Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität

Die folgende Aussage^[1] liefert einerseits die Negation der ${\displaystyle {\mathcal {TKP}}}$-Eigenschaft und andererseits sogar eine Charakterisierung der ${\displaystyle {\mathcal {LC}}^{k}}$-Regularität in kommutativen lokalkonvexe Algebren und der ${\displaystyle {\mathcal {PC}}^{k}}$-Regularität in kommutativen pseudokonvexe Algebren. Der Beweis des Satzes erfolgt analog zum Satz, der die TKP-Eigenschaft über Gaugefunktionale charakterisiert.

Der Beweise des folgenden Satzes verwendet Stetigkeitssequenzen bei K-Regularität verwendet die Algebraerweiterung und ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$-Regulärität dazu, die topologischen Eigenschaften von einem ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$-regulären Element ${\textstyle z\in {\mathcal {G}}_{\mathcal {K}}(A)}$ in ${\displaystyle A}$ selbt darüber abzuleiten.

Sei ${\textstyle (A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}})\in {\mathcal {K}}_{e}}$ und ${\textstyle z\in {\mathcal {G}}_{\mathcal {K}}(A)}$, dann gibt es für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$, ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$, eine Folge ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$ von Gaugefunktionalen mit Konstanten ${\displaystyle D_{k}(\alpha )>0}$ mit ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,0)}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$, für die folgende Bedingungen gelten:

• (U1) ${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$,
• (U2) ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|zx\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$.

Seien ${\textstyle z\in {\mathcal {G}}_{\mathcal {T}}(A)}$, ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right),\left(B,\left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}\right)\in {\mathcal {T}}_{e}(\mathbb {K} )}$, ${\textstyle B}$ eine ${\textstyle {\mathcal {T}}}$-Erweiterung von ${\textstyle A}$ und ${\textstyle b\in B}$ sei das Inverse zu ${\textstyle z}$. Ohne Einschränkung sind die obigen Gaugefunktionalsysteme unital positiv.

Man betrachtet das auf der Algebraerweiterung ${\textstyle B}$ definierte Gaugefunktionalsystem ${\displaystyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ und induziert damit ein Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ auf ${\displaystyle A}$, das zu dem gegebenen Gaugefunktionalsystem ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ äquivalent ist.

Das von ${\displaystyle B}$ auf ${\displaystyle A}$ induzierte Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ wird mit dem Algebraisomorphismus ${\displaystyle \tau :A\to A'\subset B}$ definiert (siehe Algebraerweiterung) d.h.

$${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}:&A&\longrightarrow &\mathbb {K} ,\\&x&\longmapsto &\left\|\!\left|\tau (x)\right|\!\right\|_{\widetilde {\alpha }}{\mbox{ mit }}{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}\\\end{array}}}$$

Da ${\displaystyle \tau :A\to A'\subset B}$ ein Algebraisomorphismus ist und ${\displaystyle A'}$ homöomorph zu ${\displaystyle A}$ ist, liefert die Stetigkeit von ${\displaystyle \tau }$ und ${\displaystyle \tau ^{-1}}$ die Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$.

Für alle ${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ gibt es ein ${\textstyle {\widetilde {\gamma }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$, sodass für alle ${\textstyle x\in A}$ gilt

$${\displaystyle \left|\!\left\|x\cdot y\right\|\!\right|_{\widetilde {\alpha }}\leq \left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\cdot \left|\!\left\|y\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}}$$

Für alle ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ gibt es ein ${\textstyle {\widetilde {\beta }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$, sodass für alle ${\textstyle x\in A}$ gilt

$${\displaystyle \left|\!\left\|x\cdot y\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\leq \left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}\cdot \left|\!\left\|y\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}}$$

Nun sei ${\displaystyle b\in B}$ das multiplikativ inverse Element zu ${\displaystyle z\in A}$ dann definiert man damit folgendes System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{{\widetilde {\mathcal {A}}}\times \mathbb {N} _{0}}}$ mit den ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$-Gaugefunktionalen mit ${\displaystyle {\widetilde {\beta }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$.

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|\cdot \right\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}:A&\longrightarrow &\mathbb {K} ,\\x&\longmapsto &\displaystyle \max _{k\in \{0,...,n\}}\left|\!\left\|z^{k}\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\cdot \left\|\!\left|b^{n}\cdot x\right|\!\right\|_{\widetilde {\gamma }}\end{array}}}$$

Man erhält über die Stetigkeit der Multiplikation folgende Ungleichungen:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{\widetilde {\alpha }}&=&\left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\widetilde {\alpha }}=\left|\!\left\|z^{n}\cdot b^{n}\cdot x\right\|\!\right|_{\widetilde {\alpha }}\\&\leq &\left|\!\left\|z^{n}\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\cdot \left|\!\left\|b^{n}\cdot x\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\\&\leq &\left|\!\left\|z^{n}\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\cdot \left\|x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}\\&\leq &\displaystyle \max _{k\in \{0,...,n\}}\left|\!\left\|z^{k}\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\cdot \left\|x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}=\left\|x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}\\&\leq &\underbrace {\left|\!\left\|b^{n}\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}} _{=:D_{n}({\widetilde {\alpha }})}\cdot \left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}=D_{n}({\widetilde {\alpha }})\cdot \left\|x\right\|_{\widetilde {\beta }}\end{array}}}$

Unter Verwendung der Unitalen Positivität der verwendeten Gaugfunktionalsysteme erhält man insbesondere:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}0&<&\left\|e_{A}\right\|_{\widetilde {\alpha }}=\left\|z^{n}\cdot e_{A}\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}=\left\|z^{n}\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}\\0&<&\left\|e_{A}\right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq \underbrace {\left|\!\left\|b^{n}\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}} _{D_{n}({\widetilde {\alpha }})=}\cdot \left|\!\left\|e_{A}\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}=\underbrace {D_{n}({\widetilde {\alpha }})} _{>0}\cdot \underbrace {\left\|e_{A}\right\|_{\widetilde {\beta }}} _{>0}\end{array}}}$$

Für diese ${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ gibt es eine Konstante ${\displaystyle D_{k}({\widetilde {\alpha }})>0}$ und ein ${\displaystyle {\widetilde {\beta }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}&=&\displaystyle \max _{k\in \{0,...,n\}}\left|\!\left\|z^{k}\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\cdot \left\|\!\left|b^{n}\cdot x\right|\!\right\|_{\widetilde {\gamma }}\\&=&\displaystyle \max _{k\in \{0,...,n\}}\left|\!\left\|z^{k}\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\cdot \left\|\!\left|b^{n+1}\cdot z\cdot x\right|\!\right\|_{\widetilde {\gamma }}\\&\leq &\displaystyle \max _{k\in \{0,...,n+1\}}\left|\!\left\|z^{k}\right\|\!\right|_{\widetilde {\gamma }}\cdot \left\|\!\left|b^{n+1}\cdot z\cdot x\right|\!\right\|_{\widetilde {\gamma }}\\&=&\left\|z\cdot x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n+1)}\end{array}}}$

Insgesamt gilt die folgende Abschätzung durch die Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme auch für das gegebene Gaugefunktionalsystem ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$, denn für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gibt es eine Konstante ${\displaystyle C_{1}>0}$ und eine ${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ mit

${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\leq C_{1}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}}$

Dann gibt es wieder mit der Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme ${\displaystyle {\widetilde {\beta }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ gibt es ein ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ eine Konstante ${\displaystyle C_{2}>0}$ mit

${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq C_{2}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\beta }}$

Insgesamt erhält man für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gibt es ein ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und Konstanten ${\displaystyle D_{k}(\alpha )>0}$, sodass für alle ${\displaystyle x\in A}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{\alpha }&\leq &C_{1}\cdot \left\|x\right\|_{\widetilde {\alpha }}\\&\leq &\underbrace {C_{1}\cdot \left\|x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}} _{=:\left\|x\right\|_{(\alpha ,n)}}=\left\|x\right\|_{(\alpha ,n)}\\&\leq &D_{k}({\widetilde {\alpha }})\cdot \left\|x\right\|_{\widetilde {\beta }}\\&\leq &\underbrace {D_{k}({\widetilde {\alpha }})\cdot C_{2}} _{D_{k}(\alpha ):=}\cdot \left\|x\right\|_{\beta }=D_{k}(\alpha )\cdot \left\|x\right\|_{\beta }\\\end{array}}}$

Insgesamt erhält man für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gibt es ein ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und Konstanten ${\displaystyle D_{k}(\alpha )>0}$ die analoge Ungleichung für das Gaugefunktionalsystem ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ für alle ${\displaystyle x\in A}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{(\alpha ,n)}&=&C_{1}\cdot \left\|x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n)}\\&\leq &\underbrace {C_{1}\cdot \left\|z\cdot x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},n+1)}} _{\left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,n+1)}}=\left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,n+1)}\end{array}}}$

Insgesamt gelten nun die beiden Ungleichungen:

• (U1) ${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$,
• (U2) ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|zx\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$.

Damit folgt die Behauptung. ${\displaystyle \Box }$

1. ↑ Engelbert Niehaus (1994) K-reguläre Elemente - Schriftenreihe des Fachbereichs Mathematik - Westfälische Wilhelms–Universität Münster, S.48-49

• Satz - TKP und Gaugefunktionale - (Foliensatz)
• Satz - KP-TNT-Summen - (Foliensatz)

• Algebraerweiterung
• Topologisch kleine Potenzen
• Topologische Nullteiler
• Kleine Potenzen
• LC-Regularität
• PC-Regularität

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