Kurs:Lineare Algebra/Teil II/19/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Standardskalarprodukt auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$.
2. Eine eigentliche Isometrie

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

   auf einem euklidischen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.

3. Ein Minkowski-Raum.
4. Ein Normalteiler ${\displaystyle {}N}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
5. Eine beschränkte Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}(M,d)}$.
6. Die aus einer ${\displaystyle {}K}$- linearen Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

   durch einen Körperwechsel ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ gewonnene ${\displaystyle {}L}$-lineare Abbildung.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Kosinussatz.
2. Der Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen.
3. Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein Vektorraum über ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ mit einem Skalarprodukt ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ und der zugehörigen Norm ${\displaystyle {}\Vert {-}\Vert }$. Zeige, dass die Beziehung

${\displaystyle {}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,}$

gilt.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}&=\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,v\right\rangle \\&=2\left\langle v,w\right\rangle .\end{aligned}}}$

Division durch ${\displaystyle {}2}$ ergibt die Behauptung.

Es sei

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}\,}$

eine ebene Achsenspiegelung. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\end{pmatrix}}}$ ein normierter Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}1}$ von ${\displaystyle {}M}$ ist. Verwende die Verdoppelungsformeln

${\displaystyle {}\sin \left(2\beta \right)=2\sin \beta \cos \beta \,}$

und

${\displaystyle {}\cos \left(2\beta \right)=2\cos ^{2}\beta -1\,.}$

Mit ${\displaystyle {}\beta ={\frac {\alpha }{2}}}$ gilt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\cos 2\beta &\sin 2\beta \\\sin 2\beta &-\cos 2\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}2\cos ^{2}\beta -1&2\sin \beta \cos \beta \\2\sin \beta \cos \beta &-2\cos ^{2}\beta +1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\left(2\cos ^{2}\beta -1\right)}\cos \beta +2\sin \beta \cos \beta \sin \beta \\2\sin \beta \cos \beta \cos \beta +{\left(-2\cos ^{2}\beta +1\right)}\sin \beta \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\left(2\cos ^{2}\beta +2\sin ^{2}\beta -1\right)}\cos \beta \\{\left(2\cos ^{2}\beta -2\cos ^{2}\beta +1\right)}\sin \beta \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \beta \\\sin \beta \end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Als Punkt des Einheitskreises ist der Vektor normiert.

Zeige, dass die Gruppe der räumlichen Drehungen nicht kommutativ ist.

Die beiden Matrizen ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$ sind orthogonal und besitzen Determinante ${\displaystyle {}1}$, sie beschreiben Raumdrehungen. Wegen

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,}$

ist die Gruppe der Raumdrehungen nicht kommutativ.

Es sei ${\displaystyle {}A=\{{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\}}$ der Ursprungspunkt des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ und ${\displaystyle {}B}$ der (euklidische) Kreis mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$ und Radius ${\displaystyle {}1}$.

a) Bestimme den Abstand zwischen den beiden Mengen ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$ bezüglich des euklidischen Abstandes und in welchen Punkten von ${\displaystyle {}B}$ dieser Abstand angenommen wird.

b) Bestimme den Abstand zwischen den beiden Mengen ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$ bezüglich der Maximumsnorm und in welchen Punkten von ${\displaystyle {}B}$ dieser Abstand angenommen wird.

c) Bestimme den Abstand zwischen den beiden Mengen ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$ bezüglich der Summennorm und in welchen Punkten von ${\displaystyle {}B}$ dieser Abstand angenommen wird.

1. Der Abstand ist ${\displaystyle {}1}$, und er wird in jedem Punkt von ${\displaystyle {}B}$ abgenommen.
2. Es sei ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$ mit ${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=1}$ ein Punkt des Kreises ${\displaystyle {}B}$. Der Maximumsabstand von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$ zum Ursprungspunkt ist das Maximum von ${\displaystyle {}\vert {x}\vert }$ und ${\displaystyle {}\vert {y}\vert }$. Für

   ${\displaystyle {}x=y={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,}$

   ist dieser Abstand gleich ${\displaystyle {}{\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ und dies ist der Abstand zwischen ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$. Er wird in den vier Punkten ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}}$ angenommen.

3. Es sei ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$ mit ${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=1}$ ein Punkt des Kreises ${\displaystyle {}B}$. Der Summenabstand von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$ zum Ursprungspunkt ist

   ${\displaystyle {}\vert {x}\vert +\vert {y}\vert =\vert {x}\vert +{\sqrt {1-x^{2}}}\,.}$

   Wir behaupten, dass das Minimum über alle ${\displaystyle {}x}$ für ${\displaystyle {}x=0}$ oder ${\displaystyle {}x=\pm 1}$ angenommen wird, der Abstand zwischen ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$ ist also gleich ${\displaystyle {}1}$ und er wird in den vier Punkten ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}\pm 1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\\pm 1\end{pmatrix}}}$ angenommen. Für ${\displaystyle {}x}$ zwischen ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}1}$ ist nämlich

   ${\displaystyle {}x+{\sqrt {1-x^{2}}}\geq 1\,,}$

   da dies äquivalent zu

   ${\displaystyle {}{\sqrt {1-x^{2}}}\geq 1-x\,}$

   und zu

   ${\displaystyle {}1-x^{2}\geq {\left(1-x\right)}^{2}=1+x^{2}-2x\,}$

   bzw. zu

   ${\displaystyle {}x^{2}\leq x\,}$

   äquivalent ist, was in diesem Intervall stimmt.

Beweise den Höhensatz mit Hilfe des Kathetensatzes.

Es sei ${\displaystyle {}A,B,C}$ das rechtwinklige Dreieck mit dem rechten Winkel an ${\displaystyle {}C}$ und es sei ${\displaystyle {}D}$ der Höhenfußpunkt von ${\displaystyle {}C}$ auf der durch ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$ gegebenen Geraden. Wegen der Rechtwinkligkeit liegt dieser zwischen ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$, d.h. es ist

${\displaystyle {}d(A,B)=d(A,D)+d(D,B)\,.}$

Nach dem Satz des Pythagoras (angewendet auf das rechtwinklige Dreieck ${\displaystyle A,C,D}$ mit rechtem Winkel an ${\displaystyle {}D}$) und nach dem Kathetensatz ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}d(D,C)^{2}&=d(A,C)^{2}-d(A,D)^{2}\\&=d(A,D)\cdot d(A,B)-d(A,D)^{2}\\&=d(A,D)\cdot (d(A,B)-d(A,D))\\&=d(A,D)\cdot d(D,B),\end{aligned}}}$

und dies ist die Aussage des Höhensatzes.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum und ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ eine symmetrische Bilinearform auf ${\displaystyle {}V}$. Es sei ${\displaystyle {}U=Kv}$ ein eindimensionaler Untervektorraum von ${\displaystyle {}V}$, und sei ${\displaystyle {}V}$ endlichdimensional der Dimension ${\displaystyle {}n}$. Zeige, dass der Orthogonalraum zu ${\displaystyle {}U}$ die Dimension ${\displaystyle {}n}$ oder die Dimension ${\displaystyle {}n-1}$ besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}v_{1}=v,v_{2},\ldots ,v_{n}}$ eine Basis von ${\displaystyle {}V}$. Wir setzen

${\displaystyle {}a_{j}:=\left\langle v,v_{j}\right\rangle \,}$

für ${\displaystyle {}j\geq 1}$. Es sei ${\displaystyle {}J\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}}$ die Teilmenge derjenigen ${\displaystyle {}j}$ mit ${\displaystyle {}a_{j}=0}$. Der Untervektorraum ${\displaystyle {}\langle v_{j},\,j\in J\rangle }$ gehört zum Orthogonalraum. Wenn dies der Gesamtraum ist, so besitzt der Orthogonalraum die Dimension ${\displaystyle {}n}$. Es sei also

${\displaystyle {}J\neq {\{1,\ldots ,n\}}\,}$

und sei ${\displaystyle {}k\notin J}$. Für jedes ${\displaystyle {}m\notin J}$, ${\displaystyle {}m\neq k}$, ist dann

${\displaystyle {}w_{m}:={\frac {a_{k}}{a_{m}}}v_{m}-v_{k}\,}$

ein Vektor mit

${\displaystyle {}\left\langle v_{1},w_{m}\right\rangle =\left\langle v_{1},{\frac {a_{k}}{a_{m}}}v_{m}-v_{k}\right\rangle ={\frac {a_{k}}{a_{m}}}a_{m}-a_{k}=0\,.}$

Die Vektoren ${\displaystyle {}w_{m}}$, ${\displaystyle {}m\notin J}$, ${\displaystyle {}m\neq k}$, sind linear unabhängig, da sie zusammen mit ${\displaystyle {}v_{k}}$ eine Basis von ${\displaystyle {}\langle v_{i},\,i\notin J\rangle }$ bilden. Der Untervektorraum

${\displaystyle \langle v_{j},\,j\in J\rangle \oplus \langle w_{m},\,m\notin J,\,m\neq k\rangle }$

besitzt also die Dimension ${\displaystyle {}n-1}$ und gehört zum Orthogonalraum.

Zeige, dass für eine hermitesche Form ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ auf einem ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ die Werte ${\displaystyle {}\left\langle v,v\right\rangle }$ zu ${\displaystyle {}v\in V}$ stets reell sind.

Für eine hermitesche Form gilt

${\displaystyle {}\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\,.}$

Somit ist speziell

${\displaystyle {}\left\langle v,v\right\rangle ={\overline {\left\langle v,v\right\rangle }}\,}$

und damit ist ${\displaystyle {}\left\langle v,v\right\rangle }$ reell.

Eine komplexe Zahl ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$ definiert einen Endomorphismus ${\displaystyle {}\mu _{z}\colon x\rightarrow zx}$. Skizziere in der Ebene ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ diejenigen komplexen Zahlen mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle {}\mu _{z}}$ eine Isometrie, selbstadjungiert, eine selbstadjungierte Isometrie bzw. normal ist.

Es sei ${\displaystyle {}u\in \mathbb {R} }$ eine irrationale Zahl und sei

${\displaystyle {}G={\left\{a+bu\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.}$

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}G}$ eine Untergruppe von ${\displaystyle {}(\mathbb {R} ,0,+)}$ ist.

b) Zeige, dass es kein Element ${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} }$ mit

${\displaystyle {}G=\mathbb {Z} v={\left\{cv\mid c\in \mathbb {Z} \right\}}\,}$

gibt.

c) Zeige, dass es in ${\displaystyle {}G}$ kein positives minimales Element gibt.

a) Das Nullelement ergibt sich für ${\displaystyle {}a=b=0}$, wegen

${\displaystyle {}(a+bu)+(c+du)=(a+c)+(b+d)u\,}$

ist ${\displaystyle {}G}$ unter der Addition abgeschlossen und wegen

${\displaystyle {}-(a+bu)=-a-bu\,}$

gehören auch die Negativen dazu.

b) Nehmen wir

${\displaystyle {}G=\mathbb {Z} v\,}$

mit einem ${\displaystyle {}v\in \mathbb {R} }$ an. Dann ist einerseits

${\displaystyle {}v=a_{0}+b_{0}u\,}$

mit gewissen ${\displaystyle {}a_{0},b_{0}\in \mathbb {Z} }$ und andererseits

${\displaystyle {}u=rv=r(a_{0}+b_{0}u)\,}$

mit einem ${\displaystyle {}r\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle {}r\neq 0}$. Daraus folgt

${\displaystyle {}{\left(1-rb_{0}\right)}u=ra_{0}\,}$

Aus der Irrationalität von ${\displaystyle {}u}$ ergibt sich

${\displaystyle {}1-rb_{0}=0=a_{0}\,,}$

also

${\displaystyle {}r=b_{0}=\pm 1\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}v=\pm u\,,}$

also

${\displaystyle {}G=\mathbb {Z} u\,.}$

Dann wäre

${\displaystyle {}1=cu\,}$

mit einem ${\displaystyle {}c\in \mathbb {Z} }$ was wegen der Irrationalität von ${\displaystyle {}u}$ nicht möglich ist.

c) Nehmen wir an, es sei ${\displaystyle {}w>0}$ das minimale positive Element aus ${\displaystyle {}G}$. Wir behaupten, dass dann

${\displaystyle {}G=\mathbb {Z} w\,}$

wäre, was nach Teil (2) nicht sein kann. Es sei also

${\displaystyle {}g=a+bv>0\,}$

positiv (bei ${\displaystyle {}g}$ negativ geht man zum Negativen davon über). Dann ist nach Voraussetzung

${\displaystyle {}g\geq w\,.}$

Wir betrachten ${\displaystyle {}g-w,g-2w,g-3w,\ldots }$ bis wir zu einem ${\displaystyle {}g-kw}$ mit

${\displaystyle {}0\leq g-kw<w\,}$

angelangen. Wegen ${\displaystyle {}g-kw\in G}$ muss

${\displaystyle {}0=g-kw\,}$

sein, also ${\displaystyle {}g\in \mathbb {Z} w}$.

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H.}$

Wenn ${\displaystyle {}\varphi }$ injektiv ist, so darf auf jedes Element ${\displaystyle {}h\in H}$ höchstens ein Element aus ${\displaystyle {}G}$ gehen. Da ${\displaystyle {}e_{G}}$ auf ${\displaystyle {}e_{H}}$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf ${\displaystyle {}e_{H}}$ gehen, d.h. ${\displaystyle {}\ker \varphi =\{e_{G}\}}$. Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass ${\displaystyle {}g,{\tilde {g}}\in G}$ beide auf ${\displaystyle {}h\in H}$ geschickt werden. Dann ist

${\displaystyle {}\varphi {\left(g{\tilde {g}}^{-1}\right)}=\varphi (g)\varphi ({\tilde {g}})^{-1}=hh^{-1}=e_{H}\,}$

und damit ist ${\displaystyle {}g{\tilde {g}}^{-1}\in \operatorname {kern} \varphi }$, also ${\displaystyle {}g{\tilde {g}}^{-1}=e_{G}}$ nach Voraussetzung und damit ${\displaystyle {}g={\tilde {g}}}$.

Es seien ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ Mengen und sei ${\displaystyle {}f\colon M\rightarrow N}$ eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

${\displaystyle {}x\sim y\,,}$

wenn

${\displaystyle {}f(x)=f(y)\,,}$

eine Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle {}M}$ definiert wird.

Da der Funktionswert ${\displaystyle {}f(x)}$ eindeutig bestimmt und die Gleichheit reflexiv ist, gilt offenbar ${\displaystyle {}x\sim x}$. Wenn ${\displaystyle {}x\sim y}$ ist, so bedeutet das ${\displaystyle {}f(x)=f(y)}$ und wegen der Symmetrie der Gleichheit folgt ${\displaystyle {}f(y)=f(x)}$, was wiederum ${\displaystyle {}y\sim x}$ bedeutet. Wenn ${\displaystyle {}x\sim y}$ und ${\displaystyle {}y\sim z}$ ist, so bedeutet dies einerseits ${\displaystyle {}f(x)=f(y)}$ und andererseits ${\displaystyle {}f(y)=f(z)}$. Wegen der Transitivität der Gleichheit folgt ${\displaystyle {}f(x)=f(z)}$, was ${\displaystyle {}x\sim z}$ bedeutet.

Es sei ${\displaystyle {}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )}$ die eigentliche Symmetriegruppe des achsenparallelen Würfels. Man gebe explizite (in Matrixbeschreibung) innere Automorphismen der Würfelgruppe an, die die folgenden Isotropiegruppen zu Halbachsen ineinander überführen. Welche Matrizen entsprechen dabei welchen Matrizen?

a) Die Isotropiegruppe zur positiven ${\displaystyle {}x}$-Achse und zur positiven ${\displaystyle {}z}$-Achse.

b) Die Isotropiegruppe zur Raumdiagonalen ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}}$ und zur Raumdiagonalen ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}}$.

c) Die Isotropiegruppe zur Kantenmittelpunktsachse ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}}$ und zur Kantenmittelpunktsachse ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}}$.

a) Man braucht (im Sinne von Fakt *****) eine Würfelbewegung, die die positive ${\displaystyle {}x}$-Achse in die positive ${\displaystyle {}z}$-Achse überführt. Das wird durch die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$

erreicht (Viertelderehung um die ${\displaystyle {}y}$-Achse). Der zugehörige innere Automorphismus ist

${\displaystyle G\longrightarrow G,\,M\longmapsto {\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}M{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}M{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}},}$

und dieser führt die Isotropiegruppe zur positiven ${\displaystyle {}x}$-Achse in die Isotropiegruppe zur positiven ${\displaystyle {}z}$-Achse über. Unter dieser Abbildung wird

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

und

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

zugeordnet.

b) Die Matrix ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}}$ (Vierteldrehung um die ${\displaystyle {}x}$-Achse) bildet ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}}$ auf ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}}$ ab. Der zugehörige innere Automorphismus ist

${\displaystyle G\longrightarrow G,\,M\longmapsto {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}M{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}},}$

Unter dieser Abbildung werden die Isotropiegruppen über

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}}}$

und

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}}}$

ineinander überführt.

c) Die Matrix ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$ (Halbdrehung um die ${\displaystyle {}x}$-Achse) bildet ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}}$ auf ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}}$ ab. Der zugehörige innere Automorphismus ist

${\displaystyle G\longrightarrow G,\,M\longmapsto {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}M{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},}$

Unter dieser Abbildung werden die Isotropiegruppen über

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

und

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$

ineinander überführt.

Der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ sei mit der euklidischen Norm versehen, wir betrachten die zugehörige Maximumsnorm auf dem Homomorphismenraum

${\displaystyle {}\operatorname {Hom} {\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}\right)}\cong \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {R} )\,.}$

1. Zeige, dass eine Matrix ${\displaystyle {}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {R} )}$ über die Zuordnung

   ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto \mid \mid \!M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }^{2}}$

   eine quadratische Form auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ definiert.

2. Es sei ${\displaystyle {}G}$ die zugehörige quadratische symmetrische Matrix zur quadratischen Form aus (1), und es sei ${\displaystyle {}r}$ der größte Eigenwert von ${\displaystyle {}G}$. Zeige

   ${\displaystyle {}\mid \mid \!M\!\mid \mid _{\operatorname {max} }={\sqrt {r}}\,.}$

1. Es sei ${\displaystyle {}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}}$. Dann ist

   ${\displaystyle {}\mid \mid \!M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }^{2}=\mid \mid \!{\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{nj}x_{j}\end{pmatrix}}\!\mid \mid _{\operatorname {euk} }^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}^{2}\,.}$

   Wenn man dies ausmultipliziert, so ergibt sich ein Ausdruck der Form ${\displaystyle {}\sum _{1\leq r\leq s\leq n}b_{rs}x_{r}x_{s}}$, also ein homogenes quadratisches Polynom ${\displaystyle {}Q}$ vom Grad ${\displaystyle {}2}$ in den Variablen ${\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{n}}$.

2. Es geht darum, welchen maximalen Wert die quadratische Form ${\displaystyle {}Q}$ aus Teil (1) auf der Einheitssphäre ${\displaystyle {}{\left\{{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\mid \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=1\right\}}}$ annimmt. Die Quadratwurzel davon ist das Maximum der euklidischen Norm und damit nach Definition gleich der Maximumsnorm. Nach Satz 43.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gibt es eine Orthonormalbasis des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ derart, dass die quadratische Form bezüglich dieser Basis die Form ${\displaystyle {}\sum _{1\leq i\leq n}r_{i}U_{i}^{2}}$ besitzt, wobei die ${\displaystyle {}r_{i}}$ die Eigenwerte der zugehörigen quadratischen symmetrischen Matrix sind. Da die quadratische Form eine Summe von Quadraten ist, müssen alle ${\displaystyle {}r_{i}\geq 0}$ sein. Ohne Einschränkung sei ${\displaystyle {}r_{1}\geq r_{2}\geq \ldots }$. Die euklidische Norm kann man nach Aufgabe 32.15 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) in jeder Orthonormalbasis berechnen. Es ist dann für jeden Punkt auf der Einheitsspäre

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}r_{1}&=r_{1}{\left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots +u_{n}^{2}\right)}\\&=r_{1}u_{1}^{2}+r_{1}u_{2}^{2}+\cdots +r_{1}u_{n}^{2}\\&\geq r_{1}u_{1}^{2}+r_{2}u_{2}^{2}+\cdots +r_{n}u_{n}^{2}\\&=Q\left(u_{1},\,u_{2},\,\ldots ,\,u_{n}\right).\end{aligned}}}$

   Da dieser Wert für ${\displaystyle {}\left(1,\,0,\,\ldots ,\,0\right)}$ auch angenommen wird, handelt es sich um den maximalen Wert. Daher ist ${\displaystyle {}{\sqrt {r_{1}}}}$ die Maximumsnorm.

Vereinfache den Ausdruck in ${\displaystyle {}\bigwedge ^{4}\mathbb {R} ^{4}}$:

${\displaystyle {\left(-3e_{1}-2e_{3}+7e_{4}\right)}\wedge e_{3}\wedge {\left(4e_{1}-5e_{3}\right)}\wedge {\left(3e_{1}-3e_{2}+7e_{3}-6e_{4}\right)}.}$

Sobald ein Standardvektor in einem Dachprodukt mehrfach vorkommt, ist der Term gleich ${\displaystyle {}0}$. Daher ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left(-3e_{1}-2e_{3}+7e_{4}\right)}\wedge e_{3}\wedge {\left(4e_{1}-5e_{3}\right)}\wedge {\left(3e_{1}-3e_{2}+7e_{3}-6e_{4}\right)}\\&=7e_{4}\wedge e_{3}\wedge 4e_{1}\wedge {\left(-3e_{2}\right)}\\&=-84e_{4}\wedge e_{3}\wedge e_{1}\wedge e_{2}\\&=84e_{1}\wedge e_{2}\wedge e_{3}\wedge e_{3}.\,\end{aligned}}}$