Kurs:Elementare Algebra/22/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Imaginärteil einer komplexen Zahl ${\displaystyle {}z}$.
2. Eine zyklische Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
3. Eine ${\displaystyle {}R}$-Algebra ${\displaystyle {}A}$, wobei ${\displaystyle {}R}$ einen kommutativen Ring bezeichnet.
4. Eine Nebenklasse zu einem Ideal ${\displaystyle {}I\subseteq R}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
5. Das Minimalpolynom eines Elementes ${\displaystyle {}x\in L}$ in einer endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
6. Eine konstruierbare Zahl ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Norm im Ring der Gaußschen Zahlen.
2. Der Satz über die Faktorisierung für einen Ringhomomorphismus.
3. Der Satz über das Minimalpolynom und Irreduzibilität bei einer Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.

Wir betrachten die Verknüpfung

${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(a,b)\longmapsto a*b,}$

die einem Paar ${\displaystyle {}(a,b)}$ diejenige Zahl zuordnet, die entsteht, wenn man im Zehnersystem die Zahl ${\displaystyle {}b}$ ${\displaystyle {}a}$-fach hintereinander schreibt.

1. Bestimme ${\displaystyle {}7*6}$.
2. Bestimme ${\displaystyle {}4*13}$.
3. Ist die Verknüpfung kommutativ?
4. Ist die Verknüpfung assoziativ?
5. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?

1. Es ist

   ${\displaystyle {}7*6=6666666\,.}$

2. Es ist

   ${\displaystyle {}4*13=13131313\,.}$

3. Die Verknüpfung ist nicht kommutativ, es ist ${\displaystyle {}2*1=11}$, aber ${\displaystyle {}1*2=2}$.
4. Die Verknüpfung ist nicht assoziativ, es ist ${\displaystyle {}2*(2*2)=2*(22)=2222}$, aber ${\displaystyle {}(2*2)*2=22*2}$ besteht aus ${\displaystyle {}22}$ Zweien.
5. Die Verknüpfung besitzt kein neutrales Element. Von links ist zwar ${\displaystyle {}1*b=b}$, daher ist ${\displaystyle {}1}$ der einzige Kandidat, von rechts ist aber im Allgemeinen (beispielsweise für ${\displaystyle {}b=2}$)

   ${\displaystyle {}b*1\neq b\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}{\left(G,\cdot ,1\right)}}$ eine Gruppe. Es seien ${\displaystyle {}a,b,c\in G}$ Elemente mit

${\displaystyle {}a\cdot b\cdot c=1\,.}$

1. Was ist das Inverse von ${\displaystyle {}a}$?
2. Was ist das Inverse von ${\displaystyle {}a\cdot b}$?
3. Was ist das Inverse von ${\displaystyle {}c}$?
4. Was ist das Inverse von ${\displaystyle {}a\cdot b\cdot c}$?

1. Das Inverse von ${\displaystyle {}a}$ ist ${\displaystyle {}b\cdot c}$.
2. Das Inverse von ${\displaystyle {}a\cdot b}$ ist ${\displaystyle {}c}$.
3. Das Inverse von ${\displaystyle {}c}$ ist ${\displaystyle {}a\cdot b}$.
4. Das Inverse von ${\displaystyle {}a\cdot b\cdot c}$ ist ${\displaystyle {}1}$.

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen kommutativen Ring.

Wir machen eine Doppelinduktion nach ${\displaystyle {}r}$ und nach ${\displaystyle {}s}$. D.h. wir beweisen die Aussage für jedes feste ${\displaystyle {}r}$ durch Induktion nach ${\displaystyle {}s}$ (innere Induktion) und erhöhen dann in einem eigenen Induktionsdurchgang ${\displaystyle {}r}$ (äußere Induktion). Bei ${\displaystyle {}r=0}$ ist nichts zu zeigen, da dann die Summen links und rechts leer sind, also gleich ${\displaystyle {}0}$. Es sei also ${\displaystyle {}r=1}$, sodass der linke Faktor einfach eine fixierte Zahl ${\displaystyle {}a=a_{1}}$ ist. Wir wollen die Aussage in dieser Situation für beliebiges ${\displaystyle {}s}$ zeigen. Bei ${\displaystyle {}s=0,1}$ ist die Aussage klar. Es sei die Aussage nun für ein

${\displaystyle {}s\geq 2\,}$

schon bewiesen. Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}a\cdot {\left(b_{1}+\cdots +b_{s}+b_{s+1}\right)}&=a\cdot {\left({\left(b_{1}+\cdots +b_{s}\right)}+b_{s+1}\right)}\\&=a\cdot {\left(b_{1}+\cdots +b_{s}\right)}+ab_{s+1}\\&={\left(\sum _{k=1}^{s}ab_{k}\right)}+ab_{s+1}\\&=\sum _{k=1}^{s+1}ab_{k}\end{aligned}}}$

nach dem Distributivgesetz und der Induktionsvoraussetzung.

Es sei die Aussage nun für ein festes ${\displaystyle {}r}$ und jedes ${\displaystyle {}s}$ bewiesen. Dann ist wieder mit dem Distributivgesetz und der Induktionsvoraussetzung

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{r+1}a_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}&={\left({\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}+a_{r+1}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}\\&={\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}+a_{r+1}\cdot {\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}\\&=\sum _{1\leq i\leq r,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}+\sum _{k=1}^{s}a_{r+1}b_{k}\\&=\sum _{1\leq i\leq r+1,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}.\end{aligned}}}$

Berechne das Quadrat des Polynoms

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}.}$

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}\right)}^{2}&={\left(1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}\right)}\cdot {\left(1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}\right)}\\&=1+{\frac {1}{4}}x^{2}+{\frac {1}{64}}x^{4}+x-{\frac {1}{4}}x^{2}-{\frac {1}{8}}x^{3}\\&=1+x-{\frac {1}{8}}x^{3}+{\frac {1}{64}}x^{4}.\end{aligned}}}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$ und sei ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ${\displaystyle {}T}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}P}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}T}$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors ${\displaystyle {}X-a}$ in ${\displaystyle {}T}$ durch seine Vielfachheit in ${\displaystyle {}P}$ beschränkt ist.

Wir arbeiten mit normierten Polynomen und schreiben

${\displaystyle {}P=(X-a_{1})^{n_{1}}(X-a_{2})^{n_{2}}\cdots (X-a_{r})^{n_{r}}\,}$

mit verschiedenen ${\displaystyle {}a_{i}}$ und führen Induktion über den Grad ${\displaystyle {}d=\sum _{j=1}^{r}n_{j}}$ von ${\displaystyle {}P}$. Die Teilbarkeitsbeziehung bedeutet die Existenz eines Polynoms ${\displaystyle {}Q}$ mit

${\displaystyle {}P=QT\,.}$

Damit ist insbesondere

${\displaystyle {}T(a_{1})\cdot Q(a_{1})=P(a_{1})=0\,.}$

Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper gilt ${\displaystyle {}T(a_{1})=0}$ oder ${\displaystyle {}Q(a_{1})=0}$. Nach Lemma 5.5 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) bedeutet dies, dass ${\displaystyle {}T}$ oder ${\displaystyle {}Q}$ von ${\displaystyle {}X-a_{1}}$ geteilt wird. Im zweiten Fall schreiben wir

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(X-a_{1})^{n_{1}}(X-a_{2})^{n_{2}}\cdots (X-a_{r})^{n_{r}}&=(X-a_{1})(X-a_{1})^{n_{1}-1}(X-a_{2})^{n_{2}}\cdots (X-a_{r})^{n_{r}}\\&=TQ'(X-a_{1}).\end{aligned}}}$

Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft im Polynomring folgt daraus

${\displaystyle {}P'=(X-a_{1})^{n_{1}-1}(X-a_{2})^{n_{2}}\cdots (X-a_{r})^{n_{r}}=TQ'\,}$

und wir können auf ${\displaystyle {}P'}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden. Im ersten Fall ist

${\displaystyle {}T=T'(X-a_{1})\,,}$

woraus sich

${\displaystyle {}(X-a_{1})(X-a_{1})^{n_{1}-1}(X-a_{2})^{n_{2}}\cdots (X-a_{r})^{n_{r}}=(X-a_{1})T'Q\,}$

und somit

${\displaystyle {}P'=(X-a_{1})^{n_{1}-1}(X-a_{2})^{n_{2}}\cdots (X-a_{r})^{n_{r}}=T'Q\,}$

ergibt. Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf ${\displaystyle {}P'}$ bedeutet, dass ${\displaystyle {}T'}$ in Linearfaktoren zerfällt und dass nur Linearfaktoren aus ${\displaystyle {}P'}$ mit einer Vielfachheit vorkommen, die durch die Vielfachheit von ${\displaystyle {}P'}$ beschränkt ist. Da die Vielfachheiten zu ${\displaystyle {}X-a_{j}}$ in ${\displaystyle {}P}$ und in ${\displaystyle {}P'}$ für ${\displaystyle {}j\geq 2}$ übereinstimmen und die Vielfachheit von ${\displaystyle {}X-a_{1}}$ sich um ${\displaystyle {}1}$ reduziert, dies aber auch beim Übergang von ${\displaystyle {}T}$ nach ${\displaystyle {}T'}$ zutrifft, folgt die Aussage.

Beweise das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich.

Es sei ${\displaystyle {}I=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element ${\displaystyle {}d}$ mit ${\displaystyle {}I=(d)}$. Wir behaupten, dass ${\displaystyle {}d}$ ein größter gemeinsamer Teiler der ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ist. Die Inklusionen ${\displaystyle {}(a_{i})\subseteq I=(d)}$ zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Es sei ${\displaystyle {}e}$ ein weiterer gemeinsamer Teiler der ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{n}}$. Dann ist wieder ${\displaystyle {}(d)=I\subseteq (e)}$, was wiederum ${\displaystyle {}e{|}d}$ bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus ${\displaystyle {}d\in I=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$.

Im teilerfremden Fall ist ${\displaystyle {}I=(a_{1},\ldots ,a_{n})=R}$.

Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$.

Bei ${\displaystyle {}n=0}$ ist der Restklassenring gleich ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ selbst und kein Körper. Bei ${\displaystyle {}n=1}$ besteht der Restklassenring aus nur einem Element und es ist ${\displaystyle {}{\overline {0}}\,={\overline {1}}\,}$. Dies ist bei einem Körper explizit ausgeschlossen, und ${\displaystyle {}1}$ ist keine Primzahl. Es sei also von nun an ${\displaystyle {}n\geq 2}$. Wenn ${\displaystyle {}n}$ keine Primzahl ist, so gibt es eine Darstellung

${\displaystyle {}n=rs\,}$

mit kleineren Zahlen

${\displaystyle {}1<r,s<n\,.}$

Im Restklassenring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ bedeutet dies, dass die Restklassen ${\displaystyle {}{\overline {r}}\,}$ und ${\displaystyle {}{\overline {s}}\,}$ nicht ${\displaystyle {}0}$ sind, dass aber ihr Produkt

${\displaystyle {}{\overline {r}}\,{\overline {s}}\,={\overline {rs}}\,={\overline {n}}\,=0\,}$

ist. Das kann nach Satz . (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) in einem Körper nicht sein.

Sei nun ${\displaystyle {}n}$ eine Primzahl. Wir müssen zeigen, dass jede von ${\displaystyle {}0}$ verschiedene Restklasse ${\displaystyle {}{\overline {r}}\,}$, ${\displaystyle {}0<r<n}$, ein inverses Element besitzt. Da ${\displaystyle {}n}$ prim ist, sind ${\displaystyle {}r}$ und ${\displaystyle {}n}$ teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen ${\displaystyle {}a,b}$ mit

${\displaystyle {}ar+bn=1\,.}$

Dies führt im Restklassenring zur Identität

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\overline {1}}\,&={\overline {ar+bn}}\,\\&={\overline {a}}\,{\overline {r}}\,+{\overline {b}}\,{\overline {n}}\,\\&={\overline {a}}\,{\overline {r}}\,,\end{aligned}}}$

die besagt, dass ${\displaystyle {}{\overline {r}}\,}$ und ${\displaystyle {}{\overline {a}}\,}$ invers zueinander sind.

Bestimme das inverse Element zu ${\displaystyle {}{\overline {37}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(89)}$.

Der euklidische Algorithmus liefert

${\displaystyle {}89=2\cdot 37+15\,,}$

${\displaystyle {}37=2\cdot 15+7\,,}$

${\displaystyle {}15=2\cdot 7+1\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}1&=15-2\cdot 7\\&=15-2\cdot (37-2\cdot 15)\\&=5\cdot 15-2\cdot 37\\&=5\cdot (89-2\cdot 37)-2\cdot 37\\&=5\cdot 89-12\cdot 37.\end{aligned}}}$

Daher ist

${\displaystyle {}-12=77\,}$

das inverse Element zu ${\displaystyle {}37}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(89)}$.

Sind die reellen Zahlen ${\displaystyle {}1,\,{\sqrt {2}},\,{\sqrt {3}}}$ linear unabhängig über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$?

Es sei ${\displaystyle {}W}$ ein ${\displaystyle {}n}$-dimensionaler ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum (${\displaystyle {}K}$ ein Körper) und seien ${\displaystyle {}U,V\subseteq W}$ Untervektorräume der Dimension ${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(U\right)}=r}$ und ${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(V\right)}=s}$. Es gelte ${\displaystyle {}r+s>n}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}U\cap V\neq 0}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{r}}$ eine Basis von ${\displaystyle {}U}$ und ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{s}}$ eine Basis von ${\displaystyle {}V}$. Wir betrachten die Familie der Vektoren

${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{r},v_{1},\ldots ,v_{s}.}$

Wegen ${\displaystyle {}r+s>n}$ kann diese Familie nicht linear unabhängig sein, da es sonst einen ${\displaystyle {}(r+s)}$-dimensionalen Untervektorraum von ${\displaystyle {}W}$ geben würde. Also gibt es Koeffizienten ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}}$, die nicht alle ${\displaystyle {}0}$ sind, mit

${\displaystyle {}a_{1}u_{1}+\cdots +a_{r}u_{r}=b_{1}v_{1}+\cdots +b_{s}v_{s}\,.}$

Dieser Vektor gehört zu ${\displaystyle {}U\cap V}$. Er ist nicht ${\displaystyle {}0}$, da andernfalls beidseitig alle Koeffizienten ${\displaystyle {}0}$ sein müssten.

Es sei

${\displaystyle {}K=\mathbb {R} [X]/{\left(X^{2}+3X+5\right)}\,}$

und

${\displaystyle {}L=\mathbb {R} [Y]/{\left(Y^{2}+4Y+7\right)}\,.}$

Stifte einen expliziten ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$- Algebraisomorphismus

${\displaystyle K\longrightarrow L.}$

Wir setzen die beiden Ringe zueinander in Bezug, indem wir zeigen, dass beide Ringe isomorph zu ${\displaystyle {}\mathbb {C} }$ sind (daher sind sie auch Körper). Das definierende Polynom zu ${\displaystyle {}K}$ schreiben wir als

${\displaystyle {}X^{2}+3X+5={\left(X+{\frac {3}{2}}\right)}^{2}+5-{\frac {9}{4}}={\left(X+{\frac {3}{2}}\right)}^{2}+{\frac {11}{4}}\,.}$

Das Element (die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$ in ${\displaystyle {}K}$ sei ${\displaystyle {}x}$) ${\displaystyle {}u=x+{\frac {3}{2}}}$ besitzt also die Eigenschaft, dass sein Quadrat gleich ${\displaystyle {}-{\frac {11}{4}}}$ ist, und dies bedeutet, dass das Quadrat von ${\displaystyle {}{\frac {2}{\sqrt {11}}}u}$ gleich ${\displaystyle {}-1}$ ist (d.h. dass ${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {11}}}u}$ in ${\displaystyle {}K}$ die Rolle von ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$ spielt). Das definierende Polynom zu ${\displaystyle {}L}$ schreiben wir als

${\displaystyle {}Y^{2}+4Y+7={\left(Y+2\right)}^{2}+7-4={\left(Y+2\right)}^{2}+3\,.}$

Das Element ${\displaystyle {}v=y+2}$ besitzt also die Eigenschaft, dass sein Quadrat gleich ${\displaystyle {}-3}$ ist, und dies bedeutet, dass das Quadrat von ${\displaystyle {}{\frac {1}{\sqrt {3}}}v}$ gleich ${\displaystyle {}-1}$ ist.

Mit dem Ansatz, dass sich die beiden Elemente, deren Quadrat gleich ${\displaystyle {}-1}$ ist, entsprechen sollten, gelangt man zur Korrespondenz

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x&=u-{\frac {3}{2}}\\&\sim {\frac {\sqrt {11}}{2}}{\mathrm {i} }-{\frac {3}{2}}\\&\sim {\frac {\sqrt {11}}{2}}{\frac {1}{\sqrt {3}}}v-{\frac {3}{2}}\\&={\frac {\sqrt {11}}{2{\sqrt {3}}}}{\left(y+2\right)}-{\frac {3}{2}}\\&={\frac {\sqrt {11}}{2{\sqrt {3}}}}y+{\frac {\sqrt {11}}{\sqrt {3}}}-{\frac {3}{2}}\\&={\frac {\sqrt {11}}{2{\sqrt {3}}}}y+{\frac {2{\sqrt {11}}-3{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {3}}}}.\end{aligned}}}$

Deshalb gehen wir vom Einsetzungshomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} [X]\longrightarrow \mathbb {R} [Y]/{\left(Y^{2}+4Y+7\right)},\,X\longmapsto {\frac {\sqrt {11}}{2{\sqrt {3}}}}y+{\frac {2{\sqrt {11}}-3{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {3}}}},}$

aus. Dieser ist surjektiv, da ${\displaystyle {}y}$ getroffen wird. Der Kern muss aufgrund der bisherigen Überlegungen gleich ${\displaystyle {}{\left(X^{2}+3X+5\right)}}$ sein. Dies kann man auch direkt aus

${\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\varphi {\left(X^{2}+3X+5\right)}\\&=\left({\frac {{\sqrt {11}}y+2{\sqrt {11}}-3{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {3}}}}\right)^{2}+3{\left({\frac {{\sqrt {11}}y+2{\sqrt {11}}-3{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {3}}}}\right)}+5\\&={\frac {11y^{2}+{\left(44-6{\sqrt {33}}\right)}y+{\left(2{\sqrt {11}}-3{\sqrt {3}}\right)}^{2}+6{\sqrt {33}}y+12{\sqrt {33}}-54+60}{12}}\\&={\frac {11y^{2}+44y+44+27-12{\sqrt {33}}+12{\sqrt {33}}+6}{12}}\\&={\frac {11y^{2}+44y+77}{12}}\\&={\frac {11}{12}}{\left(y^{2}+4y+7\right)}\\&=0\,\end{aligned}}}$

ablesen und daraus, dass dies ein irreduzibles Polynom ist. Der Isomorphissatz ergibt die Isomorphie

${\displaystyle {}K=\mathbb {R} [X]/{\left(X^{2}+3X+5\right)}\cong \mathbb {R} [Y]/{\left(Y^{2}+4Y+7\right)}=L\,}$

a) Skizziere die prinzipiellen Möglichkeiten, wie sich eine Gerade und ein Kreis in der Ebene zueinander verhalten können.

b) Mit welchem algebraischen Sachverhalt besteht ein Zusammenhang?

c) Begründe diesen Zusammenhang.

a)

b) Es besteht ein direkter Zusammenhang zu der Frage, ob eine gewisse quadratische Gleichung in einer Variablen keine, eine oder zwei Lösungen besitzt.

c) Die Kreisgleichung besitzt die Form

${\displaystyle {}x^{2}+ax+y^{2}+cy+d=0\,}$

und die Geradengleichung besitzt die Form

${\displaystyle {}rx+sy+t=0\,.}$

Die Kreisgleichung kann man nach ${\displaystyle {}x}$ (bei ${\displaystyle {}r\neq 0}$, andernfalls nach ${\displaystyle {}y}$) auflösen und erhält eine Gleichung der Form

${\displaystyle {}x=uy+v\,.}$

Wenn man in der Kreisgleichung ${\displaystyle {}x}$ durch ${\displaystyle {}uy+v}$ ersetzt, so erhält man eine quadratische Gleichung in der einzigen Variablen ${\displaystyle {}y}$. Deren Lösungen ergeben die ${\displaystyle {}y}$-Koordinaten der Schnittpunkte von Kreis und Gerade.

Beweise den Satz, dass man zu einer positiven reellen Zahl ihre Quadratwurzel mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Der Punkt ${\displaystyle {}a}$ sei auf einer Geraden ${\displaystyle {}G}$ gegeben, auf der auch Punkte ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}1}$ markiert seien. Wir zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}0}$ durch ${\displaystyle {}1}$ und markieren den zweiten Schnittpunkt dieses Kreises mit ${\displaystyle {}G}$ als ${\displaystyle {}-1}$. Wir halbieren die Strecke zwischen ${\displaystyle {}-1}$ und ${\displaystyle {}a}$ gemäß Lemma 25.6 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) und erhalten den konstruierbaren Punkt ${\displaystyle {}M={\frac {a-1}{2}}\in G}$. Der Abstand von ${\displaystyle {}M}$ zu ${\displaystyle {}a}$ als auch zu ${\displaystyle {}-1}$ ist dann ${\displaystyle {}{\frac {a+1}{2}}}$. Wir zeichnen den Kreis mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}M}$ und Radius ${\displaystyle {}{\frac {a+1}{2}}}$ und markieren einen der Schnittpunkte des Kreises mit der zu ${\displaystyle {}G}$ senkrechten Geraden ${\displaystyle {}H}$ durch ${\displaystyle {}0}$ als ${\displaystyle {}x}$. Wir wenden den Satz des Pythagoras auf das Dreieck mit den Ecken ${\displaystyle {}0,x,M}$ an. Daraus ergibt sich

${\displaystyle {}x^{2}={\left({\frac {a+1}{2}}\right)}^{2}-{\left({\frac {a-1}{2}}\right)}^{2}={\frac {a^{2}+2a+1-(a^{2}-2a+1)}{4}}={\frac {4a}{4}}=a\,.}$

Also repräsentiert (der Abstand von ${\displaystyle {}0}$ zu) ${\displaystyle {}x}$ die Quadratwurzel aus ${\displaystyle {}a}$.

Beschreibe verschiedene intellektuelle Entwicklungsstufen, wie man den Raum verstehen kann.