{t^{3}-t^{2}+t}}+t+4\\&={\frac {{\left(t-2\right)}{\left(4t+1\right)}+{\left(t+4\right)}{\left(t^{3}-t^{2}+t\right)}}{t^{3}-t^{2}+t}}\\&={\frac {4t^{2}-7t-2+t^{4}+3t^{3}-3t^{2}+4t}{t^{3}-t^{2}+t}}\\&={\frac {t^{4}+3t^{3}+t^{2}-3t-2}{t^{3}-t^{2}+t}}.\end{aligned}}}$

Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.

Die Standardbasis ${\displaystyle {}e_{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$, besteht aus ${\displaystyle {}n}$ Vektoren, also ist die Dimension ${\displaystyle {}n}$.

Beschreibe typische Problemstellungen, die unter den Begriff Dreisatz fallen, durch geeignete Beispiele.

Es sei eine lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} }$

mit

${\displaystyle \varphi {\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}=5{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}=-2}$

gegeben. Berechne

${\displaystyle \varphi {\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}.}$

Wir lösen zuerst das lineare Gleichungssystem

${\displaystyle {}a{\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}\,.}$

Die Gleichung ${\displaystyle {}III=I+4II}$ ist

${\displaystyle {}5b=22\,,}$

also ist

${\displaystyle {}b={\frac {22}{5}}\,}$

und

${\displaystyle {}a=2b-5={\frac {44-25}{5}}={\frac {19}{5}}\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi {\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}&=\varphi {\left({\frac {19}{5}}{\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}+{\frac {22}{5}}{\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}\right)}\\&={\frac {19}{5}}\cdot 5+{\frac {22}{5}}\cdot (-2)\\&={\frac {51}{5}}.\end{aligned}}}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und seien ${\displaystyle {}U,V,W}$ Vektorräume über ${\displaystyle {}K}$. Es seien

${\displaystyle \varphi \colon U\rightarrow V{\text{ und }}\psi \colon V\rightarrow W}$

lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung

${\displaystyle \psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W}$

Für ${\displaystyle {}u_{1},u_{2}\in U}$ ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(u_{1}+u_{2})&=\psi (\varphi (u_{1}+u_{2}))\\&=\psi (\varphi (u_{1})+\varphi (u_{2}))\\&=\psi (\varphi (u_{1}))+\psi (\varphi (u_{2}))\\&=(\psi \circ \varphi )(u_{1})+(\psi \circ \varphi )(u_{2})\end{aligned}}}$

und für ${\displaystyle {}u\in U}$, ${\displaystyle {}s\in K}$ ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(su)&=\psi (\varphi (su))\\&=\psi (s\varphi (u))\\&=s\psi (\varphi (u))\\&=s(\psi \circ \varphi )(u),\end{aligned}}}$

was insgesamt die Linearität der Hintereinanderschaltung bedeutet.

Bestimme die inverse Matrix zu

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}3&7\\4&5\end{pmatrix}}\,.}$

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}3&7\\4&5\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}3&7\\0&-{\frac {13}{3}}\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {4}{3}}&1\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}3&0\\0&-{\frac {13}{3}}\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-{\frac {15}{13}}&{\frac {21}{13}}\\-{\frac {4}{3}}&1\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-{\frac {5}{13}}&{\frac {7}{13}}\\{\frac {4}{13}}&-{\frac {3}{13}}\end{pmatrix}}}$

Die inverse Matrix ist also ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-{\frac {5}{13}}&{\frac {7}{13}}\\{\frac {4}{13}}&-{\frac {3}{13}}\end{pmatrix}}}$.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass die Skalarmultiplikation

${\displaystyle K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,}$

bilinear ist.

Bei fixiertem Skalar ${\displaystyle {}s\in K}$ ist die

${\displaystyle V\longrightarrow V,\,v\longmapsto sv,}$

die Streckung mit ${\displaystyle {}s}$, die linear ist. Bei fixiertem Vektor ${\displaystyle {}v\in V}$ ist die Abbildung

${\displaystyle K\longrightarrow V,\,s\longmapsto sv,}$

wegen der Vektorraumaxiome

${\displaystyle {}{\left(s_{1}+s_{2}\right)}v=s_{1}v+s_{2}v\,}$

uns

${\displaystyle {}s{\left(tv\right)}={\left(st\right)}v\,}$

ebenfalls linear.

Beweise die Cramersche Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.

Für eine invertierbare Matrix ${\displaystyle {}M}$ ergibt sich die Lösung für das lineare Gleichungssystem ${\displaystyle {}Mx=c}$, indem man ${\displaystyle {}M^{-1}}$ anwendet, d.h. es ist ${\displaystyle {}x=M^{-1}c}$. Unter Verwendung von Satz 17.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) bedeutet dies ${\displaystyle {}x={\frac {1}{\det M}}(M^{\operatorname {adj} })c}$. Für die ${\displaystyle {}j}$-te Komponente bedeutet dies

${\displaystyle {}x_{j}={\frac {1}{\det M}}{\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+j}(\det M_{kj})\cdot c_{k}\right)}\,.}$

Der rechte Faktor ist dabei die Entwicklung der Determinante der Matrix im Zähler nach der ${\displaystyle {}j}$-ten Spalte.

a) Es sei ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ ein Polynom über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ der Form

${\displaystyle {}F=aX^{n}\,}$

mit ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ und ${\displaystyle {}a\neq 0}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}F}$ die ${\displaystyle {}0}$ als einzige Nullstelle besitzt.

b) Es sei ${\displaystyle {}F\in {\mathbb {C} }[X]}$ ein Polynom mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle {}0}$ die einzige komplexe Nullstelle von ${\displaystyle {}F}$ ist. Zeige, dass ${\displaystyle {}F}$ die Form

${\displaystyle {}F=aX^{n}\,}$

mit ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ und ${\displaystyle {}a\neq 0}$ hat.

c) Man gebe ein Beispiel für ein reelles Polynom ${\displaystyle {}F\in \mathbb {R} [X]}$ mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle {}0}$ die einzige reelle Nullstelle von ${\displaystyle {}F}$ ist, dass ${\displaystyle {}F}$ aber nicht die Gestalt aus Teil (1) besitzt.

a) Die angegebenen Polynome haben die gewünschte Eigenschaft über jedem Körper nach Lemma 3.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)). Aus ${\displaystyle {}ax^{n}=0}$ folgt zunächst ${\displaystyle {}x^{n}=0}$ und daraus ${\displaystyle {}x=0}$.

b) Es sei ${\displaystyle {}F\in {\mathbb {C} }[X]}$ ein Polynom mit der angegebenen Nullstelleneigenschaft. Wenn ${\displaystyle {}F}$ konstant ist, so besitzt ${\displaystyle {}F}$ bei ${\displaystyle {}F=0}$ jedes Element als Nullstelle und bei ${\displaystyle {}F=c\neq 0}$ überhaupt keine Nullstelle. Der Grad von ${\displaystyle {}F}$ muss also zumindest ${\displaystyle {}1}$ sein. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt ${\displaystyle {}F}$ eine Faktorzerlegung

${\displaystyle {}F=a(X-b_{1})\cdots (X-b_{n})\,}$

mit ${\displaystyle {}a,b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathbb {C} },\,a\neq 0}$. Die ${\displaystyle {}b_{i}}$ sind die Nullstellen von ${\displaystyle {}F}$. Da diese alle ${\displaystyle {}0}$ sein sollen, ist

${\displaystyle {}F=aX^{n}\,.}$

c) Wir betrachten

${\displaystyle {}F=X^{3}+X=X{\left(X^{2}+1\right)}\,,}$

das nicht die Form aus Teil (1) besitzt. Eine Nullstelle dieses Polynoms ist die Nullstelle eines Faktors. Das Polynom ${\displaystyle {}X^{2}+1}$ ist reell immer positiv und somit nullstellenfrei, also ist ${\displaystyle {}0}$ die einzige Nullstelle von ${\displaystyle {}F}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]_{\leq d}}$ der ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum aller Polynome vom Grad ${\displaystyle {}\leq d}$. Zu ${\displaystyle {}z\in K}$ bezeichne ${\displaystyle {}\operatorname {Ev} _{z}}$ die Auswertung an ${\displaystyle {}z}$, also die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {Ev} _{z}\colon K[X]_{\leq d}\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(z).}$

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}\operatorname {Ev} _{z}}$ linear ist.

b) Es sei

${\displaystyle {}M={\left\{\operatorname {Ev} _{z}\mid z\in K\right\}}\subseteq {\left(K[X]_{\leq d}\right)}^{*}\,.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ keines der Untervektorraumaxiome erfüllt.

a) Für Polynome ${\displaystyle {}P,Q\in K[X]_{\leq d}}$ und Skalare ${\displaystyle {}r,s\in K}$ und ${\displaystyle {}z\in K}$ ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\operatorname {Ev} _{z}(rP+sQ)&=(rP+sQ)(z)\\&=rP(z)+sQ(z)\\&=r\operatorname {Ev} _{z}(P)+s\operatorname {Ev} _{z}(Q),\end{aligned}}}$

was die Linearität bedeutet.

b) Die Nullform lässt sich nicht als Auswertung realisieren, da ${\displaystyle {}\operatorname {Ev} _{z}}$ am Polynom ${\displaystyle {}X-z+1}$ nicht den Wert ${\displaystyle {}0}$ besitzt. Daher sind wegen

${\displaystyle {}0\cdot \operatorname {Ev} _{z}=0\,}$

die Auswertungen auch nicht abgeschlossen unter skalarer Multiplikation. Die Auswertungen sind auch nicht abgeschlossen unter der Addition. Die Auswertung an der ${\displaystyle {}0}$ ergibt den konstanten Term des Polynoms, das Doppelte davon also das Doppelte des konstanten Terms. Wenn dies gleich einer Auswertung ${\displaystyle {}\operatorname {Ev} _{w}}$ wäre, so müsste

${\displaystyle {}\operatorname {Ev} _{w}(X)=w=0\,}$

und auch

${\displaystyle {}\operatorname {Ev} _{w}(X+1)=w+1=2\,}$

sein, was nicht sein kann.

Es sei

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\\-1&0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

a) Bestimme das charakteristische Polynom von ${\displaystyle {}M}$.

b) Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von ${\displaystyle {}M}$ und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.

c) Begründe, dass das charakteristische Polynom von ${\displaystyle {}M}$ zumindest zwei reelle Nullstellen hat.

a) Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\begin{pmatrix}X+1&-1&0&0\\0&X+1&-1&0\\0&0&X+1&-1\\1&0&0&X-1\end{pmatrix}}\\&=(X+1)^{3}(X-1)+1\\&=(X^{2}+2X+1)(X^{2}-1)+1\\&=X^{4}+2X^{3}+X^{2}-X^{2}-2X-1+1\\&=X^{4}+2X^{3}-2X.\end{aligned}}}$

b) Es ist ${\displaystyle {}0}$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und es ist

${\displaystyle {}X^{4}+2X^{3}-2X=X(X^{3}+2X^{2}-2)\,.}$

c) Die Nullstelle ${\displaystyle {}0}$ haben wir bereits gefunden. Wir betrachten den zweiten Faktor ${\displaystyle {}X^{3}+2X^{2}-2}$. Da es sich um ein Polynom ungeraden Grades handelt, muss es eine reelle Nullstelle besitzen. Da ${\displaystyle {}0}$ keine Nullstelle davon ist, gibt es also eine weitere reelle Nullstelle.

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung ${\displaystyle {}\varphi \colon \mathbb {Q} ^{3}\rightarrow \mathbb {Q} ^{3}}$ mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}\mathbb {Q} ^{3}}$ die einzigen ${\displaystyle {}\varphi }$- invarianten Untervektorräume sind. Verwende, dass ${\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{2}}}$ irrational ist.

Wir betrachten die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&2\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}}$

und die zugehörige lineare Abbildung ${\displaystyle {}\varphi \colon \mathbb {Q} ^{3}\rightarrow \mathbb {Q} ^{3}}$. Das charakteristische Polynom ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\chi _{\varphi }&=\det \left(X{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&0&2\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}\right)\\&=\det {\begin{pmatrix}X&0&-2\\-1&X&0\\0&-1&X\end{pmatrix}}\\&=X^{3}-2.\end{aligned}}}$

Dieses Polynom besitzt über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ keine Nullstelle, da die einzige reelle Nullstelle bei ${\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{2}}}$ vorliegt, und dies nicht zu ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ gehört. Daher besitzt die Matrix keine Eigenwerte, keine Eigenvektoren und keine eindimensionalen ${\displaystyle {}\varphi }$- invarianten Untervektorräume. Nehmen wir an, dass es einen zweidimensionalen ${\displaystyle {}\varphi }$-invarianten Untervektorraum ${\displaystyle {}U}$ gibt. Dann kann ${\displaystyle {}\varphi }$ durch eine Matrix der Form

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&x\\c&d&y\\0&0&z\end{pmatrix}}}$

beschrieben werden. Doch dann zeigt das charakteristische Polynom, dass ${\displaystyle {}z}$ ein Eigenwert ist, was nicht sein kann.

Beweise den Festlegungssatz für affine Abbildungen.

Es sei ${\displaystyle {}i_{0}\in I}$. Es gibt nach Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

mit

${\displaystyle {}\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}})={\overrightarrow {Q_{i_{0}}Q_{i}}}\,,}$

für alle ${\displaystyle {}i\in I\setminus \{i_{0}\}}$. Dann ist

${\displaystyle {}\psi (R)=Q_{i_{0}}+\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}R}})\,}$

eine affin-lineare Abbildung mit der gewünschten Eigenschaft. Es ist ja

${\displaystyle {}\psi (P_{i_{0}})=Q_{i_{0}}+\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i_{0}}}})=Q_{i_{0}}\,}$

und

${\displaystyle {}\psi (P_{i})=Q_{i_{0}}+\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}})=Q_{i_{0}}+{\overrightarrow {Q_{i_{0}}Q_{i}}}=Q_{i}\,.}$

Umgekehrt ist eine solche affine Abbildung ${\displaystyle {}\psi }$ durch den linearen Anteil und durch den Wert an einem einzigen Punkt eindeutig festgelegt, sodass

${\displaystyle {}\psi _{0}=\varphi \,}$

sein muss.