Kurs:Lineare Algebra/Teil II/25/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Orthonormalbasis in einem ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum mit Skalarprodukt.
2. Der Schwerpunkt zu einer Menge von ${\displaystyle {}n}$ Punkten ${\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{n}}$ in einem affinen Raum ${\displaystyle {}E}$.
3. Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
4. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen ${\displaystyle {}(G,\circ ,e_{G})}$ und ${\displaystyle {}(H,\circ ,e_{H})}$.
5. Eine abgeschlossene Menge ${\displaystyle {}A\subseteq M}$ in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}M}$.
6. Der Spektralradius zu einem Endomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

   auf einem endlichdimensionalen ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren.
2. Der Satz über die Struktur winkeltreuer Abbildungen auf einem euklidischen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
3. Der Spektralsatz für normale Endomorphismen auf einem komplexen Vektorraum.

Bestimme eine Basis für das orthogonale Komplement zu ${\displaystyle {}U={\begin{pmatrix}5\\3\\6\end{pmatrix}}\mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} ^{3}}$.

Die Vektoren ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}3\\-5\\0\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}}}$ stehen offenbar senkrecht auf der gegebenen Geraden und sind zueinander linear unabhängig. Daher ist dies aus Dimensionsgründen eine Basis des orthogonalen Komplementes.

Bestimme diejenigen Vektoren im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$, deren euklidische Norm gleich ${\displaystyle {}1}$ und deren Maximumsnorm gleich ${\displaystyle {}{\frac {4}{5}}}$ ist.

Es sei

${\displaystyle {}v={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.}$

Die beiden Bedingungen sind

${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=1\,}$

und

${\displaystyle {}\operatorname {max} \left(\vert {x}\vert ,\,\vert {y}\vert \right)={\frac {4}{5}}\,.}$

Wenn

${\displaystyle {}x={\frac {4}{5}}\,}$

ist, so muss

${\displaystyle {}{\begin{aligned}y&=\pm {\sqrt {1-\left({\frac {4}{5}}\right)^{2}}}\\&=\pm {\sqrt {1-{\frac {16}{25}}}}\\&=\pm {\sqrt {\frac {9}{25}}}\\&=\pm {\frac {3}{5}}\end{aligned}}}$

sein. Unter Berücksichtigung der Symmetrien ergeben sich die acht Lösungen

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\pm {\frac {4}{5}}\\\pm {\frac {3}{5}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\pm {\frac {3}{5}}\\\pm {\frac {4}{5}}\end{pmatrix}}\,.}$

Beweise den Satz über die eigentlichen Isometrien in der reellen Ebene.

Es seien ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}}$ die Bilder der Standardvektoren ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$. Unter einer Isometrie wird die Länge eines Vektors erhalten, daher ist

${\displaystyle {}\Vert {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\Vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=1\,.}$

Da unter einer Isometrie die Senkrechtsbeziehung erhalten bleibt, muss

${\displaystyle {}\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\right\rangle =xu+yv=0\,}$

gelten. Bei ${\displaystyle {}y=0}$ folgt daraus (wegen ${\displaystyle {}x=\pm 1}$) ${\displaystyle {}u=0}$. Dann ist ${\displaystyle {}v=\pm 1}$ und wegen der Eigentlichkeit muss das Vorzeichen dasselbe wie von ${\displaystyle {}x}$ sein. Es sei also ${\displaystyle {}y\neq 0}$. Dann gilt

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-v\\u\end{pmatrix}}={\frac {u}{y}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.}$

Da die beiden Vektoren die Länge ${\displaystyle {}1}$ haben, muss der skalare Faktor ${\displaystyle {}u/y}$ den Betrag ${\displaystyle {}1}$ haben. Bei ${\displaystyle {}u=y}$ wäre ${\displaystyle {}v=-x}$ und die Determinante wäre ${\displaystyle {}-1}$. Also muss ${\displaystyle u=-y}$ und ${\displaystyle v=x}$ sein. Die beschreibende Matrix bezüglich der Standardmatrix hat also die Form

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}{\text{ mit }}x^{2}+y^{2}=1.}$

Insbesondere ist ${\displaystyle {}x}$ eine reelle Zahl zwischen ${\displaystyle {}-1}$ und ${\displaystyle {}+1}$ und ${\displaystyle {}y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}}$, d.h. ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$ ist ein Punkt auf dem reellen Einheitskreis. Der Einheitskreis wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert, d.h. es gibt einen eindeutig bestimmten Winkel ${\displaystyle {}\theta }$, ${\displaystyle {}0\leq \theta <2\pi }$, mit

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\,.}$

Es sei ein (nichtausgeartetes) Dreieck und eine Gerade ${\displaystyle {}G}$ in der Ebene gegeben, wobei die Geradedurch keinen Eckpunkt des Dreiecks verläuft. Zeige mit Hilfe von baryzentrischen Koordinaten, dass die Gerade höchstens zwei Seiten des Dreiecks trifft.

Die Eckpunkte des Dreiecks seien ${\displaystyle {}P,Q,R}$, und es sei vorausgesetzt, dass die Gerade die Dreieckseite zwischen ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}Q}$ und die Deiecksseite zwischen ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}R}$ trifft. Es ist zu zeigen, dass die Gerade nicht auch die Dreiecksseite zwischen ${\displaystyle {}Q}$ und ${\displaystyle {}R}$ trifft. Die Schnittpunkte der Geraden mit den erwähnten Seiten seien

${\displaystyle aP+(1-a)Q\,\,{\text{ und }}\,\,bP+(1-b)R,}$

mit ${\displaystyle {}0<a,b<1}$ (diese Bedingungen bedeuten, dass die Gerade die beiden Seiten echt zwischen den Punkten trifft). Die Punkte der Verbindungsgeraden ${\displaystyle {}H}$ dieser beiden Schnittpunkte hat die baryzentische Beschreibung

${\displaystyle {\left\{s{\left(aP+(1-a)Q\right)}+(1-s){\left(bP+(1-b)R\right)}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}.}$

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}s{\left(aP+(1-a)Q\right)}+(1-s){\left(bP+(1-b)R\right)}&={\left(sa+(1-s)b\right)}P+s(1-a)Q+(1-s)(1-b)R\\&={\left(s(a-b)+b\right)}P+s(1-a)Q+(1-s)(1-b)R.\,\end{aligned}}}$

Damit dieser Punkt auf der durch ${\displaystyle {}Q}$ und ${\displaystyle {}R}$ gegebenen Geraden liegt, muss der Koeffizient vor ${\displaystyle {}P}$ gleich ${\displaystyle {}0}$ sein. Das ergibt die Bedingung

${\displaystyle {}s(a-b)=-b\,.}$

Bei ${\displaystyle {}a=b}$ kann man dies nicht erreichen. Es sei also ${\displaystyle {}a\neq b}$ und folglich

${\displaystyle {}s={\frac {-b}{a-b}}\,.}$

Ohne Einschränkung sei ${\displaystyle {}a>b}$. Die Koordinate von ${\displaystyle {}Q}$ ist ${\displaystyle {}{\frac {-b}{a-b}}(1-a)}$. Dies ist negativ, was bedeutet, dass der Schnittpunkt von ${\displaystyle {}G}$ mit der dritten Seitengeraden außerhalb der Seite liegt.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}n}$- dimensionaler reeller Vektorraum und ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ eine symmetrische Bilinearform auf ${\displaystyle {}V}$. Zeige (ohne den Trägheitssatz von Sylvester), dass die Bilinearform genau dann nicht ausgeartet ist, wenn sie vom Typ ${\displaystyle {}(p,n-p)}$ (mit einem ${\displaystyle {}p\in {\{1,\ldots ,n\}}}$) ist.

Es sei ${\displaystyle {}(p,q)}$ der Typ und es sei ${\displaystyle {}U}$ ein Untervektorraum von ${\displaystyle {}V}$ der Dimension ${\displaystyle {}p}$ derart, dass die Einschränkung der Form auf ${\displaystyle {}U}$ positiv definit ist, und es sei ${\displaystyle {}W}$ ein Untervektorraum von ${\displaystyle {}V}$ der Dimension ${\displaystyle {}q}$ derart, dass die Einschränkung der Form auf ${\displaystyle {}U}$ negativ definit ist. Es ist

${\displaystyle {}U\cap W=0\,.}$

Der Untervektorraum ${\displaystyle {}U\oplus W}$ besitzt die Dimension ${\displaystyle {}p+q}$. Es geht also dadrum, zu zeigen, dass die Form genau dann nicht ausgeartet ist, wenn ${\displaystyle {}U\oplus W=V}$ ist. Wenn diese Gleichheit stimmt, und die Form ausgeartet wäre, so wäre der Ausartungsraum ${\displaystyle {}A}$ nicht null. Es sei

${\displaystyle {}0\neq v=u+w\,}$

mit ${\displaystyle {}u\in U}$ und ${\displaystyle {}w\in W}$ ein nichttrivialer Vektor im Ausartungsraum. Dann ist einerseits

${\displaystyle {}0=\left\langle u+w,u\right\rangle =\left\langle u,u\right\rangle +\left\langle w,u\right\rangle \,}$

und andererseits

${\displaystyle {}0=\left\langle u+w,w\right\rangle =\left\langle u,w\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \,.}$

Dies bedeutet, dass ${\displaystyle {}\left\langle u,w\right\rangle }$ einerseits positiv und andererseits negativ ist (es ist ${\displaystyle {}v,w\neq 0}$). Es sei umgekehrt

${\displaystyle {}U\oplus W\subset V\,}$

und sei ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ eine Orthogonalbasis von ${\displaystyle {}V}$ derart, dass ${\displaystyle {}U=\langle v_{1},\ldots ,v_{p}\rangle }$ und ${\displaystyle {}W=\langle v_{p+1},\ldots ,v_{p+q}\rangle }$ gilt. Wir setzen

${\displaystyle {}A=\langle v_{p+q+1},\ldots ,v_{n}\rangle \neq 0\,}$

und behaupten, dass die Basisvektoren ${\displaystyle {}v_{i}}$ aus ${\displaystyle {}A}$ zu jedem Vektor orthogonal sind. Da eine Orthogonalbasis vorliegt, gilt direkt

${\displaystyle {}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0\,}$

für ${\displaystyle {}j\neq i}$. Wäre ${\displaystyle {}\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle \neq 0}$, so wäre es entweder positiv oder negativ. Im positiven Fall wäre ${\displaystyle {}U\oplus \mathbb {R} v_{i}}$ ein größerer Untervektorraum, auf dem die eingeschränkte Form positiv definit wäre, was ausgeschlossen ist. Entsprechend im negativen Fall.

Bringe das reelle quadratische Polynom

${\displaystyle X^{2}-4Y^{2}+6XY+2}$

auf eine Standardgestalt.

Der rein-quadratische Term des quadratischen Polynoms wird durch die symmetrische Matrix

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}1&3\\3&-4\end{pmatrix}}\,}$

beschrieben. Das charakteristische Polynom dazu ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(X-1)(X+4)-9&=X^{2}+3X-13\\&={\left(X+{\frac {3}{2}}\right)}^{2}-{\frac {9}{4}}-13\\&={\left(X+{\frac {3}{2}}\right)}^{2}-{\frac {61}{4}}.\end{aligned}}}$

Die Eigenwerte sind also

${\displaystyle {}\lambda _{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {61}}}{2}}-{\frac {3}{2}}\,.}$

Ein Eigenvektor zu Eigenwert ${\displaystyle {}{\frac {\sqrt {61}}{2}}-{\frac {3}{2}}}$ ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3\\{\frac {{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}}$

und ein Eigenvektor zu Eigenwert ${\displaystyle {}-{\frac {\sqrt {61}}{2}}-{\frac {3}{2}}}$ ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3\\{\frac {-{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}.}$

Normierte Eigenvektoren ${\displaystyle {}v_{1}}$ und ${\displaystyle {}v_{2}}$ sind somit ${\displaystyle {}{\frac {2}{\sqrt {122-10{\sqrt {61}}}}}{\begin{pmatrix}3\\{\frac {{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\frac {2}{\sqrt {122+10{\sqrt {61}}}}}{\begin{pmatrix}3\\{\frac {-{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}}$. Es seien ${\displaystyle {}s,t}$ die Koordinatenfunktionen zu dieser neuen Basis. Zwischen den Koordinaten besteht die Beziehung

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {122-10{\sqrt {61}}}}}\cdot 3&{\frac {2}{\sqrt {122+10{\sqrt {61}}}}}\cdot 3\\{\frac {2}{\sqrt {122-10{\sqrt {61}}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {61}}-5}{2}}&{\frac {2}{\sqrt {122+10{\sqrt {61}}}}}\cdot {\frac {-{\sqrt {61}}-5}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}}\,,}$

wobei wir diese Übergangsmatrix ${\displaystyle {}B}$ nennen. Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}X^{2}-4Y^{2}+6XY+2&={{\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}M{\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}+2\\&={{\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}{B^{\text{tr}}}MB{\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}}+2\\&={\left({\frac {{\sqrt {61}}-3}{2}}\right)}s^{2}+{\left({\frac {-{\sqrt {61}}-3}{2}}\right)}t^{2}+2.\end{aligned}}}$

Wir nennen zwei Flüsse in Europa äquivalent, wenn sie letztlich in das gleiche Meer entwässern, wobei wir die Einteilungen der Karte übernehmen.

1. Wie viele Äquialenzklassen gibt es?
2. Ist der Rhein zur Donau äquivalent?
3. Ist die Hase zur Themse äquivalent?
4. Man gebe zwei Repräsentanten für die Äquivalenzklasse Ostsee an.

1. Es gibt ${\displaystyle {}8}$ Äquivalenzklassen gemäß der Karte: Atlantik, Nordee, Ostsee, Polarmeer, Mittelmeer, Adria, Schwarzes Meer, Kaspisches Meer.
2. Donau und Rhein sind nicht äquivalent, da die Donau in das Schwarze Meer und der Rhein in die Nordsee fließt.
3. Themse und Hase sind äquivalent, da sie beide (die Hase über die Ems) in die Nordsee fließen.
4. Oder und Weichsel sind Repräsentanten für Flüsse, die in die Ostsee fließen.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element ${\displaystyle {}g\in G}$ eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen

${\displaystyle g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}}$

alle verschieden sind.

Da ${\displaystyle {}G}$ endlich ist, muss es unter den Potenzen zu den positiven Exponenten

${\displaystyle g^{1},\,g^{2},\,g^{3},\ldots }$

eine Wiederholung geben, sagen wir ${\displaystyle g^{m}=g^{n}}$ mit ${\displaystyle m<n}$. Wir multiplizieren diese Gleichung mit ${\displaystyle {}g^{-m}}$ und erhalten

${\displaystyle {}g^{n-m}=g^{m}g^{-m}=(g^{1}g^{-1})^{m}=e_{G}^{m}=e_{G}\,.}$

Also ist die Ordnung von ${\displaystyle {}g}$ maximal gleich ${\displaystyle {}n-m}$. Mit dem gleichen Argument kann man die Annahme, dass es unterhalb der Ordnung zu einer Wiederholung kommt, zum Widerspruch führen.

Beweise die numerische Bedingung für endliche Symmetriegruppen im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$.

Für zwei gegenüberliegende Halbachsen ${\displaystyle {}H}$ und ${\displaystyle {}-H}$ gilt ${\displaystyle {}G_{H}=G_{-H}}$. Dagegen gilt für zwei Halbachsen ${\displaystyle {}H_{1}}$ und ${\displaystyle {}H_{2}}$, die nicht zur gleichen Achse gehören (also insbesondere verschieden sind), die Beziehung ${\displaystyle {}G_{H_{1}}\cap G_{H_{2}}=\operatorname {Id} }$, da eine Isometrie mit zwei Fixachsen die Identität sein muss. Da ${\displaystyle {}G}$ die Vereinigung aller ${\displaystyle G_{H},\,H\in {\mathfrak {H}}(G)}$, ist, liegt eine Vereinigung

${\displaystyle {}G\setminus \{\operatorname {Id} \}=\bigcup _{H\in {\mathfrak {H}}(G)}{\left(G_{H}\setminus \{\operatorname {Id} \}\right)}\,}$

vor, wobei rechts jedes Gruppenelement ${\displaystyle {}g\neq \operatorname {Id} }$ genau zweimal vorkommt. Daher ist

${\displaystyle {}2(n-1)=\sum _{H\in {\mathfrak {H}}(G)}{\left(\operatorname {ord} \,(G_{H})-1\right)}\,.}$

Die Halbachsenklasse ${\displaystyle {}K_{i}}$ enthält ${\displaystyle {}n/n_{i}}$ Elemente. Daher ist

${\displaystyle {}2(n-1)=\sum _{H\in {\mathfrak {H}}(G)}{\left(\operatorname {ord} \,(G_{H})-1\right)}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{H\in K_{i}}(n_{i}-1)=\sum _{i=1}^{m}{\frac {n}{n_{i}}}(n_{i}-1)\,.}$

Mittels Division durch ${\displaystyle {}n}$ ergibt sich die Behauptung.

Berechne für die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}}$

die Maximumsnorm, wenn der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ beidseitig mit der Maximumsnorm versehen ist.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+2y\\4x+3y\end{pmatrix}}\,.}$

Die Maximumsnorm ist das Maximum der Beträge der beiden Einträge für die Menge

${\displaystyle {}{\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid \,\mid \mid \!{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\!\mid \mid _{\operatorname {max} }\leq 1\right\}}={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid \vert {x}\vert ,\vert {y}\vert \leq 1\right\}}\,,}$

also ${\displaystyle {}7}$.

Es seien ${\displaystyle {}U_{1}\subseteq V_{1},U_{2}\subseteq V_{2},\ldots ,U_{n}\subseteq V_{n}}$ Untervektorräume mit den Restklassenräumen ${\displaystyle {}V_{1}/U_{1},\ldots ,V_{n}/U_{n}}$. Gibt es eine kanonische Isomorphie

${\displaystyle {}(V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n})/(U_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}U_{n})\cong (V_{1}/U_{1})\otimes _{}\cdots \otimes _{}(V_{n}/U_{n})\,?}$

Dies kann es schon aus Dimensionsgründen nicht geben. Wenn ${\displaystyle {}V_{1}}$ und ${\displaystyle {}V_{2}}$ zweidimensional sind und die Untervektorräume ${\displaystyle {}U_{1},U_{2}}$ eindimensional, so ist nach Korollar 55.13 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ${\displaystyle {}V_{1}\otimes V_{2}}$ vierdimensional und ${\displaystyle {}U_{1}\otimes U_{2}}$ eindimensional. Somit ist nach Lemma 47.19 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) die linke Seite dreidimensional, aber die rechte Seite eindimensional.