Definition

In der euklidischen Ebene ist eine Orthogonalprojektion die Abbildung eines Punkts ${\displaystyle P}$ auf eine Gerade ${\displaystyle g}$, derart dass die Verbindungslinie zwischen dem Punkt und seinem Abbild ${\displaystyle P'}$ einen rechten Winkel mit der Gerade bildet. Eine Orthogonalprojektion muss demnach die beiden Bedingungen

• ${\displaystyle P'\in g}$   (Projektion)
• ${\displaystyle {\overline {PP'}}\perp g}$   (Orthogonalität)

erfüllen. Die Linie ${\displaystyle {\overline {PP'}}}$ heißt Lot des Punkts auf die Gerade und der projizierte Punkt ${\displaystyle P'}$ wird Lotfußpunkt genannt. Die zeichnerische Konstruktion des Lots mit Zirkel und Lineal ist eine Standardaufgabe der euklidischen Geometrie und man spricht dabei vom Fällen des Lots.

Herleitung

In der analytischen Geometrie werden Punkte im kartesischen Koordinatensystem durch Ortsvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$ beschrieben und Geraden typischerweise als Geradengleichung in Parameterform ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+\lambda \,{\vec {u}}}$, wobei ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ der Ortsvektor eines Geradenpunkts, ${\displaystyle {\vec {u}}}$ der Richtungsvektor der Geraden und ${\displaystyle \lambda }$ ein reeller Parameter ist. Zwei Vektoren ${\displaystyle {\vec {x}}}$ und ${\displaystyle {\vec {y}}}$ bilden dabei einen rechten Winkel, wenn ihr Skalarprodukt ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0}$ ist. Die Orthogonalprojektion ${\displaystyle P_{g}({\vec {x}})}$ auf die Gerade ${\displaystyle g}$ muss die beiden Bedingungen

• ${\displaystyle P_{g}({\vec {x}})={\vec {r}}_{0}+\lambda \,{\vec {u}}}$
• ${\displaystyle (P_{g}({\vec {x}})-{\vec {x}})\cdot {\vec {u}}=0}$

für ein ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ erfüllen.

Wird die erste Gleichung in die zweite eingesetzt, so erhält man

${\displaystyle ({\vec {r}}_{0}+\lambda \,{\vec {u}}-{\vec {x}})\cdot {\vec {u}}=0}$,

was nach ${\displaystyle \lambda }$ aufgelöst

${\displaystyle \lambda ={\frac {{\vec {x}}\cdot {\vec {u}}-{\vec {r}}_{0}\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}={\frac {({\vec {x}}-{\vec {r}}_{0})\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}}$

ergibt.

Verläuft die Gerade als Ursprungsgerade durch den Nullpunkt, dann gilt ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$ und die Formel vereinfacht sich zu

${\displaystyle P_{g}({\vec {x}})={\frac {{\vec {x}}\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}\,{\vec {u}}}$.

Ist zudem der Richtungsvektor der Gerade ein Einheitsvektor, gilt also ${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=1}$, so erhält man die einfachere Darstellung

${\displaystyle P_{g}({\vec {x}})=({\vec {x}}\cdot {\vec {u}})\,{\vec {u}}}$.

Der Faktor ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {u}}}$ gibt dann an, wie weit der projizierte Punkt auf der Gerade vom Nullpunkt entfernt ist. Analog kann auch ein Punkt ${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}}$ im euklidischen Raum auf eine Gerade im Raum orthogonal projiziert werden, es wird lediglich mit drei statt zwei Komponenten gerechnet.

Beispiele

Die Orthogonalprojektion des Punkts mit ${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}}$ auf die Ursprungsgerade mit Richtung ${\displaystyle {\vec {u}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}}$ in der euklidischen Ebene ist

${\displaystyle P_{g}({\vec {x}})={\frac {4\cdot 1+3\cdot 2}{1\cdot 1+2\cdot 2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\frac {10}{5}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}}$.

Die Orthogonalprojektion des Punkts mit ${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\9\\6\end{pmatrix}}}$ auf die Ursprungsgerade mit Richtung ${\displaystyle {\vec {u}}={\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}}$ im euklidischen Raum ist

${\displaystyle P_{g}({\vec {x}})={\frac {3\cdot 2+9\cdot 1+6\cdot 2}{2\cdot 2+1\cdot 1+2\cdot 2}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}={\frac {27}{9}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\\3\\6\end{pmatrix}}}$.

Eigenschaften

Befindet sich der zu projizierende Punkt ${\displaystyle {\vec {x}}}$ bereits auf der Gerade, dann gibt es eine Zahl ${\displaystyle \lambda }$ mit ${\displaystyle {\vec {x}}=\lambda {\vec {u}}}$ und die Orthogonalprojektion

${\displaystyle P_{g}({\vec {x}})={\frac {\lambda {\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}\,{\vec {u}}={\frac {\lambda ({\vec {u}}\cdot {\vec {u}})}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}\,{\vec {u}}=\lambda {\vec {u}}={\vec {x}}}$

verändert den Punkt nicht. Andernfalls minimiert die Orthogonalprojektion den Abstand zwischen dem Ausgangspunkt und allen Geradenpunkten, da für das Quadrat dieses Abstands nach dem Satz des Pythagoras

${\displaystyle |\lambda {\vec {u}}-{\vec {x}}|^{2}=|\lambda {\vec {u}}-P_{g}({\vec {x}})|^{2}+|P_{g}({\vec {x}})-{\vec {x}}|^{2}\geq |P_{g}({\vec {x}})-{\vec {x}}|^{2}}$

für alle Zahlen ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ gilt. Das Minimum wird dabei eindeutig an dem orthogonal projizierten Punkt angenommen, da der erste Term der Summe genau für ${\displaystyle \lambda ={\tfrac {{\vec {x}}\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}}$ null wird. Bilden die Vektoren ${\displaystyle {\vec {x}}}$ und ${\displaystyle {\vec {u}}}$ einen rechten Winkel, so ist der projizierte Punkt der Nullpunkt.

Berechnung

Die Orthogonalprojektion eines Punkts ${\displaystyle {\vec {x}}}$ auf eine Gerade ${\displaystyle g}$, die keine Ursprungsgerade ist, ist durch

${\displaystyle P_{g}({\vec {x}})={\vec {r}}_{0}+{\frac {({\vec {x}}-{\vec {r}}_{0})\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}\,{\vec {u}}}$.

gegeben (siehe oben Abschnitt "Herleitung"). Aus dem Allgemeinfall erhält man die obigen Spezialfälle, indem der Stützvektor der Gerade in den Nullpunkt verschoben wird und ihr Richtungsvektor normiert wird, also durch seinen Betrag geteilt wird. In dem Beispiel der obigen Abbildung ist ${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}}$ sowie ${\displaystyle {\vec {u}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$ und damit ${\displaystyle P_{g}({\vec {x}})={\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}}}$.

Alternativ kann eine Orthogonalprojektion im zweidimensionalen Fall auch durch Ermittlung des Schnittpunkts der Ausgangsgeraden mit der Lotgeraden berechnet werden. Ist ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ein Normalenvektor der Ausgangsgeraden, so folgt aus den beiden Bedingungen

• ${\displaystyle P_{g}({\vec {x}})={\vec {x}}-\mu \,{\vec {n}}}$
• ${\displaystyle (P_{g}({\vec {x}})-{\vec {r}}_{0})\cdot {\vec {n}}=0}$

durch Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite Gleichung und Auflösen nach dem freien Parameter ${\displaystyle \mu }$ für die Orthogonalprojektion

${\displaystyle P_{g}({\vec {x}})={\vec {x}}-{\frac {({\vec {x}}-{\vec {r}}_{0})\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {n}}}}\,{\vec {n}}}$.

Einen Normalenvektor kann man durch Vertauschen der beiden Komponenten des Richtungsvektors der Geraden und durch Umkehrung des Vorzeichens einer der beiden Komponenten ermitteln. In dem obigen Beispiel ist ein solches ${\displaystyle {\vec {n}}=(1,-1)}$. Da eine Gerade im dreidimensionalen Raum keine ausgezeichnete Normalenrichtung besitzt, ist dieser einfache Ansatz aber nur in zwei Dimensionen möglich.

Definition

Im dreidimensionalen Raum kann ein Punkt ${\displaystyle P}$ auch auf eine Ebene ${\displaystyle E}$ orthogonal projiziert werden. Eine Orthogonalprojektion muss dann die beiden Bedingungen

• ${\displaystyle P'\in E}$   (Projektion)
• ${\displaystyle {\overline {PP'}}\perp E}$   (Orthogonalität)

erfüllen. Auch hier spricht man von Lot und Lotfußpunkt. Die Orthogonalität impliziert dabei, dass das Lot senkrecht auf allen Geraden der Ebene durch den Lotfußpunkt ${\displaystyle P'}$ steht.

Herleitung

Ein Punkt im euklidischen Raum werde wieder durch einen Ortsvektor

beschrieben und die Ebene sei in Parameterform

gegeben, wobei ${\displaystyle \lambda }$ und ${\displaystyle \mu }$ reelle Parameter sind sowie ${\displaystyle {\vec {u}}}$ und ${\displaystyle {\vec {v}}}$ die Spannvektoren der Ebene, welche nicht kollinear sein dürfen.

Aufgrund der Linearität des Skalarprodukts reicht es dabei aus, Orthogonalität bezüglich der beiden Spannvektoren statt bezüglich aller Vektoren der Ebene nachzuweisen.

Handelt es sich bei der Ebene um eine Ursprungsebene, das heißt ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}}$, dann muss die Orthogonalprojektion ${\displaystyle P_{E}({\vec {x}})}$ des Punkts ${\displaystyle {\vec {x}}}$ auf die Ebene ${\displaystyle E}$ die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

1. ${\displaystyle P_{E}({\vec {x}})=\lambda \,{\vec {u}}+\mu \,{\vec {v}}}$
2. ${\displaystyle (P_{E}({\vec {x}})-{\vec {x}})\cdot {\vec {u}}=0}$
3. ${\displaystyle (P_{E}({\vec {x}})-{\vec {x}})\cdot {\vec {v}}=0}$

Setzt man die erste Gleichung in die anderen beiden Gleichungen ein, erhält man mit

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda \,{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}+\mu \,{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}&={\vec {x}}\cdot {\vec {u}}\\\lambda \,{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+\mu \,{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}&={\vec {x}}\cdot {\vec {v}}\end{aligned}}}$

ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten ${\displaystyle \lambda }$ und ${\displaystyle \mu }$. Falls die Spannvektoren zueinander orthogonal sind, das heißt ${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=0}$ gilt, dann zerfällt dieses Gleichungssystem in zwei voneinander unabhängige Gleichungen und seine Lösung kann direkt angegeben werden. Die Orthogonalprojektion ${\displaystyle P_{E}({\vec {x}})}$ des Punkts ${\displaystyle {\vec {x}}}$ auf die Ebene ${\displaystyle E}$ ist dann gegeben durch:

Sind die Spannvektoren sogar orthonormal, gilt also zusätzlich ${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {u}}={\vec {v}}\cdot {\vec {v}}=1}$, dann hat man die einfachere Darstellung

$${\displaystyle P_{E}({\vec {x}})=({\vec {x}}\cdot {\vec {u}})\,{\vec {u}}+({\vec {x}}\cdot {\vec {v}})\,{\vec {v}}}$$

.

Man erhält die Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Ebene also durch Ermittlung der Orthogonalprojektionen ${\displaystyle P_{g}({\vec {x}})}$ und ${\displaystyle P_{h}({\vec {x}})}$ des Punkts auf die beiden von den Spannvektoren gebildeten Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ und durch Addition der Resultate (siehe Abbildung).

Beispiel

Die Orthogonalprojektion des Punkts ${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\9\\6\end{pmatrix}}}$ auf die Ursprungsebene, die durch die orthogonalen Vektoren ${\displaystyle {\vec {u}}={\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {\vec {v}}={\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}}}$ aufgespannt wird, ist

${\displaystyle P_{E}({\vec {x}})={\frac {6+9+12}{4+1+4}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}+{\frac {6-18-6}{4+4+1}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\\3\\6\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-4\\4\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\7\\8\end{pmatrix}}}$.

Eigenschaften

Befindet sich der zu projizierende Punkt ${\displaystyle {\vec {x}}}$ bereits auf der Ebene, dann gibt es Zahlen ${\displaystyle \lambda }$ und ${\displaystyle \mu }$ mit ${\displaystyle {\vec {x}}=\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {v}}}$ und die Orthogonalprojektion

${\displaystyle P_{E}({\vec {x}})={\frac {\lambda ({\vec {u}}\cdot {\vec {u}})+\mu ({\vec {v}}\cdot {\vec {u}})}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}\,{\vec {u}}+{\frac {\lambda ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})+\mu ({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})}{{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}\,{\vec {v}}=\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {v}}={\vec {x}}}$

verändert den Punkt nicht. Andernfalls minimiert der orthogonal projizierte Punkt den Abstand zwischen dem Ausgangspunkt und allen Punkten der Ebene, da für das Quadrat dieses Abstands mit dem Satz des Pythagoras

${\displaystyle |(\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {v}})-{\vec {x}}|^{2}=|(\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {v}})-P_{E}({\vec {x}})|^{2}+|P_{E}({\vec {x}})-{\vec {x}}|^{2}\geq |P_{E}({\vec {x}})-{\vec {x}}|^{2}}$

für alle Zahlen ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {R} }$ gilt. Das Minimum wird dabei eindeutig für ${\displaystyle \lambda ={\tfrac {{\vec {x}}\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}}$ und ${\displaystyle \mu ={\tfrac {{\vec {x}}\cdot {\vec {v}}}{{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}}$ an dem orthogonal projizierten Punkt angenommen. Bildet ${\displaystyle {\vec {x}}}$ sowohl mit ${\displaystyle {\vec {u}}}$, als auch mit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ einen rechten Winkel, dann ist der projizierte Punkt der Nullpunkt.

Berechnung

Verläuft eine Ebene nicht durch den Ursprung, so kann sie durch Translation um ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ in den Ursprung verschoben werden. Sind ihre Spannvektoren nicht orthogonal, so können diese mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens orthogonalisiert werden. Hierzu ermittelt man (beispielsweise) einen zu ${\displaystyle {\vec {u}}}$ orthogonalen Vektor ${\displaystyle {\vec {w}}}$ als Verbindungsvektor von ${\displaystyle {\vec {v}}}$ zur Orthogonalprojektion von ${\displaystyle {\vec {v}}}$ auf die Gerade in Richtung ${\displaystyle {\vec {u}}}$

${\displaystyle {\vec {w}}={\vec {v}}-{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}\,{\vec {u}}}$

und erhält somit den Allgemeinfall einer Orthogonalprojektion eines Punkts ${\displaystyle {\vec {x}}}$ auf eine Ebene ${\displaystyle E}$ durch

${\displaystyle P_{E}({\vec {x}})={\vec {r}}_{0}+{\frac {({\vec {x}}-{\vec {r}}_{0})\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}\,{\vec {u}}+{\frac {({\vec {x}}-{\vec {r}}_{0})\cdot {\vec {w}}}{{\vec {w}}\cdot {\vec {w}}}}\,{\vec {w}}}$.

Alternativ dazu kann eine Orthogonalprojektion auch durch Berechnung des Schnitts der Lotgeraden mit der Ebene berechnet werden. Ein Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}}$ der Ebene kann, sofern sie nicht in Normalenform gegeben ist, über das Kreuzprodukt der (nicht notwendigerweise orthogonalen, aber nichtkollinearen) Spannvektoren durch ${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}}$ berechnet werden. Man erhält dann wie im zweidimensionalen Fall als Orthogonalprojektion

${\displaystyle P_{E}({\vec {x}})={\vec {x}}-{\frac {({\vec {x}}-{\vec {r}}_{0})\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {n}}}}\,{\vec {n}}}$.

Definition

Eine Orthogonalprojektion auf einen Untervektorraum ${\displaystyle U}$ eines Vektorraums ${\displaystyle V}$ ist eine lineare Abbildung ${\displaystyle P_{U}\colon V\rightarrow V}$, die für alle Vektoren ${\displaystyle v\in V}$ die beiden Eigenschaften

• ${\displaystyle P_{U}(v)\in U}$   (Projektion)
• ${\displaystyle \langle P_{U}(v)-v,u\rangle =0}$   für alle   ${\displaystyle u\in U}$   (Orthogonalität)

erfüllt. Der Differenzvektor ${\displaystyle P_{U}(v)-v}$ liegt damit im orthogonalen Komplement ${\displaystyle U^{\perp }}$ von ${\displaystyle U}$. Das orthogonale Komplement ist selbst ein Untervektorraum bestehend aus denjenigen Vektoren in ${\displaystyle V}$, die orthogonal zu allen Vektoren in ${\displaystyle U}$ sind.

Darstellung

Ist ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}}$ eine Basis des Untervektorraums ${\displaystyle U}$ mit der Dimension ${\displaystyle k}$, dann hat jeder Vektor ${\displaystyle u\in U}$ eine eindeutige Darstellung als Linearkombination ${\displaystyle u=c_{1}u_{1}+\ldots +c_{k}u_{k}}$. Aufgrund der Sesquilinearität des Skalarprodukts reicht es daher aus, Orthogonalität lediglich bezüglich der Basisvektoren statt bezüglich aller Vektoren des Untervektorraums nachzuweisen. Eine Orthogonalprojektion ${\displaystyle P_{U}}$ muss demnach die Bedingungen

• ${\displaystyle P_{U}(v)=\sum _{i=1}^{k}c_{i}\,u_{i}}$
• ${\displaystyle \langle P_{U}(v)-v,u_{j}\rangle =0}$   für   ${\displaystyle j=1,\ldots ,k}$

erfüllen. Setzt man die erste Gleichung in die anderen Gleichungen ein, erhält man mit

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}c_{i}\,\langle u_{i},u_{j}\rangle =\langle v,u_{j}\rangle }$   für   ${\displaystyle j=1,\ldots ,k}$

ein lineares Gleichungssystem mit ${\displaystyle k}$ Gleichungen und den ${\displaystyle k}$ Unbekannten ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{k}}$. Die dabei zugrunde liegende Gramsche Matrix ${\displaystyle (\,\langle u_{i},u_{j}\rangle \,)_{i,j}}$ ist aufgrund der linearen Unabhängigkeit der Basisvektoren regulär und damit ist dieses Gleichungssystem eindeutig lösbar. Ist nun ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}}$ eine Orthogonalbasis von ${\displaystyle U}$, das heißt ${\displaystyle \langle u_{i},u_{j}\rangle =0}$ für ${\displaystyle i\neq j}$, dann ist die zugehörige Gramsche Matrix eine Diagonalmatrix und das Gleichungssystem hat eine direkt angebbare Lösung. Die Orthogonalprojektion ${\displaystyle P_{U}}$ des Vektors ${\displaystyle v}$ auf den Untervektorraum ${\displaystyle U}$ ist dann durch

${\displaystyle P_{U}(v)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\langle v,u_{i}\rangle }{\langle u_{i},u_{i}\rangle }}u_{i}}$

gegeben. Bildet ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}}$ sogar eine Orthonormalbasis, das heißt ${\displaystyle \langle u_{i},u_{j}\rangle =\delta _{ij}}$ mit dem Kronecker-Delta ${\displaystyle \delta _{ij}}$, dann hat die Orthogonalprojektion die einfachere Darstellung

${\displaystyle P_{U}(v)=\sum _{i=1}^{k}\langle v,u_{i}\rangle u_{i}}$.

Beispiele

Wählt man als Vektorraum ${\displaystyle V}$ den Standardraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und als Skalarprodukt ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ das Standardskalarprodukt, so ist ein Untervektorraum eine lineare Mannigfaltigkeit (etwa eine Gerade, Ebene oder Hyperebene) durch den Nullpunkt und die Orthogonalprojektionen des vorangegangenen Geometrie-Abschnitts entsprechen gerade den Spezialfällen

• Projektion auf eine Ursprungsgerade in der Ebene: ${\displaystyle n=2,k=1}$
• Projektion auf eine Ursprungsgerade im Raum: ${\displaystyle n=3,k=1}$
• Projektion auf eine Ursprungsebene im Raum: ${\displaystyle n=3,k=2}$

Der Fall ${\displaystyle k=0}$ entspricht in jeder Dimension der Abbildung eines Vektors auf den Nullpunkt und der Fall ${\displaystyle k=n}$ lässt den Vektor immer unverändert, da eine Orthogonalprojektion dann die identische Abbildung ist.

Eigenschaften

Eine Orthogonalprojektion ist eine Projektion, das heißt eine idempotente lineare Abbildung des Vektorraumes ${\displaystyle V}$ in sich selbst (genannt Endomorphismus). Ist der zu projizierende Vektor ${\displaystyle v}$ nämlich bereits Element des Untervektorraums, dann gibt es Skalare ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{k}}$, sodass ${\displaystyle v=c_{1}u_{1}+\ldots +c_{k}u_{k}}$ ist, und die Orthogonalprojektion

${\displaystyle P_{U}(v)=\sum _{i=1}^{k}\left\langle \sum _{j=1}^{k}c_{j}u_{j},u_{i}\right\rangle \,u_{i}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}c_{j}\langle u_{j},u_{i}\rangle \,u_{i}=c_{1}u_{1}+\ldots +c_{k}u_{k}=v}$

verändert den Vektor nicht, woraus die Idempotenz folgt. Die Linearität der Abbildung folgt direkt aus der Sesquilinearität des Skalarprodukts. Zudem gilt die Selbstadjungiertheit

${\displaystyle \langle P_{U}(v),w\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{k}\langle v,u_{i}\rangle u_{i},w\right\rangle =\sum _{i=1}^{k}\langle v,u_{i}\rangle \langle u_{i},w\rangle =\left\langle v,\sum _{i=1}^{k}\langle w,u_{i}\rangle u_{i}\right\rangle =\langle v,P_{U}(w)\rangle }$

für alle Vektoren ${\displaystyle v,w\in V}$. Der orthogonal projizierte Vektor minimiert den Abstand zwischen dem Ausgangsvektor und allen Vektoren des Untervektorraums bezüglich der von dem Skalarprodukt abgeleiteten Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$, denn es gilt mit dem Satz des Pythagoras für Skalarprodukträume

${\displaystyle \|u-v\|^{2}=\|u-P_{U}(v)\|^{2}+\|P_{U}(v)-v\|^{2}\geq \|P_{U}(v)-v\|^{2}}$.

für alle ${\displaystyle u\in U}$. Das Minimum wird dabei eindeutig an dem orthogonal projizierten Vektor angenommen. Liegt der Vektor ${\displaystyle v}$ im orthogonalen Komplement des Untervektorraums, dann ist der projizierte Vektor der Nullvektor.

Allgemeinfall

Ist die Basis ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}}$ des Unterraums nicht orthogonal, so kann sie mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren orthogonalisiert und so eine Orthogonalbasis ${\displaystyle \{w_{1},\ldots ,w_{k}\}}$ von ${\displaystyle U}$ erhalten werden. Weiterhin kann ein Vektor auch auf einen affinen Unterraum ${\displaystyle U_{0}=r_{0}+U}$ mit ${\displaystyle r_{0}\in V}$ orthogonal projiziert werden. Man erhält dann den Allgemeinfall einer Orthogonalprojektion eines Vektors ${\displaystyle v}$ auf einen affinen Unterraum ${\displaystyle U_{0}}$ durch

${\displaystyle P_{U_{0}}(v)=r_{0}+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\langle v-r_{0},w_{i}\rangle }{\langle w_{i},w_{i}\rangle }}w_{i}}$.

Komplementäre Darstellung

Ist nun ${\displaystyle \{w_{k+1},\ldots ,w_{n}\}}$ eine orthogonale Komplementärbasis von ${\displaystyle U}$, also eine Orthogonalbasis des Komplements ${\displaystyle U^{\perp }}$, dann erhält man aufgrund von

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\langle v,w_{i}\rangle }{\langle w_{i},w_{i}\rangle }}w_{i}+\sum _{i=k+1}^{n}{\frac {\langle v,w_{i}\rangle }{\langle w_{i},w_{i}\rangle }}w_{i}=P_{U}(v)+P_{U^{\perp }}(v)}$

die komplementäre Darstellung einer Orthogonalprojektion ${\displaystyle P_{U_{0}}}$ auf einen affinen Unterraum ${\displaystyle U_{0}=r_{0}+U}$ als

${\displaystyle P_{U_{0}}(v)=v-\sum _{i=k+1}^{n}{\frac {\langle v-r_{0},w_{i}\rangle }{\langle w_{i},w_{i}\rangle }}w_{i}}$.

Koordinaten

Wählt man für den Vektorraum ${\displaystyle V}$ eine Orthonormalbasis ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ bezüglich des Skalarprodukts ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$, dann kann jeder Vektor ${\displaystyle v\in V}$ als Koordinatenvektor ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}\in {\mathbb {K} }^{n}}$ über

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}$   mit   ${\displaystyle x_{i}=\langle v,e_{i}\rangle }$

dargestellt werden. Die Koordinaten ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ sind dabei genau die Längen der Orthogonalprojektionen des Vektors auf die Basisvektoren. Das Skalarprodukt ${\displaystyle \langle v,w\rangle }$ zweier Vektoren ${\displaystyle v,w\in V}$ ist in Koordinatendarstellung dann das Standardskalarprodukt ${\displaystyle y^{H}x}$ der zugehörigen Koordinatenvektoren ${\displaystyle x,y\in {\mathbb {K} }^{n}}$, wobei ${\displaystyle y^{H}}$ der adjungierte Vektor (im reellen Fall der transponierte Vektor) zu ${\displaystyle y}$ ist.

Darstellung

Sind nun ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{k}\in {\mathbb {K} }^{n}}$ die Koordinatenvektoren einer Orthogonalbasis ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}}$ eines Untervektorraums ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle x}$ der Koordinatenvektor eines zu projizierenden Vektors ${\displaystyle v}$, dann ist die Koordinatendarstellung einer Orthogonalprojektion

${\displaystyle P_{U}(v)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {y_{i}^{H}x}{y_{i}^{H}y_{i}}}y_{i}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {y_{i}y_{i}^{H}}{y_{i}^{H}y_{i}}}x}$.

Eine Orthogonalprojektion ist in Koordinatendarstellung damit einfach ein Matrix-Vektor-Produkt ${\displaystyle Q_{U}x}$ mit der Abbildungsmatrix ${\displaystyle Q_{U}\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}$ gegeben durch

${\displaystyle Q_{U}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {y_{i}y_{i}^{H}}{y_{i}^{H}y_{i}}}}$.

Sind ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{k}}$ die Koordinatenvektoren einer Orthonormalbasis von ${\displaystyle U}$, so hat die Orthogonalprojektionsmatrix ${\displaystyle Q_{U}}$ die einfachere Darstellung

${\displaystyle Q_{U}=\sum _{i=1}^{k}y_{i}y_{i}^{H}}$.

Jeder Summand ist dabei das dyadische Produkt eines Koordinatenvektors mit sich selbst.

Beispiele

Im Koordinatenraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ist die Orthogonalprojektionsmatrix auf die Ursprungsgerade mit Richtung ${\displaystyle y_{1}=(2,1,2)^{T}}$ gegeben durch

${\displaystyle Q_{U}={\frac {1}{9}}{\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1&2\end{pmatrix}}={\frac {1}{9}}{\begin{pmatrix}4&2&4\\2&1&2\\4&2&4\end{pmatrix}}}$.

Die Orthogonalprojektionsmatrix auf die Ursprungsebene, die durch ${\displaystyle y_{1}=(2,1,2)^{T}}$ und ${\displaystyle y_{2}=(2,-2,-1)^{T}}$ aufgespannt wird, ist entsprechend

${\displaystyle Q_{U}={\frac {1}{9}}{\begin{pmatrix}4&2&4\\2&1&2\\4&2&4\end{pmatrix}}+{\frac {1}{9}}{\begin{pmatrix}4&-4&-2\\-4&4&2\\-2&2&1\end{pmatrix}}={\frac {1}{9}}{\begin{pmatrix}8&-2&2\\-2&5&4\\2&4&5\end{pmatrix}}}$.

Eigenschaften

Eine Orthogonalprojektionsmatrix ist idempotent, das heißt, es gilt

${\displaystyle (Q_{U})^{2}=\left(\sum _{i=1}^{k}y_{i}y_{i}^{H}\right)\left(\sum _{j=1}^{k}y_{j}y_{j}^{H}\right)=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}(y_{i}y_{i}^{H})(y_{j}y_{j}^{H})=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}y_{i}(y_{i}^{H}y_{j})y_{j}^{H}=\sum _{i=1}^{k}y_{i}y_{i}^{H}=Q_{U}}$.

Weiterhin ist sie selbstadjungiert (im reellen Fall symmetrisch), da

${\displaystyle (Q_{U})^{H}=\left(\sum _{i=1}^{k}y_{i}y_{i}^{H}\right)^{H}=\sum _{i=1}^{k}(y_{i}y_{i}^{H})^{H}=\sum _{i=1}^{k}y_{i}y_{i}^{H}=Q_{U}}$

ist. Für den Rang und die Spur einer Orthogonalprojektionsmatrix gilt

${\displaystyle \operatorname {rang} Q_{U}=\operatorname {spur} Q_{U}=k}$,

da für idempotente Matrizen Rang und Spur übereinstimmen und die Einzelmatrizen ${\displaystyle y_{i}y_{i}^{H}}$ jeweils Rang eins besitzen. Die Eigenwerte einer Orthogonalprojektionsmatrix sind ${\displaystyle \lambda _{1}=\ldots =\lambda _{k}=1}$ und ${\displaystyle \lambda _{k+1}=\ldots =\lambda _{n}=0}$, wobei die zugehörigen Eigenräume gerade der Untervektorraum ${\displaystyle U}$ und sein orthogonales Komplement ${\displaystyle U^{\perp }}$ sind. Die Spektralnorm einer Orthogonalprojektionsmatrix ist damit, sofern ${\displaystyle U}$ nicht der Nullvektorraum ${\displaystyle \{0\}}$ ist, gleich eins.

Allgemeinfall

Bilden die Koordinatenvektoren ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{k}}$ zwar eine Basis, aber keine Orthogonalbasis des Untervektorraums, so kann man sie zur Berechnung einer Orthogonalprojektion orthogonalisieren oder ein entsprechendes lineares Gleichungssystem lösen. Fasst man die Basisvektoren spaltenweise zu einer Matrix ${\displaystyle A=(y_{1},\ldots ,y_{k})\in \mathbb {K} ^{n\times k}}$ zusammen, dann hat dieses Gleichungssystem die Gestalt der Normalgleichungen

${\displaystyle A^{H}Ac=A^{H}x}$

mit dem Koeffizientenvektor ${\displaystyle c=(c_{1},\ldots ,c_{k})^{T}}$. Die Matrixdarstellung einer Orthogonalprojektion ist dann aufgrund von ${\displaystyle Q_{U}x=Ac}$ gegeben durch

${\displaystyle Q_{U}=A(A^{H}A)^{-1}A^{H}}$.

Diese Matrix findet breite Anwendung in der Statistik (siehe Projektionsmatrix (Statistik)). Eine Orthogonalprojektion auf einen affinen Unterraum ${\displaystyle U_{0}=r_{0}+U}$ ist in Matrixdarstellung dann die affine Abbildung

${\displaystyle P_{U_{0}}(v)=Q_{U}x+(I-Q_{U})s}$

mit der Einheitsmatrix ${\displaystyle I}$ und mit ${\displaystyle s=(s_{1},\ldots ,s_{n})^{T}}$ als dem Koordinatenvektor von ${\displaystyle r_{0}}$. Unter Verwendung homogener Koordinaten lässt sich jede Orthogonalprojektion auch als ein einfaches Matrix-Vektorprodukt darstellen.

Komplementäre Darstellung

Eine Orthogonalprojektion auf einen affinen Unterraum ${\displaystyle U_{0}}$ hat die komplementäre Matrixdarstellung

${\displaystyle P_{U_{0}}(v)=(I-Q_{U^{\perp }})x+Q_{U^{\perp }}s}$

mit der Orthogonalprojektionsmatrix auf den Komplementärraum ${\displaystyle Q_{U^{\perp }}\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}$ gegeben durch

${\displaystyle Q_{U^{\perp }}=I-Q_{U}}$.

Bilden die Koordinatenvektoren ${\displaystyle y_{k+1},\ldots ,y_{n}}$ eine Orthogonalbasis des Komplementärraums ${\displaystyle U^{\perp }}$, so hat die komplementäre Orthogonalprojektionsmatrix die Darstellung

${\displaystyle Q_{U^{\perp }}=\sum _{i=k+1}^{n}{\frac {y_{i}y_{i}^{H}}{y_{i}^{H}y_{i}}}}$.