Kurs:Lineare Algebra/Teil I/36/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung ${\displaystyle {}F\colon L\rightarrow M}$.
2. Ein neutrales Element ${\displaystyle {}e\in M}$ zu einer Verknüpfung

   ${\displaystyle \circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.}$

3. Eine invertierbare ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrix ${\displaystyle {}M}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
4. Die duale Abbildung zu einer linearen Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

   zwischen ${\displaystyle {}K}$- Vektorräumen ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$.

5. Das charakteristische Polynom zu einer ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrix ${\displaystyle {}M}$ mit Einträgen in einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
6. Eine Matrix in jordanscher Normalform.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
2. Der Satz über die Verknüpfung linearer Abbildungen.
3. Der Satz über die jordansche Normalform.

1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.

1. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${\displaystyle {}\,}$

2. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${\displaystyle {}\,}$

3. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${\displaystyle {}\,}$

4. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   ${\displaystyle {}\,}$

Der Planet Trigeno wird von einer einzigen Tierart bevölkert, den Trigos. Diese Tierart besitzt drei Geschlechter: Antilopen (A), Büffel (B) und Cnus (C). Bei der Paarung treffen zwei Individuen zusammen und erzeugen ein neues Individuum. Wenn das Paar gleichgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis wieder dieses Geschlecht, wenn das Paar gemischtgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis das dritte unbeteiligte Geschlecht. Alle Tiere gehören einer eindeutigen Generation an, es finden nur Paarungen innerhalb der gleichen Generation statt.

1. Die ${\displaystyle {}n}$-te Generation bestehe nur aus einem einzigen Geschlecht. Zeige, dass jede weitere Generation auch nur aus diesem Geschlecht besteht.
2. Die ${\displaystyle {}n}$-te Generation bestehe nur aus zwei Individuen unterschiedlichen Geschlechts. Zeige, dass diese Geschlechter mit ihrer Generation aussterben.
3. Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf. Zeige, dass die Tierart genau dann aussterben muss, wenn es in einer Generation nur zwei oder weniger Individuen gibt.
4. Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf, und in jeder Generation gebe es genau drei Individuen. Beschreibe die möglichen Generationsabfolgen. Welche Periodenlängen treten auf?

1. Wenn die Generation nur aus dem Geschlecht ${\displaystyle {}X}$ besteht, so sind nur Paarungen innerhalb dieses Geschlechts möglich und das Ergebnis gehört stets diesem Geschlecht an. Mit Induktion folgt, dass dies über alle folgenden Generationen so bleibt.
2. Die Generation bestehe aus einem Individuum des Geschlechts ${\displaystyle {}X}$ und aus einem Individuum des Geschlechts ${\displaystyle {}Y\neq X}$. Die Folgegeneration besteht dann ausschließlich aus dem dritten Geschlecht ${\displaystyle {}Z}$ und nach Teil (1) überträgt sich das auf alle folgenden Generationen.
3. Wenn es nur ein oder kein Individuum gibt, so ist keine Paarung möglich und die nächste Generation ist leer. Wenn es zwei Individuen gibt, so ist nur eine Paarung möglich und es gibt nur einen Nachkommen, der sich allein nicht fortpflanzen kann. Wenn es dagegen mindestens drei Individuen, egal welchen Geschlechts, gibt, so sind auch mindestens drei Paarungen möglich und die nächste Generation besitzt mindestens wieder drei Individuen.
4. Wenn drei gleichgeschlechtliche Individuen in einer Generation leben, so erzeugen die drei möglichen Paare stets wieder ebendieses Geschlecht. Die Möglichkeiten sind ${\displaystyle {}A,A,A}$ oder ${\displaystyle {}B,B,B}$ oder ${\displaystyle {}C,C,C}$ und die Periodenlänge ist ${\displaystyle {}1}$. Wenn drei unterschiedliche Geschlechter vertreten sind, so ist jedes Geschlecht durch genau ein Individuum vertreten, es liegt also ${\displaystyle {}A,B,C}$ vor. Die drei Paarungen führen dann wieder zu ${\displaystyle {}A,B,C}$ und die Periodenlänge ist ebenfalls ${\displaystyle {}1}$. Wenn ein Geschlecht durch zwei Individuen vertreten ist und ein zweites Geschlecht durch ein Individuum, sagen wir ${\displaystyle {}X,X,Y}$, so wird daraus ${\displaystyle {}X,Z,Z}$ und daraus ${\displaystyle {}Y,Y,Z}$ und daraus ${\displaystyle {}X,X,Y}$. Die Periodenlänge ist also ${\displaystyle {}3}$. Von diesem Typ gibt es zwei Generationsabfolgen, nämlich die mit ${\displaystyle {}A,A,B}$ (mit ${\displaystyle A,C,C}$ und ${\displaystyle B,B,C}$) und die mit ${\displaystyle {}A,B,B}$ (mit ${\displaystyle B,C,C}$ und ${\displaystyle A,A,C}$).

Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist, wenn sie ungerade ist.

Zwei aufeinander folgende Quadratzahlen haben die Form ${\displaystyle {}n^{2}}$ und ${\displaystyle {}(n+1)^{2}}$ mit ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$. Ihre Differenz ist

${\displaystyle {}(n+1)^{2}-n^{2}=n^{2}+2n+1-n^{2}=2n+1\,.}$

Dies ist eine ungerade Zahl. Umgekehrt kann man eine ungerade Zahl ${\displaystyle {}u}$ als ${\displaystyle {}u=2n+1}$ mit ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ schreiben, und die Gleichungskette zeigt, dass ${\displaystyle {}u}$ die Differenz von zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen ist.

Drücke in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} ^{2}}$ den Vektor

${\displaystyle (2,-7)}$

als Linearkombination der Vektoren

${\displaystyle (5,-3){\text{ und }}(-11,4)}$

aus.

Das zugehörige lineare Gleichungssystem ist

${\displaystyle {}2=5x-11y\,,}$

${\displaystyle {}-7=-3x+4y\,,}$

bzw.

${\displaystyle {}6=15x-33y\,,}$

${\displaystyle {}-35=-15x+20y\,.}$

Die Summe der beiden Gleichungen ist

${\displaystyle {}-29=-13y\,,}$

also

${\displaystyle {}y={\frac {29}{13}}\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x&={\frac {1}{5}}{\left(2+11y\right)}\\&={\frac {1}{5}}{\left(2+11{\frac {29}{13}}\right)}\\&={\frac {1}{5}}\cdot {\frac {26+319}{13}}\\&={\frac {1}{5}}\cdot {\frac {345}{13}}\\&={\frac {69}{13}}.\end{aligned}}}$

Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.

Es seien ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}=b_{1},\ldots ,b_{n}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{k}}$ zwei Basen von ${\displaystyle {}V}$. Aufgrund des Basisaustauschsatzes, angewandt auf die Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}}$ und die linear unabhängige Familie ${\displaystyle {}{\mathfrak {u}}}$ ergibt sich ${\displaystyle {}k\leq n}$. Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt ${\displaystyle {}n\leq k}$, also insgesamt ${\displaystyle {}n=k}$.

Wir betrachten die Menge ${\displaystyle {}U}$ aller reellen ${\displaystyle {}3\times 3}$- Matrizen mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}6\\-7\\9\end{pmatrix}}}$ zum Kern der Matrix gehört.

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}U}$ ein Untervektorraum im Raum aller Matrizen ist.

b) Bestimme die Dimension dieses Untervektorraumes.

a) Es sei ${\displaystyle {}v}$ der Vektor. Für Matrizen ${\displaystyle {}M,N}$ mit

${\displaystyle {}Mv=Nv=0\,}$

gilt direkt

${\displaystyle {}{\left(aM+bN\right)}(v)=0\,.}$

b) Die Matrixbedingung

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\-7\\9\end{pmatrix}}=0\,}$

bedeutet, dass ${\displaystyle {}U}$ durch die drei linearen Gleichungen

${\displaystyle {}6x_{1}-7x_{2}+9x_{3}=0\,,}$

${\displaystyle {}6y_{1}-7y_{2}+9y_{3}=0\,,}$

${\displaystyle {}6z_{1}-7z_{2}+9z_{3}=0\,}$

beschrieben wird. Die Gleichungen sind linear unabhängig, da sie auf verschiedene Variablen Bezug nehmen. Also ist die Dimension von ${\displaystyle {}U}$ gleich

${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(U\right)}=9-3=6\,.}$

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen.

Da ${\displaystyle {}f(v_{i})=w_{i}}$ sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft

${\displaystyle {}f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}\,}$

erfüllt, und jeder Vektor ${\displaystyle {}v\in V}$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

${\displaystyle f\colon V\longrightarrow W,}$

indem wir jeden Vektor ${\displaystyle {}v\in V}$ mit der gegebenen Basis als

${\displaystyle {}v=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\,}$

schreiben (wobei ${\displaystyle {}s_{i}=0}$ für fast alle ${\displaystyle {}i\in I}$ ist) und

${\displaystyle {}f(v):=\sum _{i\in I}s_{i}w_{i}\,}$

ansetzen. Da die Darstellung von ${\displaystyle {}v}$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert. Die Eigenschaft ${\displaystyle {}f(v_{i})=w_{i}}$ ist dabei klar.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren ${\displaystyle {}u=\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}}$ und ${\displaystyle {}v=\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}}$ gilt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f{\left(u+v\right)}&=f{\left({\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=f{\left(\sum _{i\in I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}(s_{i}+t_{i})f{\left(v_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}s_{i}f{\left(v_{i}\right)}+\sum _{i\in I}t_{i}f(v_{i})\\&=f{\left(\sum _{i\in I}s_{i}v_{i}\right)}+f{\left(\sum _{i\in I}t_{i}v_{i}\right)}\\&=f(u)+f(v).\end{aligned}}}$

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe 10.21 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).

Dr. Eisenbeis hat sich bei „Bauer sucht Frau“ beworben und verbringt die Hofwoche bei Bauer Ernst. Heute muss sie den Stall ausmisten. Im Stall befinden sich drei Kühe, fünf Schweine, ein Esel und zehn Kaninchen. Die Mistmenge (in Kilogramm pro Tag und Tier) ist der folgenden Tabelle zu entnehmen.

Tier	${\displaystyle {}Ku}$	${\displaystyle {}S}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}Ka}$
Mist	${\displaystyle {}10}$	${\displaystyle {}5}$	${\displaystyle {}8}$	${\displaystyle {}0,1}$

a) Wie viel Mist muss ausgemistet werden, wenn alle zwei Tage ausgemistet wird?

b) Erstelle eine Formel, die in Abhängigkeit von der Tieranzahl ${\displaystyle {}\left(x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}\right)}$ und von der Zeit ${\displaystyle {}t}$ (in Tagen) die Mistmenge berechnet.

c) Inwiefern liegt in (b) ein linearer Zusammenhang vor?

a) Die Mistmenge ist

${\displaystyle {}2{\left(3\cdot 10+5\cdot 5+1\cdot 8+10\cdot 0,1\right)}=2\cdot 64=128\,}$

in Kilogramm.

b) Die Formel für die Mistmenge ist

${\displaystyle {}t{\left(x_{1}\cdot 10+x_{2}\cdot 5+x_{3}\cdot 8+x_{4}\cdot 0,1\right)}=10tx_{1}+5tx_{2}+8tx_{3}+0,1tx_{4}\,.}$

c) Die Formel beschreibt eine bilineare Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ,}$

die Abbildung ist bei fixierter Zeit linear in der Tieranzahl und bei fixierter Tieranzahl linear in der Zeit.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine ${\displaystyle {}n\times n}$- Matrix über einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Es werde die letzte Spalte der Matrix nach ganz vorne gesetzt, wodurch jede weitere Spalte um eine Position nach rechts rückt. Wie ändert sich dabei die Determinante?

Die Manipulation kann man dadurch sukzessive realisieren, dass man die letzte und die vorletzte Spalte vertauscht, dann die vorletzte und die vorvorletzte Spalte vertauscht, u.s.w., bis man schließlich die zweite und die erste Spalte vertauscht. Das sind insgesamt ${\displaystyle {}n-1}$ Spaltenvertauschungen. Bie jeder ändert sich das Vorzeichen der Determinante, deshalb ändert sich insgesamt das Vorzeichen der Determinante mit dem Faktor ${\displaystyle {}(-1)^{n-1}}$.

Beweise den Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.

Wir schreiben

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\operatorname {sgn} (\pi )&=\prod _{i<j}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\\&=\prod _{(i,j)\in F}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\prod _{(i,j)\not \in F}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\\&=(-1)^{k}\prod _{(i,j)\in F}{\frac {\pi (i)-\pi (j)}{j-i}}\prod _{(i,j)\not \in F}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\\&=(-1)^{k},\end{aligned}}}$

da nach dieser Umordnung sowohl im Zähler als auch im Nenner das Produkt aller positiven Differenzen steht.

Setze in das Polynom ${\displaystyle {}-5X^{3}-X^{2}+{\sqrt {2}}X+{\sqrt {5}}}$ die Zahl ${\displaystyle {}{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$ ein.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(-5X^{3}-X^{2}+{\sqrt {2}}X+{\sqrt {5}}\right)}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}&=-5{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}^{3}-{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}^{2}+{\sqrt {2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}+{\sqrt {5}}\\&=-5{\left({\sqrt {2}}^{3}+3{\sqrt {2}}^{2}{\sqrt {3}}+3{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}^{2}+{\sqrt {3}}^{3}\right)}-{\left({\sqrt {2}}^{2}+2{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {3}}^{2}\right)}+{\sqrt {2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}+{\sqrt {5}}\\&=-5{\left(2{\sqrt {2}}+6{\sqrt {3}}+9{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)}-{\left(2+2{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+3\right)}+2+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}\\&=-5{\left(11{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)}-3-2{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}\\&=-55{\sqrt {2}}-45{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}-3+{\sqrt {5}}.\,\end{aligned}}}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}\,,}$

2. ${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)=\operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)\,.}$

Es seien

${\displaystyle {}P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\,}$

und

${\displaystyle {}Q=b_{m}X^{m}+b_{m-1}X^{m-1}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}\,}$

mit ${\displaystyle {}a_{n},b_{m}\neq 0}$, also ${\displaystyle {}n=\operatorname {grad} \,(P)}$ und ${\displaystyle {}m=\operatorname {grad} \,(Q)}$. Bei ${\displaystyle {}m\neq n}$ ist ${\displaystyle {}\operatorname {max} (m,n)}$ der Grad der Summe, bei ${\displaystyle {}m=n}$ ist bei ${\displaystyle {}a_{n}\neq -b_{n}}$ dies auch der Grad des Summenpolynoms, im andern Fall wird der Grad kleiner (die Summe kann ${\displaystyle {}0}$ sein, dann ist die Aussage als erfüllt zu interpretieren). Wegen Lemma 3.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist ${\displaystyle {}a_{n}b_{m}\neq 0}$ und somit ist ${\displaystyle {}a_{n}b_{m}X^{n+m}}$ der Leitterm des Produktpolynoms ${\displaystyle {}PQ}$, dessen Grad somit gleich ${\displaystyle {}n+m}$ ist.

Man finde ein reelles Polynom ${\displaystyle {}f}$ von minimalem Grad mit

${\displaystyle f(0)=0,\,f(1)=1,\,f(2)=3,\,f(3)=6.}$

Es muss ein interpolierendes Polynom vom Grad ${\displaystyle {}\leq 3}$ geben, wir können also den Ansatz

${\displaystyle {}f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$

machen, wobei wegen der ersten Bedingung direkt ${\displaystyle {}d=0}$ gilt. Die übrigen Interpolationspunkte liefern das lineare Gleichungssystem

${\displaystyle {}a+b+c=1\,,}$

${\displaystyle {}8a+4b+2c=3\,,}$

${\displaystyle {}27a+9b+3c=6\,.}$

${\displaystyle {}II-2I}$ ergibt

${\displaystyle {}6a+2b=1\,}$

und ${\displaystyle {}III-3I}$ ergibt

${\displaystyle {}24a+6b=3\,}$

bzw.

${\displaystyle {}8a+2b=1\,.}$

Daraus folgt ${\displaystyle {}a=0}$ und ${\displaystyle {}b={\frac {1}{2}}}$ und damit auch ${\displaystyle {}c={\frac {1}{2}}}$. Das interpolierende Polynom minimalen Grades ist also

${\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x.}$

Es sei ${\displaystyle {}d\in \mathbb {N} }$ fixiert. Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {R} [X]_{\leq d}}$ der ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$- Vektorraum aller Polynome, die maximal den Grad ${\displaystyle {}d}$ besitzen. Wir betrachten die lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} [X]_{\leq d}\longrightarrow \mathbb {R} [X]_{\leq d},\,P\longmapsto P',}$

die durch den Ableitungsoperator gegeben ist (es wird also ${\displaystyle {}X^{i}}$ für ${\displaystyle {}i\geq 1}$ auf ${\displaystyle {}iX^{i-1}}$ abgebildet, die konstanten Polynome gehen auf ${\displaystyle {}0}$).

a) Bestimme die Eigenräume von ${\displaystyle {}\varphi }$.

b) Erstelle die beschreibende Matrix zu ${\displaystyle {}\varphi }$ bezüglich der Basis ${\displaystyle {}X^{0},X^{1},X^{2},\ldots ,X^{d}}$.

c) Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ nilpotent ist.

a) Die konstanten Polynome gehen unter ${\displaystyle {}\varphi }$ auf ${\displaystyle {}0}$, und kein Polynom von positivem Grad geht auf ${\displaystyle {}0}$. Daher ist

${\displaystyle {}\operatorname {Eig} _{0}{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} \varphi =\mathbb {R} \cdot 1\,.}$

Es gibt keine weiteren Eigenvektoren, da jedes Polynom ${\displaystyle {}P}$ vom Grad ${\displaystyle {}i\geq 1}$ auf ein Polynom vom Grad ${\displaystyle {}i-1}$ abgebildet wird, und daher ${\displaystyle {}\varphi (P)=P'}$ nicht ein skalares Vielfaches von ${\displaystyle {}P}$ sein kann.

b) Die beschreibende Matrix bezüglich der Variablenbasis ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &\ldots &0\\0&0&2&0&\ldots &0\\0&0&0&3&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&0&d\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

c) Da ${\displaystyle {}\varphi }$ den Grad um ${\displaystyle {}1}$ reduziert und konstante Polynome auf ${\displaystyle {}0}$ abbildet, ist die Abbildung nilpotent.

Bestimme zur reellen Matrix

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}-3&4&3&4\\0&-3&5&3\\0&0&-3&7\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}\,}$

die jordansche Normalform. (Es muss keine Basis angegeben werden, bezüglich der jordansche Normalform vorliegt.)

Es ist

${\displaystyle {}N={\begin{pmatrix}-3&4&3&4\\0&-3&5&3\\0&0&-3&7\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}+3E_{4}={\begin{pmatrix}0&4&3&4\\0&0&5&3\\0&0&0&7\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,.}$

Das Element ${\displaystyle {}e_{1}}$ gehört zum Kern. Die ${\displaystyle {}3\times 3}$-Untermatrix rechts oben hat eine Determinante ${\displaystyle {}\neq 0}$ und somit hat die Matrix ${\displaystyle {}N}$ den Rang ${\displaystyle {}3}$ und der Kern ist eindimensional. In diesem Fall wachsen die Kerne zu ${\displaystyle {}M^{i}}$ jeweils um eine Dimension und daher ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-3&1&0&0\\0&-3&1&0\\0&0&-3&1\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}}$

die jordansche Normalform von ${\displaystyle {}M}$.

a) Zeige, dass die Menge

${\displaystyle {}S={\left\{{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\mid a\in \mathbb {R} \right\}}\,}$

eine Untergruppe der Gruppe der reellen invertierbaren ${\displaystyle {}2\times 2}$-Matrizen ist.

b) Zeige, dass die Gruppe ${\displaystyle {}S}$ isomorph zur additiven Gruppe ${\displaystyle {}(\mathbb {R} ,+,0)}$ ist.

a) Es ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a+b\\0&1\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&-a\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a-a\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.}$

Diese Menge ist also abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation und enthält mit jedem Element auch das inverse Element. Für ${\displaystyle {}a=0}$ liegt die Einheitsmatrix vor. Da diese Matrizen die Determinante ${\displaystyle {}1}$ besitzen, liegt insgesamt eine Untergruppe der speziellen linearen Gruppe vor.

b) Die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow S,\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}},}$

ist ein Gruppenisomorphismus.

Wir betrachten die lineare Gleichung

${\displaystyle {}4x-9y=5\,,}$

es sei ${\displaystyle {}L}$ die Lösungsmenge.

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}P={\begin{pmatrix}35\\15\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}Q={\begin{pmatrix}2\\{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}}$ affin-unabhängige Punkte von ${\displaystyle {}L}$ sind.

b) Bestimme die baryzentrischen Koordinaten von

${\displaystyle {}R={\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}\\1\end{pmatrix}}\in L\,}$

bezüglich ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}Q}$.

a) ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}Q}$ sind offenbar Punkte von ${\displaystyle {}L}$, und da sie verschieden sind, sind sie affin-unabhängig.

b) Es ist

${\displaystyle {}{\overrightarrow {PQ}}={\begin{pmatrix}2\\{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}35\\15\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-33\\-{\frac {44}{3}}\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}{\overrightarrow {PR}}={\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}35\\15\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {63}{2}}\\-14\end{pmatrix}}\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\overrightarrow {PR}}={\begin{pmatrix}-{\frac {63}{2}}\\-14\end{pmatrix}}={\frac {21}{22}}{\begin{pmatrix}-33\\-{\frac {44}{3}}\end{pmatrix}}={\frac {21}{22}}{\overrightarrow {PQ}}\,}$

Also sind die baryzentrischen Koordinaten von ${\displaystyle {}R=P+{\frac {21}{22}}{\overrightarrow {PQ}}}$ nach Satz 29.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gleich

${\displaystyle {\frac {1}{22}}P+{\frac {21}{22}}Q.}$