Zurückführung auf einen bekannten unendlichen Dezimalbruch

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=0{,}333\ldots }$

${\displaystyle 3\cdot {\frac {1}{3}}=3\cdot 0{,}333\ldots }$

${\displaystyle 1=0{,}999\ldots }$

Dieser Beweis ist weit verbreitet – es ist aber zu bedenken:

1. Die erste Zeile wird hier vorausgesetzt, wäre aber eigentlich mit ähnlichen Mitteln zu beweisen wie die Aussage selbst.
2. Der Übergang von der zweiten zur dritten Zeile verwendet auf der rechten Seite eine Eigenschaft von Grenzwerten, nämlich, dass die Multiplikation mit einer Konstanten (hier 3) mit der Grenzwertbildung vertauschbar ist.

Anordnung der reellen Zahlen

Die Gleichheit ist eine Konsequenz aus der Tatsache, dass zwei reelle Zahlen x und y nur dann verschieden sind, wenn es eine reelle Zahl z gibt, die zwischen ihnen liegt, für die also x < z < y oder y < z < x gilt. Die Existenz einer solchen Zahl z ist in diesem Fall nach Definition der Dezimalbruchentwicklung nicht möglich. Bei dieser Argumentation wird verwendet, dass jede reelle Zahl eine Dezimalbruchentwicklung besitzt. Eine Tatsache, die es natürlich vorher schon zu beweisen wäre.

Grenzwert einer Zahlenfolge

${\displaystyle 0{,}999\ldots }$ ist der Grenzwert der Zahlenfolge ${\displaystyle 0{,}9\ \ 0{,}99\ \ 0{,}999\ \ 0{,}9999\ \ \ldots }$

Das allgemeine Glied ${\displaystyle a_{n}}$ dieser Folge ist ${\displaystyle a_{n}=0{,}\underbrace {99\ldots 9} _{n}}$. Die Differenz zwischen ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle a_{n}}$ ist ${\displaystyle {\tfrac {1}{10^{n}}}}$. Für jedes noch so kleine ${\displaystyle \varepsilon >0}$ findet man ein n mit ${\displaystyle {\tfrac {1}{10^{m}}}<\varepsilon }$ für alle ${\displaystyle m>n}$. Also gilt nach Definition des Grenzwerts ${\displaystyle 0{,}999\ldots =1}$.

Geometrische Reihe

Für die periodische Dezimalbruchdarstellung ${\displaystyle 0{,}{\overline {9}}}$ gilt

${\displaystyle 0{,}{\overline {9}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{10^{n}}}}$.

Dies ist eine unendliche geometrische Reihe der Form ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a\cdot q^{i}}$. Solche Reihen sind für ${\displaystyle |q|<1\;}$ konvergent und haben den Wert ${\displaystyle a\cdot {\tfrac {1}{1-q}}}$. Mit ${\displaystyle a={\tfrac {9}{10}}}$ und ${\displaystyle q={\tfrac {1}{10}}<1}$ ergibt sich der Summenwert als

${\displaystyle {\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{\frac {9}{10}}}=1}$.

Andere Stellenwertsysteme

In anderen Stellenwertsystemen tritt an die Stelle der Ziffer 9 die höchste Ziffer des jeweiligen Systems. Im Binärsystem ist also 1 gleich ${\displaystyle 0{,}111\ldots }$, im Hexadezimalsystem gleich 0,FFF…, entsprechend in anderen Systemen.