Kurs:Lineare Algebra/Teil I/47/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Produktmenge aus zwei Mengen ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}M}$.
2. Das Bild einer Abbildung

   ${\displaystyle F\colon L\longrightarrow M.}$

3. Die Dimension eines ${\displaystyle {}K}$-Vektorraums ${\displaystyle {}V}$ (${\displaystyle {}V}$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
4. Der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum

   ${\displaystyle {}F\subseteq {V}^{*}\,}$

   im Dualraum ${\displaystyle {}{V}^{*}}$ zu einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.

5. Ein Fehlstand zu einer Permutation

   ${\displaystyle \pi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow {\{1,\ldots ,n\}}.}$

6. Der Fixraum zu einem Endomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

   auf einem ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Elimination auf Dreiecksgestalt für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
2. Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.
3. Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen mit der Determinante.

In Beweisen findet man häufig die Formulierung „Wir nehmen (jetzt, also) an“. Welche Bedeutungen im Beweis kann diese Formulierung haben?

Bestimme unter den vierstelligen natürlichen Zahlen, die man mit den Ziffern ${\displaystyle {}3,4,5,6}$ bilden kann, diejenige, die am nächsten an ${\displaystyle {}5000}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}{\left(G,\cdot ,1\right)}}$ eine Gruppe. Es seien ${\displaystyle {}a,b,c\in G}$ Elemente mit

${\displaystyle {}a\cdot b\cdot c=1\,.}$

1. Zeige, dass das Inverse von ${\displaystyle {}b}$ gleich ${\displaystyle {}c\cdot a}$ ist.
2. Zeige, dass das Inverse von ${\displaystyle {}b}$ im Allgemeinen nicht gleich ${\displaystyle {}a\cdot c}$ ist.

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper ${\displaystyle {}K}$.

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1-{\mathrm {i} }&3-{\mathrm {i} }\\2&1+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }&2-{\mathrm {i} }\\2+3{\mathrm {i} }&3-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.}$

Im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ seien die beiden Untervektorräume

${\displaystyle {}U={\left\{s{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\mid s,t\in \mathbb {R} \right\}}\,}$

und

${\displaystyle {}V={\left\{p{\begin{pmatrix}-4\\7\\3\end{pmatrix}}+q{\begin{pmatrix}2\\-6\\5\end{pmatrix}}\mid p,q\in \mathbb {R} \right\}}\,}$

gegeben. Bestimme eine Basis für ${\displaystyle {}U\cap V}$.

Beweise die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum der Dimension ${\displaystyle {}n}$. Es seien ${\displaystyle {}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}}$ Basen von ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

${\displaystyle {}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\,}$

stehen.

Es sei

${\displaystyle {}U=\langle {\begin{pmatrix}7\\-2\\5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\6\\4\end{pmatrix}}\rangle \subseteq \mathbb {R} ^{3}\,.}$

Finde eine Linearform ${\displaystyle {}f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle {}U=\operatorname {kern} f}$.

Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {R} (t)}$ der Körper der rationalen Funktionen über ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$. Bestimme die Determinante der Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {t^{3}-1}{t}}&t^{2}+4t\\t+2&{\frac {t^{2}}{t-1}}\end{pmatrix}}.}$

Betrachte die Permutation ${\displaystyle {}\tau \in S_{7}}$, die durch die Wertetabelle

${\displaystyle {}x}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}2}$	${\displaystyle {}3}$	${\displaystyle {}4}$	${\displaystyle {}5}$	${\displaystyle {}6}$	${\displaystyle {}7}$
${\displaystyle {}\tau (x)}$	${\displaystyle {}3}$	${\displaystyle {}6}$	${\displaystyle {}5}$	${\displaystyle {}2}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}7}$	${\displaystyle {}4}$

gegeben ist.

a) Man gebe die Zyklendarstellung von ${\displaystyle {}\tau }$ an und bestimme den Wirkungsbereich.

b) Erstelle eine Wertetabelle für ${\displaystyle {}\tau ^{2}}$

c) Berechne die Ordnung von ${\displaystyle {}\tau }$.

d) Bestimme die Fehlstände von ${\displaystyle {}\tau }$ und das Vorzeichen (Signum) von ${\displaystyle {}\tau }$.

Berechne

${\displaystyle {\left(x-{\frac {{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}{\left(x-{\frac {-{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}-{\frac {1}{8}}x-{\frac {1}{64}}.}$

Bestimme das Polynom ${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }[X]}$ kleinsten Grades, das an der Stelle ${\displaystyle {}3-8{\mathrm {i} }}$ den Wert ${\displaystyle {}5-6{\mathrm {i} }}$ und an der Stelle ${\displaystyle {}2-7{\mathrm {i} }}$ den Wert ${\displaystyle {}4-3{\mathrm {i} }}$ besitzt.

Wir betrachten die Matrix

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}2&3&0&0\\4&1&0&0\\0&0&5&-2\\0&0&1&3\end{pmatrix}}\,}$

über ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$.

a) Bestimme das charakteristische Polynom ${\displaystyle {}\chi _{M}}$ von ${\displaystyle {}M}$.

b) Bestimme die Faktorzerlegung von ${\displaystyle {}\chi _{M}}$.

c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume von ${\displaystyle {}M}$.

Eine lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}4&-1&3\\0&4&-2\\0&0&4\end{pmatrix}}}$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${\displaystyle {}\varphi }$ durch die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}4&1&0\\0&4&1\\0&0&4\end{pmatrix}}}$

beschrieben wird.

Beschreibe die affine Gerade

${\displaystyle {}G={\left\{{\begin{pmatrix}-1\\5\\2\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,}$

als Urbild über ${\displaystyle {}(1,0)}$ einer affinen Abbildung ${\displaystyle {}\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$.