Kurs:Algebraische Kurven/4/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Polynomring in einer Variablen ${\displaystyle {}X}$ über einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
2. Eine irreduzible Komponente einer affin-algebraischen Menge ${\displaystyle {}V}$.
3. Ein Radikal in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
4. Der Singularitätsgrad zu einem numerischen Monoid ${\displaystyle {}M\subseteq \mathbb {N} }$.
5. Ein normaler Integritätsbereich.
6. Eine quasiprojektive Varietät.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Fundamentalsatz der Algebra.
2. Der Satz über die Beziehung des ${\displaystyle {}K}$-Spektrums von einem Restklassenring ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}}$ zum Nullstellengebilde ${\displaystyle {}V({\mathfrak {a}})}$.
3. Der Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.

Die Standardparabel ist durch die Gleichung

${\displaystyle {}y=x^{2}\,}$

und der Einheitskreis ist durch die Gleichung

${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=1\,}$

gegeben. Die Schnittpunkte müssen beide Gleichungen simultan erfüllen. Wir ersetzen mit der ersten Gleichung ${\displaystyle {}x^{2}}$ in der zweiten Gleichung und erhalten

${\displaystyle {}y^{2}+y-1=0\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}y={\frac {-1\pm {\sqrt {1+4}}}{2}}={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}\,.}$

Für das negative Vorzeichen ergibt sich keine Quadratwurzel, also ist

${\displaystyle {}y={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\,}$

und

${\displaystyle {}x=\pm {\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}\,.}$

Die beiden Schnittpunkte sind also ${\displaystyle {}\left(-{\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}},\,{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)}$ und ${\displaystyle {}\left({\sqrt {\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}},\,{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)}$.

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.

Wenn ${\displaystyle {}R}$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Es sei ${\displaystyle {}I}$ ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Ideal in ${\displaystyle {}R}$. Dann enthält ${\displaystyle {}I}$ ein Element ${\displaystyle {}x\neq 0}$, das eine Einheit ist. Damit ist ${\displaystyle {}1=xx^{-1}\in I}$ und damit ${\displaystyle {}I=R}$.

Es sei umgekehrt ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann ${\displaystyle {}R}$ nicht der Nullring sein. Es sei nun ${\displaystyle {}x}$ ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Element in ${\displaystyle {}R}$. Das von ${\displaystyle {}x}$ erzeugte Hauptideal ${\displaystyle {}Rx}$ ist ${\displaystyle {}\neq 0}$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass ${\displaystyle {}1\in Rx}$ ist. Das bedeutet also ${\displaystyle {}1=xr}$ für ein ${\displaystyle {}r\in R}$, sodass ${\displaystyle {}x}$ eine Einheit ist.

Bestimme für die Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {A} }_{K}^{1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto \left({\frac {t^{2}+1}{t}},\,{\frac {t+1}{t}}\right),}$

eine algebraische Gleichung der Bildkurve. Führe eine Probe durch.

Wir arbeiten mit den gleichgradigen Homogenisierungen ${\displaystyle {}H_{1}=T^{2}+S^{2}}$, ${\displaystyle {}H_{2}=S(T+S)=ST+S^{2}}$ und ${\displaystyle {}H_{3}=ST}$. Daraus ergeben sich sechs Monome vom Grad ${\displaystyle {}4}$ (bezogen auf ${\displaystyle {}S,T}$). Da es insgesamt nur ${\displaystyle {}5}$ Monome vom Grad ${\displaystyle {}4}$ gibt, muss dort eine lineare Abhängigkeit bestehen. Es ist

${\displaystyle {}F_{1}=H_{1}H_{1}=T^{4}+2S^{2}T^{2}+S^{4}\,,}$

${\displaystyle {}F_{2}=H_{2}H_{2}=S^{2}T^{2}+2S^{3}T+S^{4}\,,}$

${\displaystyle {}F_{3}=H_{3}H_{3}=S^{2}T^{2}\,,}$

${\displaystyle {}F_{4}=H_{1}H_{2}=ST^{3}+S^{2}T^{2}+S^{3}T+S^{4}\,,}$

${\displaystyle {}F_{5}=H_{1}H_{3}=ST^{3}+S^{3}T\,}$

und

${\displaystyle {}F_{6}=H_{2}H_{3}=S^{2}T^{2}+S^{3}T\,.}$

Da ${\displaystyle {}T^{4}}$ nur in ${\displaystyle {}F_{1}}$ vorkommt, muss es eine lineare Relation zwischen ${\displaystyle {}F_{2},F_{3},F_{4},F_{5},F_{6}}$ geben. Da ${\displaystyle {}F_{3}}$ ein Monom ist, konzentrieren wir uns auf die relevanten Monome ${\displaystyle {}ST^{3},S^{3}T,S^{4}}$ und ${\displaystyle {}F_{2},F_{4},F_{5},F_{6}}$ Es ist

${\displaystyle {}F_{2}-F_{4}+F_{5}-2F_{6}=-2S^{2}T^{2}\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}F_{2}+2F_{3}-F_{4}+F_{5}-2F_{6}=0\,}$

eine lineare Relation. Somit ist

${\displaystyle {}F=V^{2}+2W^{2}-UV+UW-2VW\,}$

ein Polynom vom Grad ${\displaystyle {}2}$, das ${\displaystyle {}0}$ ergibt, wenn man die Variablen durch die ${\displaystyle {}H_{1},H_{2},H_{3}}$ ersetzt. Wir dividieren durch ${\displaystyle {}W^{2}}$ und erhalten

${\displaystyle {\left({\frac {V}{W}}\right)}^{2}+2-{\frac {U}{W}}\cdot {\frac {V}{W}}+{\frac {U}{W}}-2{\frac {V}{W}}.}$

Wenn man darin ${\displaystyle {}H_{1},H_{2},H_{3}}$ einsetzt und dann ${\displaystyle {}S}$ durch ${\displaystyle {}1}$ ersetzt, kommt nach wir vor ${\displaystyle {}0}$ raus. Die entstehenden Ersetzungen für ${\displaystyle {}U/W}$ bzw. ${\displaystyle {}V/W}$ sind aber die ursprünglichen rationalen Funktionen. Ein annullierendes Polynom ist demnach

${\displaystyle Y^{2}-XY+X-2Y+2.}$

Als Probe betrachten wir

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left({\frac {t+1}{t}}\right)}^{2}-{\frac {t^{2}+1}{t}}\cdot {\frac {t+1}{t}}+{\frac {t^{2}+1}{t}}-2{\frac {t+1}{t}}+2&={\frac {t^{2}+2t+1-t^{3}-t^{2}-t-1+t^{3}+t-2t^{2}-2t+2t^{2}}{t^{2}}}\\&=0.\end{aligned}}}$

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein Modul über dem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$. Es seien ${\displaystyle {}s_{1},\ldots ,s_{k}\in R}$ und ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V}$. Zeige

${\displaystyle {}{\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}=\sum _{1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}\,.}$

Wir beweisen die Aussage durch eine Doppelinduktion über ${\displaystyle {}k,n\geq 1}$. Die Fälle

${\displaystyle {}(k,n)=(1,1),\,(1,2),\,(2,1)\,}$

sind unmittelbar klar bzw. folgen direkt aus den Modulaxiomen.

Die Aussage für ${\displaystyle {}k=1}$ und beliebige ${\displaystyle {}n}$ beweisen für durch Induktion nach ${\displaystyle {}n}$, wobei der Induktionsanfang durch die Vorbemerkung gesichert ist. Es sei die Aussage für ein ${\displaystyle {}n}$ schon bewiesen, und seien ${\displaystyle {}n+1}$ Vektoren ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n},v_{n+1}\in V}$ gegeben. Dann ist unter Verwendung des Falles ${\displaystyle {}(1,2)}$ und der Induktionsvoraussetzung

${\displaystyle {}{\begin{aligned}s{\left(\sum _{j=1}^{n+1}v_{j}\right)}&=s{\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}+v_{n+1}\right)}\\&=s{\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}+sv_{n+1}\\&=\sum _{1\leq j\leq n}s\cdot v_{j}+sv_{n+1}\\&=\sum _{1\leq j\leq n+1}s\cdot v_{j}.\end{aligned}}}$

Wir betrachten nun die Aussage für ein festes ${\displaystyle {}k}$ und beliebige ${\displaystyle {}n}$. Für ${\displaystyle {}k=1}$ ist diese Aussage bereits bewiesen. Es sei diese Aussage nun für ein festes ${\displaystyle {}k}$ schon bewiesen Es seien Skalare ${\displaystyle {}s_{1},\ldots ,s_{k},s_{k+1}\in R}$ und Vektoren ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V}$ gegeben. Dann ist unter Verwendung der Fälle ${\displaystyle {}(k,n)=(2,1),(1,n)}$ und der Induktionsvoraussetzung

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{k+1}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}&={\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}+s_{k+1}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}\\&={\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}+s_{k+1}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}\\&=\sum _{1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}+\sum _{j=1}^{n}s_{k+1}\cdot v_{j}\\&=\sum _{1\leq i\leq k+1,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}.\end{aligned}}}$

Es sei ${\displaystyle {}A}$ eine endlich erzeugte ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$- Algebra und es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}\subseteq A}$ ein maximales Ideal. Zeige, dass der Restklassenring ${\displaystyle {}A/{\mathfrak {m}}}$ ein endlicher Körper ist.

Wir betrachten die zusammengesetzte Abbildung

${\displaystyle \mathbb {Z} {\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}A\longrightarrow A/{\mathfrak {m}}=L,}$

die ebenfalls vom endlichen Typ ist. Das Urbild ${\displaystyle {}\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})}$ ist ein Primideal in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$, also gleich ${\displaystyle {}(0)}$ oder gleich ${\displaystyle {}(p)}$ mit einer Primzahl ${\displaystyle {}p}$. Im ersten Fall würde man eine Faktorisierung

${\displaystyle \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Q} \longrightarrow L}$

haben. Nach dem Hilbertscher Nullstellensatz ist ${\displaystyle {}L}$ endlich über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ und nach Lemma 10.5 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)) wäre dann ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ auch endlich erzeugt über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$, was aber nicht der Fall ist. Der erste Fall ist also ausgeschlossen. Es liegt also der zweite Fall vor, und man hat eine Faktorisierung

${\displaystyle \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(p)\longrightarrow L.}$

Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ist somit ${\displaystyle {}L}$ endlich über dem endlichen Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ und damit selbst endlich.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring mit einem Element ${\displaystyle {}n\in R}$ mit ${\displaystyle {}n^{2}=0}$ in ${\displaystyle {}R}$ und sei

${\displaystyle {}S=R/(n)\,.}$

Zeige, dass es zu jedem idempotenten Element ${\displaystyle {}e}$ aus ${\displaystyle {}S}$ ein idempotentes Element aus ${\displaystyle {}R}$ gibt, dessen Restklasse gleich ${\displaystyle {}e}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}f\in R}$ ein Urbild von ${\displaystyle {}e}$. Da ${\displaystyle {}e}$ idempotent ist, wird ${\displaystyle {}f^{2}-f}$ auf ${\displaystyle {}0}$ abgebildet, also ist ${\displaystyle {}f^{2}-f=c\in (n)}$. Insbesondere ist ${\displaystyle {}c^{2}=0}$. Wir betrachten

${\displaystyle {}g=f+c-2cf\,,}$

das ebenfalls auf ${\displaystyle {}e}$ abgebildet wird. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}g^{2}&={\left(f+c-2cf\right)}^{2}\\&=f^{2}+c^{2}+4c^{2}f^{2}+2cf-4cf^{2}-4c^{2}f\\&=f^{2}+2cf-4cf^{2}\\&=f+c+2cf-4c(f+c)\\&=f+c+2cf-4cf\\&=f+c-2cf\\&=g,\end{aligned}}}$

also ist ein idempotentes Urbild von ${\displaystyle {}e}$ gefunden.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}R=K[X,Y]}$ der Polynomring in zwei Variablen, ${\displaystyle {}S\subseteq R}$ ein multiplikatives System und ${\displaystyle {}F\in R}$ ein Polynom. Zeige, dass es eine eindeutige ${\displaystyle {}R}$- Algebraisomorphie

${\displaystyle {}(R/(F))_{S}\cong (R_{S})/(F)\,}$

gibt.

Alle Homomorphismen sind im Folgenden ${\displaystyle {}R}$- Algebrahomomorphismen und durch ihre Eigenschaften eindeutig festgelegt. Es gibt zunächst den Homomorphismus ${\displaystyle {}R\rightarrow R_{S}}$ und daher einen induzierten Homomorphismus

${\displaystyle R/(F)\longrightarrow R_{S}/(F).}$

Da das Bild von ${\displaystyle {}S}$ in ${\displaystyle {}R/(F)}$ in ${\displaystyle {}R_{S}/(F)}$ zu Einheiten werden, induziert dies einen Homomorphismus

${\displaystyle (R/(F))_{S}\longrightarrow R_{S}/(F).}$

Dabei geht explizit ein Element ${\displaystyle {}{\frac {\bar {r}}{\bar {s}}}}$ auf ${\displaystyle {}{\overline {({\frac {r}{s}})}}}$. Zur Surjektivität: Ein Element rechts wird repräsentiert durch ${\displaystyle {}r/s}$ mit ${\displaystyle {}s\in S}$, und das kommt von ${\displaystyle {}{\frac {\bar {r}}{\bar {s}}}}$ her. Zur Injektivität sei angenommen, dass ${\displaystyle {}{\frac {\bar {r}}{\bar {s}}}}$ auf ${\displaystyle {}0}$ geht. Dann ist ${\displaystyle {}r/s\in (F)R_{S}}$, also ${\displaystyle {}r/s=Fa/t}$ mit ${\displaystyle {}a\in R,\,t\in S}$. Die Gleichheit bedeutet zurückübersetzt nach ${\displaystyle {}R}$, dass

${\displaystyle {}tr=sFa\,}$

gilt. D.h. dass ${\displaystyle {}tr=0}$ in ${\displaystyle {}R/(F)}$ ist und wegen ${\displaystyle {}t\in S}$ folgt daraus, dass ${\displaystyle {}{\bar {r}}=0}$ in ${\displaystyle {}(R/(F))_{S}}$ ist.

Wir betrachten zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {Z} }$ den Monoidhomomorphismus

${\displaystyle \varphi _{n}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,b\longmapsto nb.}$

a) Beschreibe die induzierte Spektrumsabbildung zu einem Körper ${\displaystyle {}K}$.

b) Zeige, dass bei ${\displaystyle {}n\neq 0}$ und ${\displaystyle {}K}$ algebraisch abgeschlossen die Spektrumsabbildung surjektiv ist.

c) Wie viele Urbilder hat die Spektrumsabbildung bei ${\displaystyle {}n\neq 0}$ und ${\displaystyle {}K={\mathbb {C} }}$ in jedem Punkt?

a) Es ist

${\displaystyle {}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {Z} ]\right)}=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X,X^{-1}]\right)}=K^{\times }\,}$

und die Spektrumabbildung ist

${\displaystyle K^{\times }\longrightarrow K^{\times },\,x\longmapsto x^{n}.}$

b) Das Urbild zu ${\displaystyle {}y\in K^{\times }}$ ist

${\displaystyle {\left\{x\in K^{\times }\mid x^{n}=y\right\}}.}$

Bei ${\displaystyle {}K}$ algebraisch abgeschlossen und ${\displaystyle {}n>0}$ besitzt eine solche Gleichung stets eine Lösung in ${\displaystyle {}K}$, die bei ${\displaystyle {}y\neq 0}$ nicht ${\displaystyle {}0}$ sein kann. Bei ${\displaystyle {}n<0}$ kann man die Situation invertieren.

c) Die Anzahl der Urbilder ist stets gleich ${\displaystyle {}\vert {n}\vert }$. Aufgrund des Isomorphismus

${\displaystyle K^{\times }\longrightarrow K^{\times },\,x\longmapsto x^{-1},}$

kann man ${\displaystyle {}n}$ als positiv annehmen. Mehr als ${\displaystyle {}n}$ Lösungen kann es wegen Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) nicht geben. Es seien ${\displaystyle {}\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n}}$ die ${\displaystyle {}n}$-ten komplexen Einheitswurzeln. Wenn ${\displaystyle {}x^{n}=y}$ ist, so ist auch

${\displaystyle {}(\zeta x)^{n}=y\,}$

und somit gibt es die ${\displaystyle {}n}$ (verschiedenen, da ${\displaystyle {}x\neq 0}$) Lösungen ${\displaystyle {}\zeta _{1}x,\ldots ,\zeta _{n}x}$.

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten im Nullpunkt ${\displaystyle {}(0,0)}$ der ebenen algebraischen Kurve

${\displaystyle {}C=V{\left(Y^{4}+X^{3}+3XY^{2}+2X^{2}Y\right)}\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.}$

Die Multiplizität ist der Grad der homogenen Komponenten vom kleinsten Grad, also ${\displaystyle {}3}$. Zur Bestimmung der Tangenten muss man ${\displaystyle {}X^{3}+3XY^{2}+2X^{2}Y}$ in Linearfaktoren zerlegen. Es ist

${\displaystyle {}X^{3}+3XY^{2}+2X^{2}Y=X(X^{2}+3Y^{2}+2XY)\,.}$

Dabei ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}X^{2}+3Y^{2}+2XY&=(X+Y)^{2}-Y^{2}+3Y^{2}\\&=(X+Y)^{2}+2Y^{2}\\&=(X+Y+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }Y)(X+Y-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }Y).\end{aligned}}}$

Als Tangenten ergeben sich also ${\displaystyle {}X=0}$ (${\displaystyle {}Y}$-Achse) und ${\displaystyle {}X=-(1+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} })Y}$ und ${\displaystyle {}X=(-1+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} })Y}$.

Es sei ${\displaystyle {}e\in \mathbb {N} _{+}}$ und sei ${\displaystyle {}M:=\{0\}\cup \mathbb {N} _{\geq e}\subseteq \mathbb {N} }$.

1. Bestimme ${\displaystyle {}nM_{+}}$ für ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$.
2. Bestimme ${\displaystyle {}{\#\left(M\setminus nM_{+}\right)}}$.
3. Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und setze ${\displaystyle {}R=K[M]_{\mathfrak {m}}}$ mit ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(M_{+})\subseteq K[M]}$. Bestimme ${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(R/{\mathfrak {m}}^{n}\right)}}$.

1. Wir behaupten

   ${\displaystyle {}nM_{+}=\mathbb {N} _{\geq ne}\,.}$

   Die Zugehörigkeit ${\displaystyle {}k\in nM_{+}}$ bedeutet, dass es ${\displaystyle {}n}$ Elemente ${\displaystyle {}m_{1},\ldots ,m_{n}\in M_{+}=\mathbb {N} _{\geq e}}$ mit

   ${\displaystyle {}k=m_{1}+\cdots +m_{n}\,.}$

   Wegen ${\displaystyle {}n_{j}\geq e}$ ist ${\displaystyle {}k\geq ne}$. Wenn umgekehrt ${\displaystyle {}k\geq ne}$ gilt, so kann man

   ${\displaystyle {}k=(n-1)e+m\,}$

   mit ${\displaystyle {}m\geq e}$ schreiben, also ist ${\displaystyle {}k\in nM_{+}}$.

2. Es ist

   ${\displaystyle {}M\setminus nM_{+}=M\setminus \mathbb {N} _{\geq ne}=\{0,1,\ldots ,ne-1\}\,,}$

   diese Menge besitzt somit ${\displaystyle {}ne}$ Elemente.

3. Wegen

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}K[M]_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{n}&\cong K[M]/{\mathfrak {m}}^{n}\\&=K[M]/(nM_{+})\\&=K[M]/(\mathbb {N} _{\geq en})\\&=K\langle T^{m},\,0\leq m<en\rangle \end{aligned}}}$

   ist die ${\displaystyle {}K}$-Dimension von ${\displaystyle {}K[M]_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{n}}$ ebenfalls gleich ${\displaystyle {}ne}$.

Beweise den Satz über Einheiten im Potenzreihenring ${\displaystyle {}K[\![T]\!]}$.

Die angegebene Bedingung ist notwendig, da die Abbildung

${\displaystyle K[\![T]\!]\longrightarrow K,\,F\longmapsto a_{0},}$

die eine Potenzreihe ${\displaystyle {}F}$ auf ihren konstanten Term schickt, ein Ringhomomorphismus ist, siehe Aufgabe 24.8 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)). Für die Umkehrung müssen wir eine Potenzreihe ${\displaystyle {}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}}$ mit

${\displaystyle {}FG={\left({\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}=1\,}$

angeben. Für ${\displaystyle {}b_{0}}$ ergibt sich daraus die Bedingung ${\displaystyle {}a_{0}b_{0}=1}$, die wegen ${\displaystyle {}a_{0}\neq 0}$ eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich ${\displaystyle {}b_{0}=a_{0}^{-1}}$. Nehmen wir induktiv an, dass die Koeffizienten ${\displaystyle {}b_{j}}$ für ${\displaystyle {}j<n}$ schon konstruiert seien, und zwar derart, dass sämtliche Koeffizienten ${\displaystyle {}c_{k}}$, ${\displaystyle {}1\leq k<n}$, der Produktreihe ${\displaystyle {}FG}$ gleich ${\displaystyle {}0}$ sind. Für den ${\displaystyle {}n}$-ten Koeffizienten ergibt sich die Bedingung

${\displaystyle {}0=c_{n}=a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots +a_{n-1}b_{1}+a_{n}b_{0}\,.}$

Dabei sind bis auf ${\displaystyle {}b_{n}}$ alle Werte schon festgelegt, und wegen ${\displaystyle {}a_{0}\neq 0}$ ergibt sich eine eindeutige Lösung für ${\displaystyle {}b_{n}}$.

Beweise den Satz von Bezout.

Der Durchschnitt ${\displaystyle {}C\cap D}$ besteht nur aus endlich vielen Punkten. Wir können daher nach Aufgabe 27.21 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)) annehmen, dass alle Schnittpunkte in ${\displaystyle {}{\mathbb {A} }_{K}^{2}=D_{+}(Z)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}}$ liegen. Es seien ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ und ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ die inhomogenen Polynome aus ${\displaystyle {}K[X,Y]}$, die die affinen Kurven ${\displaystyle C\cap {\mathbb {A} }_{K}^{2}}$ und ${\displaystyle D\cap {\mathbb {A} }_{K}^{2}}$ beschreiben. Damit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{P\in {\mathbb {P} }_{K}^{2}}\operatorname {mult} _{P}(F,G)&=\sum _{P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}}\operatorname {mult} _{P}({\tilde {F}},{\tilde {G}})\\&=\sum _{P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}}\dim _{K}{\left(K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/({\tilde {F}},{\tilde {G}})\right)}\\&=\dim _{K}{\left(K[X,Y]/({\tilde {F}},{\tilde {G}})\right)}.\end{aligned}}}$

Dabei beruht die letzte Gleichung auf Satz 26.11 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)). Wir wollen die ${\displaystyle {}K}$-Dimension dieses inhomogenen Restklassenrings mit der Dimension einer Stufe des homogenen Restklassenrings ${\displaystyle {}(K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell }}$ in Verbindung bringen. Von letzterer wissen wir aufgrund von Lemma 30.1 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)), dass sie für ${\displaystyle {}\ell }$ hinreichend groß gleich ${\displaystyle {}mn}$ ist.

Wir wählen eine Basis ${\displaystyle {}V_{1},\ldots ,V_{mn}}$ von ${\displaystyle {}(K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell }}$ (${\displaystyle {}\ell }$ hinreichend groß und fixiert) und behaupten, dass die Dehomogenisierungen

${\displaystyle {}v_{i}=V_{i}(X,Y,1)\,}$

eine Basis von ${\displaystyle {}K[X,Y]/({\tilde {F}},{\tilde {G}})}$ bilden. Dazu sei ${\displaystyle {}g\in K[X,Y]}$ beliebig vorgegeben mit Homogenisierung ${\displaystyle {}Q\in K[X,Y,Z]}$ vom Grad ${\displaystyle {}d}$. Es sei ${\displaystyle {}e}$ so gewählt, dass ${\displaystyle {}d+e\geq \ell }$ ist. Aufgrund von Lemma 30.2 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)) sind die Abbildungen (${\displaystyle {}\lambda \geq 1}$)

${\displaystyle (K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell }\longrightarrow (K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell +\lambda },\,H\longmapsto Z^{\lambda }H,}$

injektiv und daher auch bijektiv, da die Dimensionen übereinstimmen. Insbesondere bilden die ${\displaystyle {}Z^{\lambda }V_{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,mn}$, eine Basis von ${\displaystyle {}{\left(K[X,Y,Z]/(F,G)\right)}_{\ell +\lambda }}$. Es gibt dann also eine Darstellung ${\displaystyle {}Z^{e}Q=\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{d+e-\ell }V_{i}}$. Durch Dehomogenisieren ergibt sich daraus sofort eine Darstellung für ${\displaystyle {}q}$.

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{mn}a_{i}v_{i}=0\,}$

angenommen, sodass in ${\displaystyle {}K[X,Y]}$ eine Gleichung

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{mn}a_{i}v_{i}={\tilde {A}}{\tilde {F}}+{\tilde {B}}{\tilde {G}}\,}$

vorliegt. Dabei setzen wir ${\displaystyle {}{\tilde {A}},{\tilde {B}}}$ als Dehomogenisierung von zwei homogenen Polynomen ${\displaystyle {}A,B\in K[X,Y,Z]}$ an. Somit liegen zwei homogene Ausdrücke - nämlich ${\displaystyle \sum _{i=1}^{mn}a_{i}V_{i}}$ und ${\displaystyle AF+BG}$ - vor, deren Dehomogenisierungen übereinstimmen. Durch geeignete Wahl von ${\displaystyle {}r,s,t}$ können wir annehmen, dass ${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{r}V_{i}}$ und ${\displaystyle {}Z^{s}AF+Z^{t}BG}$ (homogen sind und) den gleichen Grad besitzen. Nach Aufgabe 6.16 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)) ist dann bereits

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{r}V_{i}=Z^{s}AF+Z^{t}BG\,.}$

Diese Gleichung bedeutet ${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{r}V_{i}=0}$ in ${\displaystyle {}K[X,Y,Z]/(F,G)}$, woraus sich ${\displaystyle {}a_{i}=0}$ ergibt.