Längen im rechtwinkligen Dreieck

Aus dem Satz des Pythagoras folgt direkt, dass die Länge der Hypotenuse gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Kathetenquadrate ist, also

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$.

Eine einfache und wichtige Anwendung des Satzes ist, aus zwei bekannten Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die dritte zu berechnen. Dies ist durch Umformung der Gleichung für alle Seiten möglich:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}\\b&={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}\end{aligned}}}$

Die Umkehrung des Satzes kann dazu verwendet werden, zu überprüfen, ob ein gegebenes Dreieck rechtwinklig ist. Dazu wird getestet, ob die Gleichung des Satzes für die Seiten bei dem gegebenen Dreieck zutrifft. Es reicht also allein die Kenntnis der Seitenlängen eines gegebenen Dreiecks, um daraus zu schließen, ob es rechtwinklig ist oder nicht:

• Sind die Seitenlängen z. B. ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 4}$ und ${\displaystyle 5}$, dann ergibt sich ${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=9+16=25=5^{2}}$, und daher ist das Dreieck rechtwinklig.
• Sind die Seitenlängen z. B. ${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle 5}$ und ${\displaystyle 6}$, dann ergibt sich ${\displaystyle 4^{2}+5^{2}=16+25=41\neq 6^{2}}$, und daher ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

Aus dem Satz des Pythagoras folgt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse länger als jede der Katheten und kürzer als deren Summe ist. Letzteres ergibt sich auch aus der Dreiecksungleichung.

Reziproke Längen im rechtwinkligen Dreieck

Aus dem Satz des Pythagoras folgt als direkte Anwendung der reziproke Satz des Pythagoras:

Sind ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ die Längen der Katheten und ${\displaystyle h}$ die Länge der Höhe auf der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck ${\displaystyle ABC}$, dann sind ${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$ und ${\displaystyle {\frac {1}{b}}}$ die Kathetenlängen und ${\displaystyle {\frac {1}{h}}}$ die Hypotenusenlänge eines zu ${\displaystyle ABC}$ ähnlichen rechtwinkligen Dreiecks ${\displaystyle A'B'C'}$.

Somit folgt: ${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{h^{2}}}}$.

Wegen der Rechtwinkligkeit gilt für die Flächenmaßzahl des Dreiecks ABC die Gleichheit ${\displaystyle {\frac {ab}{2}}={\frac {ch}{2}}}$ oder ${\displaystyle c={\frac {ab}{h}}}$.

Durch Division der Pythagorasgleichung auf beiden Seiten durch ${\displaystyle a^{2}b^{2}}$ und Einsetzen von ${\displaystyle {\frac {ab}{h}}}$ für ${\displaystyle c}$ ergibt sich die Aussage des Satzes aus folgender Äquivalenzkette:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\Leftrightarrow {\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{a^{2}}}={\frac {c^{2}}{a^{2}b^{2}}}\Leftrightarrow {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {\frac {a^{2}b^{2}}{h^{2}}}{a^{2}b^{2}}}\Leftrightarrow {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{h^{2}}}}$

Pythagoreische Tripel

Unter allen Dreiergruppen ${\displaystyle (a,b,c)}$, die die Gleichung ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ erfüllen, gibt es unendlich viele, bei denen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ jeweils ganze Zahlen sind. Diese Dreiergruppen werden pythagoreische Tripel genannt. Das einfachste dieser Tripel besteht aus den Zahlen ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 4}$ und ${\displaystyle 5}$. Pythagoreische Tripel werden seit alters her zur Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke verwendet. Ein Beispiel ist die Zwölfknotenschnur, mit der ein Dreieck gelegt wird, dessen Seiten die Längen ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 4}$ und ${\displaystyle 5}$ haben. Die beiden kurzen Seiten bilden dann einen rechten Winkel.

Der große fermatsche Satz besagt, dass die ${\displaystyle n}$-te Potenz einer Zahl, wenn ${\displaystyle n>2}$ ist, nicht als Summe zweier Potenzen des gleichen Grades dargestellt werden kann. Gemeint sind ganze Grundzahlen ${\displaystyle \neq 0}$ und natürliche Hochzahlen. Allgemein gesprochen bedeutet dies:

Die Gleichung ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ besitzt für ganzzahlige ${\displaystyle a,b,c\neq 0}$ und natürliche Zahlen ${\displaystyle n>2}$ keine Lösung.

Das ist erstaunlich, weil es für ${\displaystyle n\leq 2}$ unendlich viele Lösungen gibt. Für ${\displaystyle n=2}$ sind dies die pythagoreischen Zahlentripel.

Trotz seiner einfachen Formulierung gilt der Beweis des großen fermatschen Satzes, der erst 1995 erbracht werden konnte, als außerordentlich schwierig.

Euklidischer Abstand

Der Satz von Pythagoras liefert eine Formel für den Abstand zweier Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem. Sind zwei Punkte ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ und ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ in einer Ebene gegeben, dann ist ihr Abstand ${\displaystyle c}$ durch

${\displaystyle c={\sqrt {(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}}}}$

gegeben. Hierbei wird ausgenutzt, dass die Koordinatenachsen senkrecht zueinander liegen. Diese Formel kann auch auf mehr als zwei Dimensionen erweitert werden und liefert dann den euklidischen Abstand. Zum Beispiel gilt im dreidimensionalen euklidischen Raum

${\displaystyle c={\sqrt {(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}+(z_{1}-z_{0})^{2}}}}$.

Das entspricht auch dem Betrag bzw. der Länge des durch die beiden Punkte definierten Vektors.

Beweis nach Euklid

Euklid beschreibt den Satz des Pythagoras mit dem folgenden Beweis im ersten Buch seiner Elemente in der Proposition 47. Dort beweist er zunächst den Kathetensatz mit Hilfe kongruenter Dreiecke, aus welchem dann unmittelbar der Satz des Pythagoras folgt. Der Beweis benutzt nicht die Theorie der Proportionen, die Euklid im Buch 5 der Elemente entwickelt, sondern kommt allein mit den Sätzen des ersten Buches der Elemente aus und ist von konstruktiver Natur.

Für ein Dreieck ${\displaystyle ABC}$ mit rechtem Winkel in ${\displaystyle C}$ sind ${\displaystyle CBLF}$ und ${\displaystyle ACKD}$ die Quadrate über den Katheten und ${\displaystyle J}$ der Fußpunkt der Höhe von ${\displaystyle C}$ auf ${\displaystyle AB}$. Des Weiteren sind ${\displaystyle MNJA}$ und ${\displaystyle NHBJ}$ Rechtecke über der Hypotenuse ${\displaystyle AB}$ deren längere Seite ${\displaystyle JN}$ die Länge der Seite ${\displaystyle AB}$ besitzt. Nun sind die Dreiecke ${\displaystyle AMC}$ und ${\displaystyle ABD}$ nach dem zweiten Kongruenzsatz (SWS) kongruent, da ${\displaystyle \angle MAC=\angle BAC+90^{\circ }=\angle BAD}$, ${\displaystyle |AD|=|AC|}$ und ${\displaystyle |AB|=|AM|}$ gilt. Zudem gilt, dass die Fläche des Dreiecks ${\displaystyle AMC}$ die Hälfte der Fläche des Rechtecks ${\displaystyle MNJA}$ beträgt, da dessen Grundseite ${\displaystyle AB}$ und die Rechteckseite ${\displaystyle AM}$ gleich lang sind und die Länge seiner Höhe von ${\displaystyle C}$ der Länge der anderen Rechteckseite entspricht. Aufgrund eines entsprechenden Arguments folgt, dass die Fläche des Dreiecks ${\displaystyle ABD}$ der Hälfte der Fläche des Kathetenquadrates ${\displaystyle ACKD}$ entspricht. Wegen der Kongruenz der Dreiecke ${\displaystyle AMC}$ und ${\displaystyle ABD}$ bedeutet dies aber, dass dann auch das Kathetenquadrat ${\displaystyle ACKD}$ flächengleich mit dem Rechteck ${\displaystyle MNJA}$ ist. Analog lässt sich mit Hilfe der kongruenten Dreiecke ${\displaystyle CHB}$ und ${\displaystyle ABL}$ zeigen, dass das zweite Kathetenquadrat ${\displaystyle CBLF}$ flächengleich mit dem Rechteck ${\displaystyle NHBJ}$ ist. Damit hat man den Kathetensatz bewiesen. Der Satz des Pythagoras folgt dann sofort, da das Hypotenusenquadrat sich aus den Rechtecken ${\displaystyle MNJA}$ und ${\displaystyle NHBJ}$ zusammensetzt.

Es gibt noch einen weiteren Beweis des Satzes von Pythagoras in den Elementen in Buch 6, Proposition 31 (siehe unten). Er benutzt statt Quadraten zueinander ähnliche Rechtecke auf den drei Seiten, ist formal einfacher als der Beweis im ersten Buch durch Verwendung der Theorie der Proportionen, die erst von Eudoxos von Knidos streng begründet wurde. Pythagoras kann beide Beweise aller Wahrscheinlichkeit nach nicht gekannt haben, da sie einem fortgeschritteneren Verständnis der Geometrie entsprechen Proklos schrieb die Beweise in seinem Kommentar zu den Elementen explizit Euklid zu und drückte seine Bewunderung für beide Beweise aus.

Euklid gibt in der letzten Proposition 48 von Buch 1 zusätzlich eine Umkehrung des Satzes von Pythagoras, indem er zeigt, dass aus der Gleichheit der Fläche des Hypotenusenquadrats mit der der Summe der Kathetenquadrate folgt, dass einer der Winkel des Dreiecks ein rechter Winkel ist.

Der erste Beweis (I, 47) wird wegen der Form der Hilfslinien in der zugehörigen Figur im englischen Sprachraum gelegentlich auch windmill (Windmühle) genannt, Arthur Schopenhauer nahm den ersten Beweis von Euklid als Beispiel für dessen in seiner Sicht willkürliche und wenig anschauliche Vorgehensweise („Oft werden, wie im Pythagoreischen Lehrsatze, Linien gezogen, ohne dass man weiss warum: hinterher zeigt sich,dass es Schlingen waren, die sich unerwartet zuziehen“, und so die Zustimmung Lernenden erzwingen, „der nun verwundert zugeben muß , was ihm seinem inneren Zusammenhang nach völlig unbegreiflich bleibt“) Felix Klein verteidigte den Beweis dagegen in einer Erwiderung auf Schopenhauers Kritik als besonders anschaulich und demonstrierte dies in seiner Elementarmathematik vom höheren Standpunkt.

Beweis durch Addition abgeleiteter Flächeninhalte

Der in den beiden nebenstehenden Bildern auf unterschiedlicher Weise verdeutlichte Beweis durch Addition abgeleiteter Flächeninhalte, stammt aus dem chinesischen Werk Zhoubi suanjing, übersetzt Klassische Arithmetik des Gnomon und die Kreisbahnen des Himmels (es wird heute angenommen das Werk „stamme frühestens aus dem späten 4. Jahrhundert v. Chr.“). Darin kommt das allgemein bekannte rechtwinklige Dreieck mit den Seiten ${\displaystyle 3,\;4}$ und ${\displaystyle 5}$ zur Anwendung.

Nach dem Zeichnen eines Quadrats (Bild 1) und dessen Unterteilung in ${\displaystyle 7}$ x ${\displaystyle 7=49}$ Einheitsquadrate, wird das rechtwinklige Ausgangsdreieck (rot) mit den Katheten ${\displaystyle a=3}$, ${\displaystyle b=4}$ und mit der sich ergebenden Hypotenuse ${\displaystyle c}$ anhand des Gitters eingetragen. Darüber hinaus werden drei, dem Ausgangsdreieck gleichende Dreiecke so platziert, dass die Hypotenusen ein inneres Quadrat ergeben und demzufolge ein zentrales Einheitsquadrat (gelb) mit dem Flächeninhalt ${\displaystyle =1^{2}}$ umgrenzen. Ein auf das innere Quadrat eingezeichnetes Gitter, das dem äußeren gleicht und mit den Hypotenusen einen rechten Winkel einschließt, liefert ${\displaystyle 5}$ x ${\displaystyle 5=25}$ Einheitsquadrate.

Der Flächeninhalt des inneren Quadrats mit den vier Dreiecken und dem zentralen Einheitsquadrat entspricht ${\displaystyle 4\cdot {\tfrac {3\cdot 4}{2}}+1=25}$ Einheitsquadraten. Die gesamte Anzahl der (gelben) Einheitsquadrate ergibt sich aus den ${\displaystyle 49}$ Einheitsquadraten des äußeren Quadrats abzüglich der vier Dreiecksflächen des inneren Quadrats; dies bringt ebenfalls ${\displaystyle 49-4\cdot {\tfrac {3\cdot 4}{2}}=25}$ Einheitsquadrate.

Die Seitenlänge des inneren Quadrats ist die Hypotenuse ${\displaystyle c,}$ somit gilt als allgemeine Formel

${\displaystyle c^{2}=4\cdot {\frac {a\cdot b}{2}}+\left(a-b\right)^{2}=a^{2}+b^{2}.}$

Werte für ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ eingesetzt:

${\displaystyle c^{2}=4\cdot {\frac {3\cdot 4}{2}}+\left(3-4\right)^{2}=3^{2}+4^{2}=25\;[\mathrm {FE} ]}$ (Flächeneinheiten) ${\displaystyle \Rightarrow }$

${\displaystyle c=5\;[\mathrm {LE} ]}$ (Längeneinheiten)

Die Animation (Bild 2) verdeutlicht dies auf vergleichbarer Art und Weise.

Beweis durch Ergänzung

In ein Quadrat mit der Seitenlänge ${\displaystyle a+b}$ werden vier kongruente rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist.

Die Flächen des linken und des rechten Quadrates sind gleich (Seitenlänge ${\displaystyle a+b}$). Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge ${\displaystyle c}$, das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge ${\displaystyle a}$ und einem mit Seitenlänge ${\displaystyle b}$. Die Fläche ${\displaystyle c^{2}}$ entspricht also der Summe der Fläche ${\displaystyle a^{2}}$ und der Fläche ${\displaystyle b^{2}}$, also

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$.

Eine algebraische Lösung ergibt sich aus dem linken Bild des Diagramms. Das große Quadrat hat die Seitenlänge ${\displaystyle a+b}$ und somit die Fläche ${\displaystyle (a+b)^{2}}$. Zieht man von dieser Fläche die vier Dreiecke ab, die jeweils eine Fläche von ${\displaystyle {\tfrac {ab}{2}}}$ (also insgesamt ${\displaystyle 2ab}$) haben, so bleibt die Fläche ${\displaystyle c^{2}}$ übrig. Es ist also

${\displaystyle (a+b)^{2}=2ab+c^{2}}$.

Auflösen der Klammer liefert

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}}$.

Zieht man nun auf beiden Seiten ${\displaystyle 2ab}$ ab, bleibt der Satz des Pythagoras übrig.

Beweis durch Scherung

Eine Möglichkeit ist die Scherung der Kathetenquadrate in das Hypotenusenquadrat. Unter Scherung eines Rechtecks versteht man in der Geometrie die Überführung des Rechtecks in ein Parallelogramm unter Beibehaltung der Höhe. Bei der Scherung ist das sich ergebende Parallelogramm zu dem Ausgangsrechteck flächengleich. Über zwei Scherungen können die beiden kleineren Quadrate dann in zwei Rechtecke umgewandelt werden, die zusammen genau in das große Quadrat passen.

Beim exakten Beweis muss dann noch über die Kongruenzsätze im Dreieck nachgewiesen werden, dass die kleinere Seite der sich ergebenden Rechtecke jeweils dem betreffenden Hypotenusenabschnitt entspricht. Wie üblich wurden in der Animation die Höhe mit ${\displaystyle h}$ und die Hypotenusenabschnitte mit ${\displaystyle p,q}$ bezeichnet.

Beweis durch Parkettierung

Die gesamte Ebene lässt sich mit zwei verschiedenen Sorten von jeweils flächengleichen Quadraten parkettieren. Jedes der grünen Quadrate habe den Flächeninhalt ${\displaystyle a^{2}}$, jedes der gelben Quadrate den Flächeninhalt ${\displaystyle b^{2}}$ und jedes der rot umrandeten Quadrate den Flächeninhalt ${\displaystyle c^{2}}$.

Da einerseits die grünen und die gelben Quadrate zusammen und andererseits die rot umrandeten Quadrate jeweils die gesamte Ebene parkettieren, muss ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ gelten.

Figur 1 zeigt die Parkettierung mit Kathetenquadraten (grün und gelb) bzw. mit Hypotenusenquadraten (rot umrandet). In Figur 2 ist in einem Parkettierungsausschnitt die Pythagorasfigur eingezeichnet. Das an der Kathete gespiegelte grüne Kathetenquadrat ist gestrichelt als Teil der Parkettierung eingezeichnet.

Beweis mit Ähnlichkeiten

Es ist nicht unbedingt notwendig, zum Beweis des Satzes von Pythagoras (explizit) Flächen heranzuziehen. Geometrisch eleganter ist es, Ähnlichkeiten zu verwenden. Sobald man sich durch Berechnung der Winkelsummen im Dreieck überzeugt hat, dass die beiden Winkel ${\displaystyle \delta }$ im unteren Bild gleich groß sein müssen, sieht man, dass die Dreiecke ${\displaystyle ABC}$, ${\displaystyle BCD}$ und ${\displaystyle ADC}$ ähnlich sind. Der Beweis des Satzes von Pythagoras ergibt sich dann wie im Bild gezeigt, dabei beweist man auch den Kathetensatz und die Addition beider Varianten des Kathetensatzes ergibt den Satz des Pythagoras selbst. Diese Herleitung lässt sich anschaulich mit der Ähnlichkeit der Quadrate und der Ähnlichkeit deren angrenzenden Dreiecke erklären. Da deren Fläche proportional zur Fläche der jeweils anliegenden Quadrate ist, repräsentiert die Gleichung

${\displaystyle CBD+ACD=ABC}$

den Satz: Die Flächen der Dreiecke CBD, ACD und ABC sind wegen Ähnlichkeit proportional zu den Quadraten über den Kanten und bestimmen sich daher zu q·a², q·b² und q·c² mit einem unbekannten Faktor q ungleich Null. Das sie sich die ersten beiden zum dritten, vollen Dreieck ergänzen, gilt

q·a² + q·b² = q·c².

Da q von Null verschieden ist, können wir diese Gleichung auf beiden Seiten durch q teilen und erhalten die gewünschte Beziehung. Es ist also gar nicht nötig, q zu berechnen, was die Beweisführung stark vereinfacht. Diesen bis dahin offenbar unbekannten Beweis soll Albert Einstein im Alter von zwölf Jahren gefunden haben.

Ebenso kann in der Figur rechts eine Parallele zu AB von der Höhe h auf die Seite a gezogen werden, was weitere ähnliche Dreiecke und unendlich viele Beweismöglichkeiten liefert.

Beweis der Umkehrung

Die Umkehrung des Satzes lässt sich auf verschiedene Arten beweisen, ein besonders einfacher Beweis ergibt sich jedoch, wenn man den Satz des Pythagoras selbst zum Beweis seiner Umkehrung heranzieht.

Zu einem beliebigen Dreieck, dessen Seiten ${\displaystyle a,b,c}$ die Bedingung ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$ erfüllen, konstruiert man ein zweites Dreieck. Dieses besitzt einen rechten Winkel, dessen Schenkellängen den Seitenlängen von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ entsprechen. Nach dem Satz des Pythagoras beträgt nun die Länge der Hypotenuse in diesem zweiten Dreieck ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ und entspricht damit der Länge der Seite ${\displaystyle c}$ des Ausgangsdreiecks. Somit besitzen die beiden Dreiecke die gleichen Seitenlängen und sind aufgrund des ersten Kongruenzsatzes (SSS) kongruent. Damit sind dann aber auch ihre Winkel gleich, das heißt, auch das Ausgangsdreieck besitzt einen rechten Winkel, der der Seite ${\displaystyle c}$ gegenüberliegt.

Kosinussatz

Der Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras für beliebige Dreiecke:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma }$,

wobei ${\displaystyle \gamma }$ der Winkel zwischen den Seiten ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ ist. Der Kosinussatz unterscheidet sich also durch den Term ${\displaystyle -2ab\cdot \cos \gamma }$ vom Satz des Pythagoras. Da der Kosinus von ${\displaystyle 90^{\circ }}$ gleich null ist, fällt dieser Term bei einem rechten Winkel weg, und es ergibt sich als Spezialfall der Satz des Pythagoras. Gilt umgekehrt in einem Dreieck die Beziehung

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$,

so muss ${\displaystyle -2ab\cdot \cos \gamma =0}$ sein, woraus ${\displaystyle \gamma =90^{\circ }}$ folgt, und daher ist das Dreieck rechtwinklig. Für spitzwinklige Dreiecke gilt entsprechend

${\displaystyle c^{2}<a^{2}+b^{2}}$

und für stumpfwinklige Dreiecke

${\displaystyle c^{2}>a^{2}+b^{2}}$.

Verallgemeinerung von Thabit ibn Qurra

Eine auf Thabit ibn Qurra zurückgehende Verallgemeinerung liefert zu den Quadraten über zwei Seiten eines beliebigen Dreiecks ein Rechteck über der dritten Seite, dessen Fläche der Summe der beiden Quadratflächen entspricht.

Zu einem beliebigen Dreieck ${\displaystyle \triangle ABC}$ mit Seiten ${\displaystyle a,b,c}$, Winkel ${\displaystyle \gamma }$ in ${\displaystyle C}$ und Höhe ${\displaystyle CD}$ konstruiert man ein gleichschenkliges Dreieck ${\displaystyle CFE}$ dessen Basis auf der Seite ${\displaystyle c}$ liegt und das ${\displaystyle CD}$ als Höhe besitzt. Darüber hinaus besitzen seine beiden Basiswinkel die gleiche Größe wie ${\displaystyle \gamma }$, sofern ${\displaystyle \gamma }$ ein spitzer Winkel ist. Ist ${\displaystyle \gamma }$ hingegen ein stumpfer Winkel, so sollen die Basiswinkel ${\displaystyle 180^{\circ }-\gamma }$ betragen. Ferner wird der Eckpunkt des gleichschenkligen Dreiecks, der auf derselben Seite von ${\displaystyle CD}$ wie ${\displaystyle B}$ liegt, mit ${\displaystyle E}$ bezeichnet und der andere Eckpunkt auf derselben Seite wie ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle F}$. Dies gilt jedoch nur im Falle ${\displaystyle \gamma <90^{\circ }}$, für ${\displaystyle \gamma >90^{\circ }}$ vertauscht man stattdessen ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$. Im Fall ${\displaystyle \gamma =90^{\circ }}$ fällt das gleichschenklige Dreieck mit der Höhe ${\displaystyle CD}$ zusammen und die Punkte ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ dementsprechend mit dem Punkt ${\displaystyle D}$. Definiert man nun ${\displaystyle r=|AE|}$ und ${\displaystyle s=|BF|}$, so gilt:

${\displaystyle c(r+s)=a^{2}+b^{2}}$

Für ${\displaystyle \gamma =90^{\circ }}$ gilt dabei ${\displaystyle c=r+s}$ und die obige Gleichung liefert den Satz des Pythagoras.

Die Aussage lässt sich analog zum Satz des Pythagoras direkt über ähnliche Dreiecke beweisen, wobei hier die Dreiecke ${\displaystyle \triangle ABC}$, ${\displaystyle \triangle AEC}$ und ${\displaystyle \triangle FBC}$ ähnlich sind.

Aufgrund von

${\displaystyle 2ab\cos(\gamma )=a^{2}+b^{2}-c^{2}=c(r+s)-c^{2}=c(r+s-c)}$

liefert Qurras Verallgemeinerung auch eine geometrische Darstellung des Korrekturterms im Kosinussatz als ein Rechteck, das zu dem Quadrat über der Seite ${\displaystyle c}$ hinzugefügt oder von ihm abgetrennt wird, um eine Fläche zu erhalten, die der Summe der Flächen der Quadrate über den Seiten ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ entspricht.

Flächensatz von Pappus

Eine weitere Verallgemeinerung auf beliebige Dreiecke liefert die Flächenformel von Pappus. Hier ergibt sich aus zwei beliebigen Parallelogrammen über zwei Seiten eines beliebigen Dreiecks ein eindeutig bestimmtes Parallelogramm über der dritten Seite des Dreiecks, dessen Fläche der Summe der Flächen der beiden Ausgangsparallelogramme entspricht. Sind die beiden Ausgangsparallelogramme Quadrate, so erhält man im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks ein Quadrat über der dritten Seite und damit den Satz des Pythagoras.

Das Parallelogramm über der dritten Seiten erhält man, indem man die beiden Seiten der Ausgangsparallelogramme, die parallel zu den Dreiecksseiten sind, verlängert und deren Schnittpunkt mit dem Eckpunkt des Dreiecks, der auch auf beiden Parallelogrammen liegt, verbindet. Diese Verbindungsstrecke liefert das zweite Seitenpaar des Parallelogramms über der dritten Seite (siehe Zeichnung).

Ähnliche Figuren, errichtet über den Seiten des rechtwinkligen Dreiecks

Eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras mithilfe von drei zueinander ähnlichen Figuren über den Dreieckseiten (neben den bereits bekannten Quadraten) war bereits Hippokrates von Chios im 5. Jahrhundert v. Chr. bekannt und wurde, wahrscheinlich zweihundert Jahre später, von Euklid in seinem Werk Elemente aufgenommen:

Errichtet man über den drei Seiten ${\displaystyle a,\;b}$ und ${\displaystyle c}$ des ursprünglichen Dreiecks jeweils eine zu den beiden anderen ähnliche Figur (Bild 1) mit den Flächen ${\displaystyle A,\;B}$ und ${\displaystyle C,}$ dann gilt wegen ihrer Ähnlichkeit:

${\displaystyle {\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}}$

Stellt man ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ in der Form

${\displaystyle A={\frac {C\cdot a^{2}}{c^{2}}},\ B={\frac {C\cdot b^{2}}{c^{2}}}}$

dar, so erhält man für die Summe:

${\displaystyle A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}\cdot C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}\cdot C={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}\cdot C}$

Nach dem Satz des Pythagoras ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ wird ${\displaystyle c^{2}}$ für ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ eingesetzt und somit ergibt sich:

${\displaystyle A+B=C}$

Während Euklids Beweis nur für konvexe Polygone (Vielecke) gilt, ist der Satz auch für konkave Polygone und sogar für ähnliche Figuren mit gekrümmten Grenzen gültig, wobei auch diese Figuren aus einer betreffenden Seite des ursprünglichen Dreiecks hervorgehen. Die im Bild 2 dargestellten Flächen ${\displaystyle A,\ B}$ und ${\displaystyle C}$ der Kreise entstehen aus den Seiten ${\displaystyle a,\ b}$ und ${\displaystyle c}$ der Fünfecke.

Um zu verdeutlichen, dass Kreise bzw. Halbkreise allein, d. h. ohne Vielecke über den Seiten, zur Verallgemeinerung herangezogen werden können, erweitert man den Satz des Pythagoras mit der Kreiszahl ${\displaystyle \pi$ :}

Aus dem Satz mit Quadraten

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

wird, mit den entsprechenden Seitenlängen ${\displaystyle a,\;b}$ und ${\displaystyle c}$ als Radien, eine Verallgemeinerung mit Kreisen

${\displaystyle c^{2}\cdot \pi =a^{2}\cdot \pi +b^{2}\cdot \pi }$

bzw. eine Verallgemeinerung mit Halbkreisen:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot c^{2}\cdot \pi ={\frac {1}{2}}\cdot \left(a^{2}\cdot \pi +b^{2}\cdot \pi \right)}$

Die Grundidee hinter dieser Verallgemeinerung ist, dass die Fläche einer ebenen Figur proportional zum Quadrat jeder linearen Dimension und insbesondere proportional zum Quadrat der Länge jeder Seite ist.

Skalarprodukträume

Abstrahiert man vom gewöhnlichen euklidischen Raum zu allgemeinen Skalarprodukträumen, also Vektorräumen mit einem Skalarprodukt, dann gilt:

Sind zwei Vektoren ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ zueinander orthogonal, ist also ihr Skalarprodukt ${\displaystyle \langle u,v\rangle =0}$, dann gilt aufgrund der Linearität des Skalarprodukts

${\displaystyle \|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +\langle u,v\rangle +\langle v,u\rangle +\langle v,v\rangle =\langle u,u\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+\|v\|^{2}}$,

wobei ${\displaystyle \|\cdot \|}$ die von dem Skalarprodukt induzierte Norm bezeichnet.

Bezieht man diesen Satz wiederum auf den euklidischen Raum, dann stehen ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ für die Katheten ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ eines rechtwinkligen Dreiecks. ${\displaystyle \|u+v\|}$ steht für die Länge der Hypotenuse ${\displaystyle c}$.

Diese Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras findet sich auch in abstrakten mathematischen Strukturen, etwa unendlichdimensionalen Funktionenräumen wieder. Die Umkehrung gilt ebenfalls. Trifft die Gleichung zu, so sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander. Der Satz lässt sich noch weiter verallgemeinern. Ist ${\displaystyle \{u_{1},\dotsc ,u_{n}\}}$ ein Orthogonalsystem bestehend aus paarweise orthogonalen Vektoren ${\displaystyle u_{k}}$, dann folgt durch wiederholte Anwendung obigen Arguments:

${\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}u_{k}\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}\|u_{k}\|^{2}}$

Die entsprechende Aussage gilt sogar für unendliche Summen, wenn man eine Folge ${\displaystyle (u_{k})}$ von Vektoren betrachtet, die alle zueinander orthogonal sind. Konvergiert nun die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }u_{k}}$, so konvergiert auch ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\|u_{k}\|^{2}}$ und es gilt:

${\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{\infty }\|u_{k}\|^{2}}$

Der Beweis der zweiten Behauptung folgt dabei aus der Stetigkeit des Skalarprodukts. Eine weitere Verallgemeinerung führt zur Parsevalschen Gleichung.

Weitere Verallgemeinerungen

Ebenfalls als Verallgemeinerungen des Satzes des Pythagoras können der Schenkeltransversalensatz, der Satz von Stewart, der Satz von Ptolemäus, der Satz von Carnot über Lote am Dreieck und der Satz von der britischen Flagge gelten. Letzterer stellt sowohl eine Verallgemeinerung in der Ebene als auch im Raum dar. Die pythagoreische Gleichung ist darüber hinaus auch in der Apollonios-Gleichung enthalten.

Ein räumliches Analogon ist der Satz von de Gua. Hier werden das rechtwinklige Dreieck durch ein rechtwinkliges Tetraeder und die Seitenlängen durch die Flächeninhalte der Seitenflächen ersetzt. Sowohl der Satz des Pythagoras als auch der Satz von de Gua sind Spezialfälle eines allgemeinen Satzes über n-Simplexe mit einer rechtwinkligen Ecke.

Unterschiede in der nichteuklidischen Geometrie

Nichteuklidische Geometrien sind Geometrien, in denen das Parallelenaxiom nicht gilt. Ein Beispiel hierfür ist die Geometrie der Kugeloberfläche. Dort gilt der Satz des Pythagoras nicht mehr, da in solchen Geometrien der Innenwinkelsatz nicht gilt, also die Winkelsumme eines Dreiecks von 180° verschieden ist. Ein anderes Beispiel ist der „gekrümmte“ Raum der Allgemeinen Relativitätstheorie Albert Einsteins.

Babylon und Indien

Bereits auf einer babylonischen Keilschrifttafel, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert wird (ca. 1829 bis ca. 1530 v. Chr.), findet sich eine geometrische Problemstellung mit Lösung, bei der der Satz zur Berechnung von Längen (im Sexagesimalsystem) verwendet wurde:

Daraus ergibt sich:

${\displaystyle 0;18^{2}=0;30^{2}-0;24^{2}}$, also ${\displaystyle a^{2}=c^{2}-b^{2}}$ und weiter ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$.

Ein Interesse der Babylonier an einem mathematischen Beweis geht jedoch aus den Quellen nicht hervor.

Die Keilschrifttafel Plimpton 322 enthält außerdem ${\displaystyle 15}$ verschiedene pythagoreische Tripel, unter anderem

${\displaystyle (56,90,106)}$, ${\displaystyle (119,120,169)}$ sowie ${\displaystyle (12709,13500,18541)}$,

was auf ein Verfahren zur Berechnung solcher Tripel schließen lässt.

In indischen Sulbasutras („Schurregeln“ bzw. „Leitfäden zur Meßkunst“), die ungefähr vom 6. bis zum 4. Jahrhundert v. Chr. entstanden, finden sich einige pythagoreische Tripel. Außerdem wurde auch der Lehrsatz dort schon allgemein ausgesprochen und benutzt. Wie er begründet wurde, ist nicht sicher.

China

Der Satz war im antiken China als Satz der Gougu (勾股定理) bekannt. In der Schrift Zhoubi suanjing („Arithmetischer Klassiker des Zhou-Gnomons“), die ungefähr vom 1. Jahrhundert v. Chr. bis zum 6. Jahrhundert n. Chr. entstand, wird mit der sogenannten „Hypotenusen-Figur“ (Xian-tu) ein dort am Beispiel des rechtwinkligen Dreiecks (gougu) mit den Seiten 3, 4 und 5 gegebener Beweis des Satzes veranschaulicht. Auch im Jiu Zhang Suanshu („Neun Bücher arithmetischer Technik“, 1. Jahrhundert n. Chr.), dem klassischen mathematischen Werk Chinas mit einer Sammlung von 263 Problemstellungen, ihren Lösungen und den Lösungswegen, wird er angewendet. Liu Hui (3. Jahrhundert n. Chr.) gab wohl in seinem Kommentar zu den „Neun Büchern“ im neunten Kapitel einen Zerlegungsbeweis an.

Die umstrittene Rolle des Pythagoras

Die Benennung des Satzes nach dem griechischen Philosophen Pythagoras (6. Jahrhundert v. Chr.) ist erst in späteren Quellen bezeugt. Daher ist in der Forschung die Frage nach der Rolle des Pythagoras stark umstritten. Verschiedene Hypothesen kommen in Betracht:

• Pythagoras übernahm den Satz von den Babyloniern, seine Rolle war nur die eines Vermittlers orientalischen Wissens an die Griechen. Antiken Quellen zufolge unternahm er eine Ägyptenreise, er soll sogar in Babylonien gewesen sein, doch ist die Glaubwürdigkeit der Berichte über seine Reisen umstritten.
• Pythagoras hat den Satz unabhängig von der orientalischen Mathematik entdeckt und auch erstmals bewiesen. Diese Ansicht war in der Antike verbreitet.
• Pythagoras verdankte die Kenntnis des Sachverhalts orientalischen Quellen, war aber der erste, der einen Beweis dafür fand. Tatsächlich waren Babylonier und Ägypter anscheinend nur an der Anwendung des Satzes für praktische Zwecke, nicht an einem allgemeingültigen Beweis interessiert. So enthält beispielsweise das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das ägyptische Rechenbuch des Ahmes (auch Papyrus Rhind) aus dem 17. Jahrhundert v. Chr., bereits komplizierte Aufgaben, es fehlt jedoch jede Verallgemeinerung, es wird nicht definiert und bewiesen.
• Pythagoras kannte einen der einfacheren Beweise, zum Beispiel einen Beweis vom Zerlegungstyp und für den Spezialfall eines Dreiecks mit einem rechten und zwei 45-Grad-Winkeln.
• Pythagoras hat in der Geschichte des Satzes keine Rolle gespielt; erst spätere Pythagoreer haben möglicherweise den ersten Beweis gefunden.

Der historisch nachweisbare Zusammenhang von Pythagoras zu dem ihm zugeschriebenen Theorem ist nach Bartel Leendert van der Waerden sehr zweifelhaft, und auch Thomas Heath sieht nur schwache historische Belege für die Zuschreibung. Gegensätzliche Positionen vertreten zum Beispiel die Wissenschaftshistoriker Walter Burkert und Leonid Zhmud. Burkert zieht allenfalls eine Vermittlerrolle des Pythagoras in Betracht, Zhmud schreibt ihm mathematische Leistungen wie den Beweis des Satzes zu und betont seine Eigenständigkeit gegenüber der orientalischen Mathematik.

Euklid, der in der zweiten Hälfte des 4. Jahrhunderts v. Chr. in seinem berühmten Werk Elemente das mathematische Wissen seiner Zeit zusammentrug, bot einen Beweis, brachte den Satz aber nicht namentlich mit Pythagoras in Zusammenhang. Proklos schrieb dazu im 5. Jahrhundert n. Chr. in seinem Kommentar zu Euklids Elementen: „Wenn wir denen zuhören die sich gerne mit Geschichte befassen finden wir, dass sie dieses Theorem Pythagoras zuschreiben und sagen, er hätte dafür einen Ochsen geopfert“, was zeigt, dass die Zuschreibung an Pythagoras damals verbreitet war. Auch Plutarch, Cicero und Vitruv berichten von Pythagoras Opferung eines Ochsen, mit unterschiedlichen Versionen zur Ursache – bei Vitruv ist es die Entdeckung eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seitenlängen 3, 4, 5, also einem pythagoreischen Tripel, Cicero (De natura deorum, Buch 3, 88) gibt keine genaueren Hinweise auf die zugrundeliegende geometrische Entdeckung.

Der älteste Beleg dafür, dass der Satz mit Pythagoras in Verbindung gebracht wurde, ist ein Epigramm eines Apollodoros, der möglicherweise mit dem Philosophen Apollodoros von Kyzikos zu identifizieren ist; in diesem Fall stammen die Verse aus der zweiten Hälfte des 4. Jahrhunderts v. Chr. Der Text lautet:

Apollodoros gibt nicht an, welche „berühmte“ Zeichnung oder Figur er meint, doch spätere Autoren, darunter Diogenes Laertios, der im 3. Jahrhundert die beiden Verse zitierte, gingen davon aus, dass es sich um den „Satz des Pythagoras“ handelt. Diese Überlieferung, wonach Pythagoras einem Gott zum Dank dafür, dass dieser ihm die Erkenntnis eingab, ein Rinderopfer darbrachte, steht – wie schon Cicero bemerkte – in Widerspruch zu dem von zahlreichen antiken Quellen überlieferten Umstand, dass Pythagoras und die Pythagoreer Tieropfer grundsätzlich ablehnten.