Kurs:Elementare Algebra/25/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel ${\displaystyle {}z}$ in einem Körper ${\displaystyle {}K}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}$).
2. Ein Normalteiler ${\displaystyle {}N}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
3. Die Charakteristik eines Körpers ${\displaystyle {}K}$.
4. Der Quotientenkörper zu einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
5. Ein Untervektorraum ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ in einem ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
6. Eine aus einer Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq E}$ einer Ebene ${\displaystyle {}E}$ elementar konstruierbare Gerade ${\displaystyle {}G}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Ideale in einem euklidischen Bereich.
2. Der Satz von Lagrange für die Ordnung eines Elementes.
3. Der Satz über die Konstruktion der Quadratwurzel.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung

${\displaystyle {\mathfrak {P}}\,(M)\times {\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,(A,B)\longmapsto A\setminus B.}$

Ist diese Verknüpfung assoziativ?

Diese Verknüpfung ist nicht assoziativ. Um dies zu zeigen, kann man einfach

${\displaystyle {}A=B=C=M\,}$

nehmen, wobei ${\displaystyle {}M}$ eine nichtleere Menge sei. Dann ist ${\displaystyle {}M\setminus M=\emptyset }$ und somit ist einerseits

${\displaystyle {}(M\setminus M)\setminus M=\emptyset \setminus M=\emptyset \,}$

und andererseits

${\displaystyle {}M\setminus (M\setminus M)=M\setminus \emptyset =M\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Es sei ${\displaystyle {}a\in K}$ ein fixiertes Element.

a) Zeige, dass

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}={\left\{F\in K[X]\mid F(a)=0\right\}}\,}$

ein Ideal ist.

b) Bestimme ein Polynom ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ mit

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(P)\,.}$

a) Es ist ${\displaystyle {}0\in {\mathfrak {a}}}$. Für ${\displaystyle {}F,G\in {\mathfrak {a}}}$ ist

${\displaystyle {}(F+G)(a)=F(a)+G(a)=0+0=0\,,}$

also ${\displaystyle {}F+G\in {\mathfrak {a}}}$. Für ${\displaystyle {}F\in {\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle {}H\in K[X]}$ ist

${\displaystyle {}(HF)(a)=H(a)F(a)=H(a)0=0\,,}$

also ${\displaystyle {}HF\in {\mathfrak {a}}}$.

b) Wir behaupten

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(X-a)\,.}$

Das Polynom ${\displaystyle {}X-a}$ gehört offenbar zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ und damit gehört auch das von ${\displaystyle {}X-a}$ erzeugte Hauptideal ${\displaystyle {}(X-a)}$ zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$. Es sei umgekehrt ${\displaystyle {}F\in {\mathfrak {a}}}$. Die Division mit Rest ergibt

${\displaystyle {}F=(X-a)Q+R\,,}$

wobei ${\displaystyle {}R}$ konstant ist. Aus ${\displaystyle {}F(a)=0}$ folgt

${\displaystyle {}0=F(a)=(a-a)Q(a)+R(a)=R(a)\,}$

und da ${\displaystyle {}R}$ konstant ist, folgt ${\displaystyle {}R=0}$. Also ist ${\displaystyle {}F\in (X-a)}$.

Bestimme das Polynom ${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }[X]}$ kleinsten Grades, das an der Stelle ${\displaystyle {}3-8{\mathrm {i} }}$ den Wert ${\displaystyle {}5-6{\mathrm {i} }}$ und an der Stelle ${\displaystyle {}2-7{\mathrm {i} }}$ den Wert ${\displaystyle {}4-3{\mathrm {i} }}$ besitzt.

Der Ansatz

${\displaystyle {}P=aX+b\,}$

führt auf die beiden Gleichungen

${\displaystyle {}a{\left(3-8{\mathrm {i} }\right)}+b=5-6{\mathrm {i} }\,}$

und

${\displaystyle {}a{\left(2-7{\mathrm {i} }\right)}+b=4-3{\mathrm {i} }\,}$

besitzt. Somit ist

${\displaystyle {}a{\left(1-{\mathrm {i} }\right)}=1-3{\mathrm {i} }\,}$

und daher

${\displaystyle {}{\begin{aligned}a&={\left(1-{\mathrm {i} }\right)}^{-1}{\left(1-3{\mathrm {i} }\right)}\\&={\frac {1+{\mathrm {i} }}{2}}{\left(1-3{\mathrm {i} }\right)}\\&={\frac {1+3-2{\mathrm {i} }}{2}}\\&=2-{\mathrm {i} }\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}b=5-6{\mathrm {i} }-{\left(2-{\mathrm {i} }\right)}{\left(3-8{\mathrm {i} }\right)}=5-6{\mathrm {i} }+{\left(2+19{\mathrm {i} }\right)}=7+13{\mathrm {i} }\,.}$

Das gesuchte Polynom ist also

${\displaystyle {}P={\left(2-{\mathrm {i} }\right)}X+7+13{\mathrm {i} }\,.}$

Betrachte den Körper

${\displaystyle {}K={\mathbb {F} }_{4}=\mathbb {Z} /(2)[U]/(U^{2}+U+1)\,.}$

Führe im Polynomring ${\displaystyle {}K[X]}$ die Polynomdivision

${\displaystyle X^{4}+uX^{3}+(u+1)X+1{\text{ durch }}uX^{2}+X+u+1}$

aus, wobei ${\displaystyle {}u}$ die Restklasse von ${\displaystyle {}U}$ in ${\displaystyle {}K}$ bezeichnet.

Die Division mit Rest ergibt

${\displaystyle {}X^{4}+uX^{3}+(u+1)X+1={\left(uX^{2}+X+u+1\right)}{\left((u+1)X^{2}+(u+1)X+(u+1)\right)}+uX+u+1\,.}$

Erstelle eine Wertetabelle für die Abbildung

${\displaystyle \mathbb {Z} /(10)\longrightarrow \mathbb {Z} /(10),\,x\longmapsto x^{3}.}$

Ist die Abbildung bijektiv?

${\displaystyle {}x}$	${\displaystyle {}0}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}2}$	${\displaystyle {}3}$	${\displaystyle {}4}$	${\displaystyle {}5}$	${\displaystyle {}6}$	${\displaystyle {}7}$	${\displaystyle {}8}$	${\displaystyle {}9}$
${\displaystyle {}x^{3}}$	${\displaystyle {}0}$	${\displaystyle {}1}$	${\displaystyle {}8}$	${\displaystyle {}7}$	${\displaystyle {}4}$	${\displaystyle {}5}$	${\displaystyle {}6}$	${\displaystyle {}3}$	${\displaystyle {}2}$	${\displaystyle {}9}$

Daraus ist unmittelbar ersichtlich, dass die Abbildung bijektiv ist.

Finde unter den Zahlen ${\displaystyle {}\leq 1000}$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.

Wir betrachten direkt die Primfaktorzerlegungen

${\displaystyle {}n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}\,,}$

${\displaystyle (k_{1}+1)(k_{2}+1)\cdots (k_{r}+1)}$

${\displaystyle {}n}$

${\displaystyle {}k_{1}\geq k_{2}\geq \ldots \geq k_{r}\,}$

annehmen. Bei ${\displaystyle {}r=1}$ ist

${\displaystyle {}2^{9}=512<1000\,,}$

welches ${\displaystyle {}10}$ Teiler besitzt, ${\displaystyle {}2^{10}}$ ist schon zu groß. Bei ${\displaystyle {}r=2}$ besitzt (wir führen nur ernsthafte Kandidaten auf)

${\displaystyle {}2^{8}\cdot 3=768\,}$

${\displaystyle {}18}$ Teiler,

${\displaystyle {}2^{6}\cdot 3^{2}=576\,}$

hat ${\displaystyle {}21}$ Teiler,

${\displaystyle {}2^{5}3^{3}=864\,}$

hat ${\displaystyle {}24}$ Teiler,

${\displaystyle {}2^{4}3^{4}=1296>1000\,.}$

Bei ${\displaystyle {}r=3}$ besitzt

${\displaystyle {}2^{6}\cdot 3\cdot 5=960\,}$

${\displaystyle {}28}$ Teiler,

${\displaystyle {}2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5=720\,}$

hat ${\displaystyle {}30}$ Teiler,

${\displaystyle {}2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5=1080\,}$

ist zu groß,

${\displaystyle {}2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}=900\,}$

hat ${\displaystyle {}27}$ Teiler. Bei ${\displaystyle {}r=3}$ besitzt

${\displaystyle {}2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7=840\,}$

${\displaystyle {}32}$ Teiler.

${\displaystyle {}2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7=1260\,}$

ist zu groß. Wegen

${\displaystyle {}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310>1000\,}$

kann es nicht mehr Primfaktoren geben. Also besitzt ${\displaystyle {}840}$ unter allen Zahlen unterhalb von ${\displaystyle {}1000}$ die maximale Anzahl an Teilern, nämlich ${\displaystyle {}32}$.

Beweise den Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.

Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch

${\displaystyle {}[x][y]=[xy]\,}$

gegeben sein. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf ${\displaystyle {}G/H}$ definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für ${\displaystyle [x]=[x']}$ und ${\displaystyle [y]=[y']}$ zu zeigen, dass ${\displaystyle {}[xy]=[x'y']}$ ist. Nach Voraussetzung können wir ${\displaystyle x'=xh}$ und ${\displaystyle hy'={\tilde {h}}y=yh'}$ mit ${\displaystyle {}h,{\tilde {h}},h'\in H}$ schreiben. Damit ist

${\displaystyle {}x'y'=(xh)y'=x(hy')=x(yh')=xyh'\,.}$

Somit ist ${\displaystyle {}[xy]=[x'y']}$. Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf ${\displaystyle {}G/H}$ folgen die Gruppeneigenschaften, die Homomorphieeigenschaft der Projektion und die Eindeutigkeit.

Löse die quadratische Gleichung ${\displaystyle {}3x^{2}+x+4=0}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)}$.

Die normierte Gleichung ist (Multiplikation mit ${\displaystyle {}5}$)

${\displaystyle {}x^{2}+5x+6=0\,.}$

Die p-q-Formel ergibt

${\displaystyle {}x_{1,2}={\frac {-5\pm {\sqrt {25-4\cdot 6}}}{2}}=4{\left(2\pm {\sqrt {1}}\right)}\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}x_{1}=4\cdot 3=5\,}$

und

${\displaystyle {}x_{2}=4\cdot 1=4\,.}$

Beweise den kleinen Satz von Fermat.

Bestimme die Partialbruchzerlegung von

${\displaystyle {\frac {100}{77}}.}$

Es ist

${\displaystyle {}{\frac {100}{77}}=1+{\frac {23}{77}}\,.}$

Wir suchen zuerst eine Darstellung

${\displaystyle {}{\frac {1}{77}}={\frac {a}{7}}+{\frac {b}{11}}\,,}$

was auf

${\displaystyle {}1=11a+7b\,}$

führt. Eine Lösung ist ${\displaystyle {}a=2}$ und ${\displaystyle {}b=-3}$. Daher ist

${\displaystyle {}{\frac {23}{77}}={\frac {46}{7}}-{\frac {69}{11}}=6+{\frac {4}{7}}-7+{\frac {8}{11}}=-1+{\frac {4}{7}}+{\frac {8}{11}}\,}$

und somit

${\displaystyle {}{\frac {100}{77}}={\frac {4}{7}}+{\frac {8}{11}}\,.}$

Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.

Es seien ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}=b_{1},\ldots ,b_{n}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{k}}$ zwei Basen von ${\displaystyle {}V}$. Aufgrund des Basisaustauschsatzes, angewandt auf die Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}}$ und die linear unabhängige Familie ${\displaystyle {}{\mathfrak {u}}}$ ergibt sich ${\displaystyle {}k\leq n}$. Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt ${\displaystyle {}n\leq k}$, also insgesamt ${\displaystyle {}n=k}$.

Wir betrachten das kleine Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von ${\displaystyle {}9}$-Tupeln der Länge ${\displaystyle {}9}$. Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{9}}$?

Die Einerreihe ist das Tupel

${\displaystyle \left(1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\right).}$

Jede weitere Reihe im kleinen Einmaleins ergibt sich durch Multiplikation dieser Reihe mit einer natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n\in \{2,3,4,5,6,7,8,9\}}$, sie gehören also schon zu dem von der Einerreihe erzeugten Untervektorraum. Daher ist die Dimension gleich ${\displaystyle {}1}$.

Bestimme das Inverse von ${\displaystyle {}4x-7}$ im Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{2}-11\right)}}$ (${\displaystyle {}x}$ bezeichnet die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$) über ein lineares Gleichungssystem der Form

${\displaystyle {}{\left(4x-7\right)}{\left(ax+b\right)}=1\,.}$

Der Ansatz

${\displaystyle {}{\left(4x-7\right)}{\left(ax+b\right)}=1\,}$

führt wegen

${\displaystyle {}{\left(4x-7\right)}{\left(ax+b\right)}=4ax^{2}+(4b-7a)x-7b=44a-7b+(4b-7a)x\,}$

auf das lineare Gleichungssystem

${\displaystyle {}44a-7b=1\,,}$

${\displaystyle {}-7a+4b=0\,.}$

Dies führt auf

${\displaystyle {}127a=4\,,}$

also

${\displaystyle {}a={\frac {4}{127}}\,}$

und

${\displaystyle {}b={\frac {7}{127}}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper mit einer Charakteristik ${\displaystyle {}\neq 2}$ und es sei ${\displaystyle {}K\subset L}$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein ${\displaystyle {}x\in L}$, ${\displaystyle {}x\notin K}$, mit ${\displaystyle {}x^{2}\in K}$ gibt.

Nach Voraussetzung ist ${\displaystyle {}L}$ ein zweidimensionaler Vektorraum über ${\displaystyle {}K}$, und darin ist ${\displaystyle {}K=K1}$ ein eindimensionaler Untervektorraum. Nach dem Basisergänzungssatz gibt es ein Element ${\displaystyle {}y\in L}$ derart, dass ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}y}$ eine ${\displaystyle {}K}$-Basis von ${\displaystyle {}L}$ bilden. Wir können

${\displaystyle {}y^{2}=a+by\,}$

schreiben, bzw. (da ${\displaystyle {}2}$ eine Einheit ist),

${\displaystyle {}0=y^{2}-by-a={\left(y-{\frac {b}{2}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}-a\,.}$

Mit ${\displaystyle {}x=y-{\frac {b}{2}}}$ gilt also ${\displaystyle {}x^{2}={\frac {b^{2}}{4}}+a\in K}$ und ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}x}$ bilden ebenfalls eine ${\displaystyle {}K}$-Basis von ${\displaystyle {}L}$.

a) Skizziere zwei Kreise, die sich in genau einem Punkt schneiden.

b) Es seien zwei Punkte ${\displaystyle {}M_{1}\neq M_{2}}$ in der Ebene ${\displaystyle {}E}$ gegeben. Ein Punkt ${\displaystyle {}P\in E}$ definiert den Kreis ${\displaystyle {}K_{1}}$ mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}M_{1}}$ durch ${\displaystyle {}P}$ und den Kreis ${\displaystyle {}K_{2}}$ mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}M_{2}}$ durch ${\displaystyle {}P}$. Charakterisiere, wann die beiden Kreise genau einen Schnittpunkt besitzen.

c) Beweise die Charakterisierung aus b).

b) Es sei ${\displaystyle {}G}$ die Gerade durch ${\displaystyle {}M_{1}}$ und ${\displaystyle {}M_{2}}$. Die beiden Kreise besitzen genau dann einen gemeinsamen Schnittpunkt (nämlich ${\displaystyle {}P}$), wenn ${\displaystyle {}P\in G}$ ist.

c) Wenn ${\displaystyle {}P}$ nicht auf der Gerade liegt, so ist, da die Kreise symmetrisch zur Spiegelungsachse ${\displaystyle {}G}$ sind, auch der Spiegelungspunkt ${\displaystyle {}P'}$ ein Schnittpunkt der beiden Kreise. Wenn es umgekehrt neben ${\displaystyle {}P}$ noch einen weiteren Schnittpunkt ${\displaystyle {}P'}$ gibt, so ist die durch diese beiden Punkte definierte Gerade ${\displaystyle {}H}$ aus Symmetriegründen senkrecht zu ${\displaystyle {}G}$. Die Punkte liegen dann spiegelsymmetrisch zu ${\displaystyle {}G}$ und nicht auf ${\displaystyle {}G}$.

Beschreibe die Zahl ${\displaystyle {}\pi }$ durch eine anschauliche Konstruktion.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ der Körper der reellen, mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Zahlen und sei ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ ein Polynom.

a) Ist der Schnittpunkt der ${\displaystyle {}y}$-Achse mit dem Graphen zu ${\displaystyle {}P}$ konstruierbar?

b) Sind die Schnittpunkte der ${\displaystyle {}x}$-Achse mit dem Graphen zu ${\displaystyle {}P\neq 0}$ konstruierbar?

a) Die ${\displaystyle {}y}$-Koordinate der Schnittpunktes des Graphen mit der ${\displaystyle {}y}$-Achse ist

${\displaystyle {}P(0)=c_{0}\,,}$

der konstante Koeffizient des Polynoms. Dieser ist nach Voraussetzung eine reell-konstruierbare Zahl.

b) Das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}-2}$ besitzt rationale und insbesondere konstruierbare Koeffizienten. Es besitzt eine Nullstelle in ${\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{2}}}$, diese Zahl ist aber nach Korollar 27.1 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) nicht konstruierbar.

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}X^{6}-1}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$.

Es ist

${\displaystyle {}X^{6}-1={\left(X^{3}+1\right)}{\left(X^{3}-1\right)}={\left(X+1\right)}{\left(X^{2}-X+1\right)}{\left(X-1\right)}{\left(X^{2}+X+1\right)}\,}$

(zwei Polynomdivisionen). Die beiden quadratischen Polynome sind irreduzibel, da sie über ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ und erst recht über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ keine Nullstelle haben, da ${\displaystyle {}X^{6}-1}$ nur die beiden reellen Nullstellen ${\displaystyle {}\pm 1}$ besitzt.