Kurs:Lineare Algebra/Teil II/24/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Metrik auf einem normierten Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ über ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$.
2. Ähnliche Dreiecke in der euklidischen Ebene.
3. Ein Beobachtervektor in einem Minkowskiraum ${\displaystyle {}V}$.
4. Eine Untergruppe ${\displaystyle {}H}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
5. Kommensurable reelle Zahlen ${\displaystyle {}r,s\neq 0}$.
6. Die Norm einer linearen Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

   zwischen normierten endlichdimensionalen ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorräumen.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Spektralsatz für komplexe Isometrien.
2. Der Höhensatz.
3. Das Injektivitätskriterium für einen Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H.}$

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises ${\displaystyle {}E}$ mit dem Kreis ${\displaystyle {}K}$, der den Mittelpunkt ${\displaystyle {}(1,0)}$ und den Radius ${\displaystyle {}2}$ besitzt.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}{\frac {5}{13}}\\{\frac {12}{13}}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-{\frac {12}{13}}\\{\frac {5}{13}}\end{pmatrix}}}$ eine Orthonormalbasis des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ bilden.
2. Bestimme die Koordinaten des Vektors ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}17\\-11\end{pmatrix}}}$ bezüglich dieser Orthonormalbasis.

Was ist das Kreuzprodukt auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$? Welche Merkregel kennen Sie dafür?

Beweise den Satz über die Eigenwerte einer Isometrie.

Es sei ${\displaystyle {}D\neq 0}$, wir betrachten das Dreieck mit den Eckpunkten ${\displaystyle {}(0,0),(1,0),\left({\frac {1}{2}},\,{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\right)}$.

1. Bestimme den Umkreismittelpunkt des Dreiecks.
2. Berechne den Umkreisradius des Dreiecks.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum und ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ eine symmetrische Bilinearform auf ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass die Dimension des Ausartungsraumes nicht mit der maximalen Dimension eines Untervektorraumes übereinstimmen muss, auf dem die eingeschränkte Form die Nullform ist.

Der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {3}}{5}}\\{\frac {\sqrt {2}}{5}}\\{\frac {\sqrt {6}}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}}$ ein Beobachtervektor ist und bestimme eine Orthogonalbasis der Raumkomponente dazu.

Die lineare Abbildung ${\displaystyle {}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-3&7\\4&5\end{pmatrix}}}$ beschrieben. Auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ sei ein Skalarprodukt ${\displaystyle {}\Psi }$ durch ${\displaystyle {}\Psi (e_{1},e_{1})=4}$, ${\displaystyle {}\Psi (e_{2},e_{2})=5}$ und ${\displaystyle {}\Psi (e_{1},e_{2})=3}$ gegeben. Bestimme die Matrix des adjungierten Endomorphismus zu ${\displaystyle {}\varphi }$ bezüglich des gegebenen Skalarproduktes und bezüglich der Basis ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}}$.

Beweise den Satz über die Normcharakterisierung von normalen Endomorphismen.

Bestimme die Ordnung der Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}}$

über dem Körper mit ${\displaystyle {}3}$ Elementen.

Wir betrachten den Vektorraum ${\displaystyle {}V=\mathbb {R} ^{2}}$ und den Untervektorraum

${\displaystyle {}U=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}}\subset V\,.}$

a) Skizziere ${\displaystyle {}U}$ und eine Auswahl von Äquivalenzklassen der durch ${\displaystyle {}U}$ gegebenen Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle {}V}$.

b) Welche mathematische Struktur besitzen die Äquivalenzklassen zu ${\displaystyle {}U}$?

c) Welche mathematische Struktur besitzt die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation?

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H.}$

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine ${\displaystyle {}n\times n}$- spaltenstochastische Matrix und sei

${\displaystyle {}U={\left\{{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\mid \sum _{i=1}^{n}u_{i}=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,.}$

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}U}$ invariant unter ${\displaystyle {}M}$ ist.

b) Zeige, dass die Einschränkung ${\displaystyle {}M{|}_{U}}$ stabil ist.

c) Zeige, dass die Einschränkung ${\displaystyle {}M{|}_{U}}$ nicht asymptotisch stabil sein muss.

Wir betrachten den Würfel.

Es sei ${\displaystyle {}\alpha }$ diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}G}$, die den Eckpunkt ${\displaystyle {}B}$ auf ${\displaystyle {}D}$ schickt, und es sei ${\displaystyle {}\beta }$ die Halbdrehung um die Kantenmittelpunktsachse zu den beiden Kanten ${\displaystyle {}A,E}$ und ${\displaystyle {}C,G}$.

a) Man gebe die Wertetabellen für die Permutationen auf der Eckpunktmenge ${\displaystyle {}\{A,B,C,D,E,F,G,H\}}$, die durch ${\displaystyle {}\alpha ,\beta ,\alpha \beta }$ und ${\displaystyle {}\beta \alpha }$ bewirkt werden.

b) Man gebe die Wertetabellen für die Permutationen auf der Menge der Würfelseiten an, die durch ${\displaystyle {}\alpha ,\beta ,\alpha \beta }$ und ${\displaystyle {}\beta \alpha }$ bewirkt werden.

c) Bestimme die Drehachse von ${\displaystyle {}\alpha \beta }$ und von ${\displaystyle {}\beta \alpha }$ sowie die Ordnung dieser Drehungen.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler normierter ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum. Wir versehen den Endomorphismenraum ${\displaystyle {}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}}$ mit der zugehörigen Maximumsnorm. Es seien ${\displaystyle {}\varphi ,\psi \in \operatorname {End} _{}{\left(V\right)}}$ Endomorphismen. Zeige

${\displaystyle {}\mid \mid \!\varphi \circ \psi \!\mid \mid _{\operatorname {max} }\leq \mid \mid \!\varphi \!\mid \mid _{\operatorname {max} }\cdot \mid \mid \!\psi \!\mid \mid _{\operatorname {max} }\,.}$

Wir betrachten die durch die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&-2&1\\1&2&-4\\0&3&-1\end{pmatrix}}}$

gegebene lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}.}$

Bestimme die Matrix von

${\displaystyle \bigwedge ^{2}\varphi \colon \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}}$

bezüglich der Basis ${\displaystyle {}e_{1}\wedge e_{2},e_{1}\wedge e_{3},e_{2}\wedge e_{3}}$.