Beispiele

Die Ziffernfolge 1101 zum Beispiel stellt nicht (wie im Dezimalsystem) die Tausendeinhunderteins dar, sondern die Dreizehn, denn im Dualsystem berechnet sich der Wert durch

${\displaystyle [1101]_{2}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=[13]_{10}}$

und nicht wie im Dezimalsystem durch

${\displaystyle 1\cdot 10^{3}+1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0}=[1101]_{10}}$.

Für weitere Techniken und Beispiele zum Umrechnen von Dualzahlen in Dezimalzahlen und umgekehrt: siehe Abschnitt Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme.

Die Klammerung der Resultate mit der tiefgestellten 2 beziehungsweise der 10 gibt die Basis des verwendeten Stellenwertsystems an. So kann leicht erkannt werden, ob die Zahl im Dual- oder im Dezimalsystem dargestellt ist. In der Literatur werden die eckigen Klammern oft weggelassen und die tiefergestellte Zahl dann manchmal in runde Klammern gesetzt. Ebenfalls möglich ist die Kennzeichnung durch den nachgestellten Großbuchstaben B (für binary, engl. für binär).

Verschiedene Schreibweisen der Zahl dreiundzwanzig im Dualsystem:

• [10111]₂
• 10111₂
• 10111₍₂₎
• 0b10111
• %10111 (sog. Motorola-Konvention, aber z. B. auch bei DR-DOS DEBUG)
• HLHHH
• L0LLL

Die gelegentlich verwendete Schreibweise 10111b bzw. 10111B ist nicht empfehlenswert, da sie mit Hexadezimalzahlen verwechselt werden kann.

Entwicklung des Dualsystems

Der alt-indische Mathematiker Pingala stellte die erste bekannte Beschreibung eines Zahlensystems bestehend aus zwei Zeichen im 3. Jahrhundert v. Chr. vor. Dieses Zahlensystem kannte allerdings keine Null.

Eine Serie von acht Trigrammen und 64 Hexagrammen sind aus dem alt-chinesischen und daoistischen Text I Ching bekannt. Der chinesische Gelehrte und Philosoph Shao Yong entwickelte im 11. Jahrhundert daraus eine systematische Anordnung von Hexagrammen, die die Folge von 1 bis 64 darstellt, und eine Methode, um dieselbe zu erzeugen. Es gibt jedoch keine Hinweise, dass Shao es verstand, Berechnungen im Dualsystem vorzunehmen oder das Konzept des Stellenwertes erkannt hatte.

Schon Jahrhunderte bevor das Dualsystem in Europa entwickelt wurde, haben Polynesier binäre Zusammenfassungen von Zahlen zur Vereinfachung von Rechnungen benutzt.

Gottfried Wilhelm Leibniz erfand schon Ende des 17. Jahrhunderts die Dyadik (dyo, griech. = Zwei), also die Darstellung von Zahlen im Dualsystem. Er sah darin ein so überzeugendes Sinnbild des christlichen Glaubens, dass er damit den chinesischen Kaiser Kangxi überzeugen wollte. Dazu schrieb er an den französischen Jesuitenpater Joachim Bouvet (1656–1730):

„Zu Beginn des ersten Tages war die 1, das heißt Gott. Zu Beginn des zweiten Tages die 2, denn Himmel und Erde wurden während des ersten geschaffen. Schließlich zu Beginn des siebenten Tages war schon alles da; deshalb ist der letzte Tag der vollkommenste und der Sabbat, denn an ihm ist alles geschaffen und erfüllt, und deshalb schreibt sich die 7 111, also ohne Null. Und nur wenn man die Zahlen bloß mit 0 und 1 schreibt, erkennt man die Vollkommenheit des siebenten Tages, der als heilig gilt, und von dem noch bemerkenswert ist, dass seine Charaktere einen Bezug zur Dreifaltigkeit haben.“

Etwas weltlicher fiel hingegen seine Beschreibung in einem Brief an den Herzog Rudolf von Braunschweig-Wolfenbüttel vom 2. Januar 1697 aus:

Wohl weil die feinmechanischen Fertigkeiten der damaligen Zeit nicht ausreichten, griff Leibniz beim Bau seiner Rechenmaschinen auf das Dezimalsystem zurück.

Das Dualsystem wurde von Leibniz am Anfang des 18. Jahrhunderts in seinem Artikel Explication de l’Arithmétique Binaire (Histoire de l’Academie Royale des Sciences 1703, veröffentlicht in Paris 1705) vollständig dokumentiert. Leibniz bestätigt darin außerdem die Ansicht Joachim Bouvets, eines Missionars am chinesischen Kaiserhof, der die Tri- und Hexagramme des Fu Hsi (siehe Abbildung: „Zeichen des Fu Hsi“) bei bestimmter Leserichtung als Zahlzeichen interpretiert hat. Er sah darin ein archaisches Binärsystem, das in Vergessenheit geraten ist. Diese Deutung gilt inzwischen als sehr unwahrscheinlich.

Leibniz hatte aber auch in Europa Vorgänger. Eine frühere Behandlung des Dualsystems und anderer Stellensysteme von Thomas Harriot wurde von diesem nicht veröffentlicht, sondern fand sich erst im Nachlass. Die erste Veröffentlichung des Dualsystems in Europa ist wahrscheinlich in Mathesis Biceps vetus et nova 1670 vom späteren spanischen Bischof Juan Caramuel y Lobkowitz (1606–1682), der auch Zahlen zu anderen Basen behandelt. Auch Blaise Pascal merkte schon in De numeris multiplicibus (1654, 1665) an, dass die Basis 10 keine Notwendigkeit ist.

1854 veröffentlichte der britische Mathematiker George Boole eine richtungsweisende Arbeit, die detailliert ein logisches System beschreibt, das als Boolesche Algebra bekannt wurde. Sein logisches System bereitete der Realisierung von elektronischen Schaltungen den Weg, welche die Arithmetik im Dualsystem implementieren.

Die ersten Realisierungen in der Technik

• Im November 1937 vollendete George Stibitz, der später bei den Bell Labs arbeitete, seinen Relais-gestützten Rechner „Modell K“ (nach „K“ für „Küche“, wo er ihn zusammengebaut hat), der die Addition im Dualsystem beherrschte.
• 1937 baute Konrad Zuse eine auf dem Dualsystem basierende Rechenmaschine, die mechanische Zuse Z1, welche aber aufgrund mechanischer Probleme unzuverlässig arbeitete.
• 1937 fertigte Claude Shannon seine Master-Abschlussarbeit am MIT an, die erstmals die Boolesche Algebra und die Arithmetik im Dualsystem in elektrischen Relais und Schaltern realisierte. Unter dem Titel A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits hat Shannons Arbeit die Konstruktion Digitaler Schaltkreise begründet.
• 1937 bis 1941 bauten John Atanasoff und Clifford Berry den ersten elektronischen Digitalrechner, den auf Elektronenröhren basierenden Atanasoff-Berry-Computer.
• Am 12. Mai 1941 führte Konrad Zuse einem kleinen Kreis in Berlin den weltweit ersten universell programmierbaren binären Digitalrechner, die elektromechanische Zuse Z3 vor, welcher aber im Zweiten Weltkrieg komplett zerstört wurde.
• Am 19. März 1955 stellten die Bell-Forschungslaboratorien den weltweit ersten ausschließlich mit Halbleiter-Elementen realisierten binären Digitalrechner, den TRansistorized Airborne DIgital Computer, vor.

Berechnung benötigter Stellen

Eine Dualzahl mit ${\displaystyle n}$ Stellen kann maximal den Wert ${\displaystyle 2^{n}-1}$ annehmen. Eine vierstellige Dualzahl kann also höchstens den Wert ${\displaystyle 2^{4}-1}$, also   16 − 1 = 15   haben.

Konsequenterweise kann man im Dualsystem mit seinen 10 Fingern bis ${\displaystyle 2^{10}-1}$, also bis 1023 zählen.

In der Digitaltechnik gilt es zu beachten, dass häufig beim Speichern einer Dualzahl auch deren Vorzeichen gespeichert werden muss. Dazu wird meistens das eigentlich höchstwertige Bit in dem für die Zahl reservierten Speicherbereich verwendet. Ist dieser Speicherbereich ${\displaystyle n}$ Bit groß, so beträgt (bei der Darstellung der negativen Zahlen im Zweierkomplement) der maximale Wert der positiven Zahlen ${\displaystyle 2^{(n-1)}-1}$ und der minimale Wert der negativen Zahlen ${\displaystyle -(2^{(n-1)})}$. Dabei zählt die ${\displaystyle 0}$ zu den positiven Zahlen und die ${\displaystyle -1}$ ist die „erste negative Zahl“. Insgesamt bleibt damit die Anzahl der darstellbaren Zahlen gleich ${\displaystyle 2^{n}}$.

Die Anzahl benötigter Stellen im Dualsystem für eine gegebene Zahl ${\displaystyle n}$ im Dezimalsystem ist

${\displaystyle \lfloor \operatorname {lb} n\rfloor +1}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ die Abrundungsfunktion und ${\displaystyle \operatorname {lb} n}$ den Logarithmus zur Basis 2 der Zahl ${\displaystyle n}$. Alternativ kann die Anzahl der Dezimalstellen mit 3,322 multipliziert werden (+Aufrunden), was eine Obergrenze ergibt, denn ${\displaystyle lb(10)\approx 3{,}322}$ (eine Dezimalstelle, eigentlich also lb(${\displaystyle 9{,}{\bar {9}}}$) wird maximal zu ${\displaystyle \approx 3{,}322}$ Dualstellen).

Vorgehensweise

Eine Person A übergibt die sechs Zahlenkarten (Abbildung 1) einer Person B mit der Aufforderung, sich eine Zahl zwischen ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle 63}$ zu merken, geheim zu halten und nur die Karten wieder zurückzugeben, auf denen die gemerkte Zahl vorkommt. Die Person A schaut sich die zurückgegebenen Karten an, addiert danach (möglichst schnell und unauffällig) deren Anfangszahlen und nennt der Person B die berechnete Summe, welche gleich der gedachten Zahl ist.

Struktur der Karten

Die Zahlenkarten sind folgendermaßen strukturiert: Ist ${\displaystyle n}$ eine der Zahlen ${\displaystyle 1}$ bis ${\displaystyle 63}$, so ist ${\displaystyle n}$ in genau denjenigen Kärtchen enthalten, deren Anfangszahlen die Summe ${\displaystyle n}$ haben. Genauer formuliert: Nach Zerlegung einer der ${\displaystyle 63}$ Zahlen in Zweierpotenz-Summanden ist die betreffende Zahl in genau denjenigen Karten enthalten, deren Anfangszahlen diese Summanden sind.

Der Zahlentrick beruht darauf, dass sich jede natürliche Zahl eindeutig als Summe von Zweierpotenzen darstellen lässt.

Erläuterndes Beispiel

Die Zahl ${\displaystyle 23}$ ist wegen ${\displaystyle 23=16+4+2+1=[10111]_{2}}$ in den Karten mit den Anfangszahlen ${\displaystyle 16}$, ${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle 2}$ und ${\displaystyle 1}$ enthalten. (Abbildung 2).

Schriftliche Addition

Die binäre Addition ist eine grundlegende Basisoperation in der Computerwelt. Will man zwei nicht negative Binärzahlen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ addieren, kann man das wie im Dezimalsystem tun. Nur muss man beachten, dass beim Ergebnis an der jeweiligen Stelle keine „Zwei“ notiert wird, sondern eine Null und an die nächste Stelle ein Übertrag. Das geschieht analog zur Dezimaladdition, wenn sich bei der Addition einer Stelle eine Zehn ergibt:

Die Zahlen werden übereinander aufgeschrieben. Nun arbeitet man von rechts nach links alle Binärziffern (=Bits) von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ simultan ab und erzeugt in jedem Zwischenschritt ein Ergebnisbit sowie ein Merkerbit (auch Übertrag genannt). Dabei werden die Bits entsprechend der Tabelle rechts zusammengezählt. In den Spalten A und B sind die Bits der zu addierenden Zahlen zu finden. In der Spalte ${\displaystyle M_{1}}$ steht das Merkerbit des vorherigen Zwischenschrittes. Daraus ergeben sich (entsprechend dieser Tabelle, welche einem Volladdierer entspricht) ein Ergebnisbit (E) und ein neues Merkerbit (${\displaystyle M_{2}}$). Alle Ergebnisbits, von rechts nach links aneinandergereiht, stellen das Resultat dar. Entsteht beim letzten Zwischenschritt ein Merkerbit, so bekommt das Resultat links eine zusätzliche 1.

Am besten sieht man das anhand eines Beispiels. Hier werden die Zahlen A und B zusammengezählt. In jedem Schritt wird ein anfallendes Merkerbit bei der nächsten Ziffer notiert.

       A = 10011010 (154)
       B = 00110110 ( 54)
  Merker = 01111100
           ————————
Ergebnis = 11010000 (208)
           ‗‗‗‗‗‗‗‗

Schriftliche Subtraktion

Die Subtraktion verhält sich analog zur Addition.

${\displaystyle 0-0=0}$

${\displaystyle 0-1=1}$, Übertrag (borrow) 1

${\displaystyle 1-0=1}$

${\displaystyle 1-1=0}$

Zwei Zahlen im Dualsystem können voneinander wie im folgenden Beispiel dargestellt subtrahiert werden:

${\displaystyle {\begin{matrix}&1&1&0&1&1&1&0\\-&&&1&0&1&1&1\\&&{}_{1}&&{}_{1}&{}_{1}&{}_{1}&\end{matrix}} \over {\begin{matrix}=&1&0&1&0&1&1&1\end{matrix}}}$

Hier wird die Subtraktion   110−23 = 87   durchgeführt. Die kleinen Einsen in der dritten Reihe zeigen den Übertrag. Das Verfahren ist das Gleiche, wie es in der Schule für das Dezimalsystem unterrichtet wird. Etwas ungewohnt sieht der Fall 0−1 aus. Zur Verdeutlichung das Beispiel 2−9 im Dezimalsystem: Man denkt sich eine Zehnerstelle vor die Zwei, wodurch sich die Subtraktion 12−9 ergibt. Die gedachte Zehnerstelle wird dann als Übertrag an die nächste Stelle weitergereicht. Im Dualsystem geschieht das Gleiche: Aus 0−1 wird 10−1. Als Ergebnis kann also eine 1 hingeschrieben werden; die vor die 0 gedachte Eins muss dann als Übertrag an die nächste Stelle geschrieben und von dieser zusätzlich abgezogen werden.

Das Verfahren funktioniert (wie auch im Dezimalsystem) nicht, wenn der Minuend (1. Zahl) kleiner ist als der Subtrahend (2. Zahl). Sollte das der Fall sein, erfolgt die Subtraktion einer Zahl durch die Addition des Zweierkomplementes dieser Zahl. Die Subtraktion einer positiven Zahl ergibt nämlich das gleiche Ergebnis wie die Addition der entsprechenden negativen Zahl mit dem gleichen Betrag:

${\displaystyle {\begin{array}{crcccccccc|l|cr}&&0&1&1&1&0&1&1&0&{\text{Minuend}}&&118_{10}\\-&&1&0&0&1&1&0&0&1&{\text{Subtrahend}}&-&153_{10}\\\hline &&0&1&1&1&0&1&1&0&{\text{Minuend}}&&118_{10}\\+&(-)&0&1&1&0&0&1&1&1&{\text{Subtrahend (Zweierkomplement)}}&+&(-)153_{10}\\&{\color {blue}{}_{0}}&{}_{1}&{}_{1}&&&{}_{1}&{}_{1}&&&\\\hline =&&1&1&0&1&1&1&0&1&{\text{Ergebnis (Zweierkomplement, negativ)}}&=&-35_{10}\\\hline \hline &&0&0&1&0&0&0&1&1&{\text{Betrag des Ergebnisses}}&&35_{10}\\\end{array}}}$

Wäre der (blau markierte) Übertrag 1, müsste das Zweierkomplement des Ergebnisses nicht mehr gebildet werden, da die vorzeichenlose Darstellung der positiven Zahlen im Zweierkomplement gleich ist (siehe Tabelle dort). Der Übertrag wird zu den (nicht dargestellten) führenden Einsen des Zweierkomplementes addiert, wodurch im Ergebnis nur führende Nullen entstehen. Als Beispiel dient die obige Rechnung 110−23 = 87  :

${\displaystyle {\begin{array}{crccccccc|l}&&1&1&0&1&1&1&0&{\text{Minuend}}\\+&(-)&1&1&0&1&0&0&1&{\text{Subtrahend (Zweierkomplement)}}\\&{\color {blue}{}_{1}}&{}_{1}&&{}_{1}&&&&&\\\hline =&&1&0&1&0&1&1&1&\end{array}}}$

Schriftliche Multiplikation

Die Multiplikation wird im Dualsystem genauso durchgeführt wie im Dezimalsystem. Dadurch, dass nur 0 und 1 als Ziffern vorkommen, ist die schriftliche Multiplikation jedoch sogar einfacher. Das folgende Beispiel, in dem die Zahlen 1100 (12) und 1101 (13) multipliziert werden, zeigt die Vorgehensweise.

Zuerst schreibt man die Aufgabenstellung in eine Zeile und zieht zur Vereinfachung einen Strich darunter.

1100 · 1101
———————————

Die erste Ziffer des zweiten Faktors ist eine Eins und deshalb schreibt man den ersten Faktor rechtsbündig unter diese Eins.

1100 · 1101
———————————
    1100

Auch für alle weiteren Einsen des zweiten Faktors schreibt man den ersten Faktor rechtsbündig darunter.

1100 · 1101
———————————
    1100
     1100
      0000
       1100

Die so gewonnenen Zahlen zählt man dann zum Ergebnis der Multiplikation zusammen.

1100 · 1101
———————————
    1100
   + 1100
   +  0000
   +   1100
———————————
   10011100 (156)

Ein besonders einfacher Fall ist die Multiplikation einer positiven Dualzahl mit der Zahl 10 (2). In diesem Fall muss lediglich an die positive Dualzahl eine 0 angehängt werden:

${\displaystyle 1101\cdot 10=11010}$

${\displaystyle 11010\cdot 10=110100}$

usw.

Für diese Rechenoperation existieren einfache Befehle in der Digitaltechnik.

Bei der Multiplikation zweier Zweierkomplement-Dualzahlen wird der Booth-Algorithmus benutzt.

Schriftliche Division

Bei der Division zweier Dualzahlen werden folgende Algorithmen verwendet.

Am Beispiel der Division von 1000010 / 11 (entspricht 66:3 im Dezimalsystem)

   1000010 ÷ 11 = 010110 Rest 0 (= 22 im Dezimalsystem) somit mod
 − 011
 —————
   00100
   − 011
    ————
     0011
    − 011
    —————
       0

Die Anwendung der Modulo-Funktion mit dem Divisor 10 (2) auf positive Dualzahlen ergibt immer 1, wenn die letzte Ziffer des Dividenden 1 ist und 0, wenn die letzte Ziffer des Dividenden 0 ist:

${\displaystyle 1101\mod 10=1}$

${\displaystyle 1100\mod 10=0}$

Für diese Rechenoperation, die einer UND-Verknüpfung mit 1 entspricht, existieren einfache Befehle in der Digitaltechnik.

Ein besonders einfacher Fall ist die Division mit Rest einer positiven Dualzahl durch die Zahl 10 (2). In diesem Fall muss lediglich die letzte Ziffer des Dividenden gestrichen werden. Ist die letzte Ziffer des Dividenden eine 1, so verschwindet dieser Rest. Entspricht bei diesem Verfahren die Anzahl der Divisionen durch 2 der Anzahl der Stellen des Dividenden, so ist das Endergebnis immer 0:

${\displaystyle 1101\div 10=110}$

${\displaystyle 110\div 10=11}$

${\displaystyle 11\div 10=1}$

${\displaystyle 1\div 10=0}$

Für diese Rechenoperation existieren einfache Befehle in der Digitaltechnik.

Vom Dualsystem ins Dezimalsystem

Um eine Dualzahl in die entsprechende Dezimalzahl umzurechnen, werden alle Ziffern jeweils mit ihrem Stellenwert (entsprechende Zweierpotenz) multipliziert und dann addiert.

Beispiel:

${\displaystyle 1010_{(2)}=1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{1}=8+2=10_{(10)}}$

Endet die Dualzahl mit einer 1, so ist die Dezimalzahl eine ungerade Zahl. Ist die letzte Ziffer der Dualzahl eine 0, so ist die Dezimalzahl gerade.

Beispiel:

${\displaystyle 101001_{(2)}=1\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{5}=1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{5}=1+8+32=41_{(10)}}$

${\displaystyle 101000_{(2)}=0\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{5}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{5}=8+32=40_{(10)}}$

Dieses Verfahren kann auch in Form einer Tabelle aufgeschrieben werden. Dazu notiert man die einzelnen Ziffern einer Dualzahl in Spalten, die mit dem jeweiligen Stellenwert der Ziffer überschrieben sind. In der folgenden Tabelle ist der Stellenwert orange hinterlegt. In jeder der drei Zeilen des weißen Teils steht eine Dualzahl:

Man addiert nun alle Stellenwerte, die über den Einsen der Dualzahl stehen und erhält die entsprechende grün hinterlegte Dezimalzahl. Um zum Beispiel den Dezimalwert der dritten Dualzahl zu errechnen, werden die Stellenwerte 8 und 2 addiert. Das Ergebnis ist 10.

Diese Tabellenmethode ist auch für Stellenwertsysteme zu anderen Basen möglich; die Besonderheit im Dualsystem ist, dass der jeweilige Feldeintrag ('0' oder '1') nicht erst mit der Wertigkeit der Stelle multipliziert werden muss, sondern direkt als Auswahl-Flag ('nein' / 'ja') dieser Stellenwertigkeit zur Addition verwendet werden kann.

Vom Dezimalsystem ins Dualsystem

Es gibt mehrere Möglichkeiten der Umrechnung ins Dualsystem. Im Folgenden ist die Divisionsmethode (auch Modulo-Methode genannt) am Beispiel 41₍₁₀₎ beschrieben:

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}41&:2&=&20&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {1} \\20&:2&=&10&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {0} \\10&:2&=&5&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {0} \\5&:2&=&2&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {1} \\2&:2&=&1&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {0} \\1&:2&=&0&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {1} \end{matrix}}\ \right\uparrow }$

Die entsprechende Dualzahl ergibt sich durch Notation der errechneten Reste von unten nach oben: 101001₍₂₎.

Eine andere Methode ist die Subtraktionsmethode. Bei dieser subtrahiert man jeweils die größtmögliche Zweierpotenz von der umzurechnenden Dezimalzahl. Wenn die nächstgrößte Zweierpotenz größer als die Differenz der vorherigen Subtraktion ist, so ist die Wertigkeit der nächsten Binärstelle 0. Andernfalls ist die nächste Binärstelle 1, und die Zweierpotenz wird abgezogen. Um diese Methode zu verdeutlichen, bedienen wir uns weiter des Beispiels der Zahl 41:

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}41&-2^{5}&=&9&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {1} \\9&-2^{4}&<&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {0} \\9&-2^{3}&=&1&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {1} \\1&-2^{2}&<&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {0} \\1&-2^{1}&<&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {0} \\1&-2^{0}&=&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {1} \end{matrix}}\ \right\downarrow }$

Teilbarkeit durch eine 2er Potenz

Eine Zahl, dargestellt zur Basis ${\displaystyle n}$, ist so oft durch die Basis ${\displaystyle n}$ ohne Rest teilbar (${\displaystyle i}$-fach, also durch ${\displaystyle n^{i}}$), wie die Zahl Nullen am Ende hat (${\displaystyle i}$ Stück). Eine Dualzahl ${\displaystyle 100101000_{2}}$ (im Dezimalsystem ${\displaystyle 296}$) ist also dreimal durch ${\displaystyle 2}$ teilbar (${\displaystyle =2^{3}}$), da sie auf drei Nullen endet und tatsächlich gilt ${\displaystyle 296=2^{3}\cdot 37}$

Teilbarkeit durch 3

Sei ${\displaystyle n=b_{k}\dots b_{0}}$ eine Binärzahl, wobei ${\displaystyle b_{i}\in \{0,1\}}$. Weiter definieren wir die Menge der Einsen an geraden Stellen ${\displaystyle G_{1}(n)=\{i\mid \exists j.b_{2j}(n)=1\}}$ und die Menge der Einsen an ungeraden Stellen ${\displaystyle U_{1}(n)=\{i\mid \exists j.b_{2j+1}(n)=1\}}$. Dann gilt für die Zahl ${\displaystyle n}$ bezüglich der Teilbarkeit durch ${\displaystyle 3}$ (${\displaystyle \#}$ steht für die Anzahl):

${\displaystyle |\#G_{1}(n)-\#U_{1}(n)|\mod 3=0\implies n{\text{ ist teilbar durch }}3}$

Mit Worten ausgedrückt, eine Binärzahl ist genau dann ohne Rest durch 3 teilbar, wenn die Betragsdifferenz der Anzahl der Einsen auf den geraden Positionen und der Anzahl der Einsen auf den ungeraden Positionen durch 3 teilbar ist. Man spricht hier auch von der alternierenden Quersumme, die durch 3 teilbar sein muss.

Beispiel an der Zahl ${\displaystyle n=744628179621_{(10)}}$:

Die Zahl hat folgende Binärdarstellung ${\displaystyle n=1010110101011111010011000101001010100101_{(2)}}$. Es gilt ${\displaystyle |\#G_{1}(n)-\#U_{1}(n)|=|9-12|=3}$ und ${\displaystyle 3\mod 3=0}$ und tatsächlich ${\displaystyle 744628179621:3=248209393207}$