Kurs:Invariantentheorie/1/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Isotropiegruppe ${\displaystyle {}G_{x}}$ zu einer Gruppenoperation

   ${\displaystyle G\times X\longrightarrow X}$

   und einem Punkt ${\displaystyle {}x\in X}$.

2. Der Invariantenring zu einer Operation (von rechts) einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$ auf einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ als Gruppe von Ringautomorphismen.
3. Die Hilbert-Reihe einer positiv graduierten Algebra ${\displaystyle {}R}$, bei der die Stufen ${\displaystyle {}R_{d}}$ endlichdimensional seien.
4. Ein noetherscher Ring.
5. Eine Überlagerung ${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$ zwischen topologischen Räumen.
6. Eine linear reduktive affin-algebraische Gruppe ${\displaystyle {}G}$ (über einem Körper ${\displaystyle {}K}$).

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Invariantenringe bei konjugierten Untergruppen.
2. Der Satz von Noether (Invariantentheorie).
3. Der Satz von Chevalley-Shephard-Todd.

Es seien ${\displaystyle {}a,b,c}$ die Seitenlängen eines Dreiecks. Zeige, dass der Flächeninhalt des Dreiecks gleich

${\displaystyle {}F={\frac {\sqrt {2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{4}}\,}$

ist.

Wir nehmen an, dass der Höhenfußpunkt zur Höhe durch ${\displaystyle {}C}$ zwischen ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}B}$ liegt. Es sei ${\displaystyle {}h}$ die Länge dieser Höhe und ${\displaystyle {}D}$ der Höhenfußpunkt. Es sei ${\displaystyle {}p}$ die Länge von ${\displaystyle {}A}$ nach ${\displaystyle {}D}$ und ${\displaystyle {}q}$ die Länge von ${\displaystyle {}B}$ nach ${\displaystyle {}D}$. Nach dem Satz des Pythagoras ist

${\displaystyle {}h^{2}+p^{2}=a^{2}\,}$

und

${\displaystyle {}h^{2}+(c-p)^{2}=b^{2}\,,}$

woraus sich

${\displaystyle {}a^{2}-p^{2}=b^{2}-(c-p)^{2}=b^{2}-c^{2}+2cp-p^{2}\,,}$

also

${\displaystyle {}a^{2}-b^{2}=-c^{2}+2cp\,}$

und

${\displaystyle {}p={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2c}}\,}$

ergibt. Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}h^{2}&=a^{2}-p^{2}\\&=a^{2}-{\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2c}}\right)}^{2}\\&={\frac {4a^{2}c^{2}-2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}{4c^{2}}}\\&={\frac {2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}{4c^{2}}}\end{aligned}}}$

und daher

${\displaystyle {}h={\frac {\sqrt {2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{2c}}\,}$

und letztlich

${\displaystyle {}F={\frac {1}{2}}ch={\frac {\sqrt {2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{4}}\,.}$

Zeige, dass die ${\displaystyle {}G}$- Äquivalenz bei einer Gruppenoperation in der Tat eine Äquivalenzrelation ist.

Die Gruppe ${\displaystyle {}G}$ operiere auf der Menge ${\displaystyle {}M}$. Die Symmetrie ergibt sich direkt aus ${\displaystyle {}ex=x}$ für alle ${\displaystyle {}x\in M}$. Zur Symmetrie. Es sei ${\displaystyle {}gx=y}$ mit einem ${\displaystyle {}g\in G}$. Wir wenden auf diese Gleichheit die Operation mit dem inversen Element ${\displaystyle {}g^{-1}}$ an und erhalten

${\displaystyle {}x=ex={\left(g^{-1}g\right)}x=g^{-1}(gx)=g^{-1}y\,.}$

Zur Transitivität. Es sei ${\displaystyle {}gx=y}$ und ${\displaystyle {}hy=z}$ mit ${\displaystyle {}g,h\in G}$. Dann ist

${\displaystyle {}(hg)x=h(gx)=hy=z\,,}$

also steht auch ${\displaystyle {}x}$ in Relation zu ${\displaystyle {}z}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}G}$ eine Gruppe, die auf ${\displaystyle {}R}$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass die Operation genau dann trivial ist, wenn ${\displaystyle {}R^{G}=R}$ ist.

Wenn die Gruppe ${\displaystyle {}G}$ trivial auf ${\displaystyle {}R}$ operiert, so ist

${\displaystyle {}fg=f\,}$

für alle ${\displaystyle {}f\in R}$ und ${\displaystyle {}g\in G}$. Also ist der Invariantenring gleich ${\displaystyle {}R}$. Wenn die Gruppe ${\displaystyle {}G}$ nicht trivial operiert, so gibt es zumindest ein Gruppenelement ${\displaystyle {}g}$, das nicht trivial operiert. Dann gibt es zumindest ein ${\displaystyle {}f\in R}$ mit ${\displaystyle {}gf\neq f}$ und somit ${\displaystyle {}f\notin R^{G}}$, also ${\displaystyle {}R^{G}\neq R}$.

Beweise den Satz über die Quotientenkörper von Invariantenringen.

Die Inklusion ${\displaystyle {}Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}}$ gilt nach Fakt *****  (3) für jede Gruppe. Zum Beweis der Umkehrung seien ${\displaystyle {}f,g\in R}$, ${\displaystyle {}g\neq 0}$, mit ${\displaystyle {}{\frac {f}{g}}\in (Q(R))^{G}}$ gegeben. Wir betrachten

${\displaystyle {}h=\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \,.}$

Dann gelten in ${\displaystyle {}Q(R)}$ die Identitäten

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {f}{g}}&={\frac {hf}{hg}}\\&={\frac {hf}{{\left(\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \right)}g}}\\&={\frac {hf}{\prod _{\sigma \in G}g\sigma }}.\end{aligned}}}$

Nach Voraussetzung ist der Bruch und in dieser Darstellung offenbar auch der Nenner (siehe Aufgabe *****) invariant. Also muss auch der Zähler invariant sein und somit ist ${\displaystyle {}{\frac {f}{g}}\in {\left(R^{G}\right)}}$.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein kommutatives Monoid, ${\displaystyle {}\Gamma }$ seine Differenzengruppe und ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Zeige, dass die Spektrumsabbildung

${\displaystyle K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(\Gamma \right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(M\right)}}$

injektiv ist.

Seien

${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}\colon \Gamma \longrightarrow K}$

Monoidhomomorphismen, also Elemente aus dem Spektrum zu ${\displaystyle {}\Gamma }$. Die Einschränkungen auf ${\displaystyle {}M}$, also die Verknüpfungen ${\displaystyle {}\varphi _{1}\circ i}$ und ${\displaystyle {}\varphi _{2}\circ i}$ mit ${\displaystyle {}i\colon M\rightarrow \Gamma }$, seien identisch. Es ist ${\displaystyle {}\varphi _{1}=\varphi _{2}}$ zu zeigen. Es sei ${\displaystyle {}f-g\in \Gamma }$ mit ${\displaystyle {}f,g\in M}$. Da ${\displaystyle {}\Gamma }$ eine Gruppe ist, wird jedes Element auf eine Einheit in ${\displaystyle {}K}$ abgebildet. Also ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi _{1}(f-g)&=\varphi _{1}(f)\cdot \varphi _{1}(g)^{-1}\\&=\varphi _{2}(f)\cdot \varphi _{2}(g)^{-1}\\&=\varphi _{2}(f-g).\end{aligned}}}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}A}$ eine kommutative ${\displaystyle {}K}$- Algebra, die als ${\displaystyle {}K}$- Modul endlich sei. Zeige, dass ein Element ${\displaystyle {}f\in A}$ genau dann eine Einheit ist, wenn es ein Nichtnullteiler ist.

Wenn ${\displaystyle {}f}$ eine Einheit ist, so gibt es ${\displaystyle {}g\in A}$ mit ${\displaystyle {}gf=1}$. Aus ${\displaystyle {}fh=0}$ folgt dann direkt

${\displaystyle {}h=gfh=g0=0\,.}$

Also ist ${\displaystyle {}f}$ ein Nichtnullteiler.

Wenn umgekehrt ${\displaystyle {}f}$ ein Nichtnullteiler ist, so betrachten wir die ${\displaystyle {}K}$- lineare Multiplikationsabbildung

${\displaystyle \mu _{f}\colon A\longrightarrow A,\,h\longmapsto fh,}$

die in diesem Fall injektiv ist. Da ${\displaystyle {}A}$ als Modul endlich über dem Körper ${\displaystyle {}K}$ ist, ist ${\displaystyle {}A}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum. Nach Fakt ***** ist dann ${\displaystyle {}\mu _{f}}$ auch surjektiv, was insbesondere bedeutet, dass es ein ${\displaystyle {}g\in A}$ mit

${\displaystyle {}fg=1\,}$

gibt. Dies bedeutet aber, dass ${\displaystyle {}f}$ eine Einheit ist.

Beweise den Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.

(1) ${\displaystyle {}\Rightarrow }$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von ${\displaystyle {}x}$ erzeugte ${\displaystyle {}R}$-Unteralgebra ${\displaystyle {}R[x]}$ von ${\displaystyle {}S}$, die aus allen polynomialen Ausdrücken in ${\displaystyle {}x}$ mit Koeffizienten aus ${\displaystyle {}R}$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung

${\displaystyle {}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,}$

ergibt sich

${\displaystyle {}x^{n}=-r_{n-1}x^{n-1}-r_{n-2}x^{n-2}-\cdots -r_{1}x-r_{0}\,.}$

Man kann also ${\displaystyle {}x^{n}}$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit ${\displaystyle {}x^{i}}$ kann man jede Potenz von ${\displaystyle {}x}$ mit einem Exponenten ${\displaystyle {}\geq n}$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad ${\displaystyle {}\leq n-1}$ ersetzen. Damit ist

${\displaystyle {}R[x]=R+Rx+Rx^{2}+\cdots +Rx^{n-2}+Rx^{n-1}\,}$

und die Potenzen ${\displaystyle {}x^{0}=1,x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n-1}}$ bilden ein endliches Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}T=R[x]}$.

(2) ${\displaystyle {}\Rightarrow }$ (3). Sei ${\displaystyle {}x\in T\subseteq S}$, ${\displaystyle {}T}$ eine ${\displaystyle {}R}$-Unteralgebra, die als ${\displaystyle {}R}$-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist ${\displaystyle {}xT\subseteq T}$, und ${\displaystyle {}T}$ enthält den Nichtnullteiler ${\displaystyle {}1}$.

(3) ${\displaystyle {}\Rightarrow }$ (1). Sei ${\displaystyle {}M\subseteq S}$ ein endlich erzeugter ${\displaystyle {}R}$-Untermodul mit ${\displaystyle {}xM\subseteq M}$. Es seien ${\displaystyle {}y_{1},\ldots ,y_{n}}$ erzeugende Elemente von ${\displaystyle {}M}$. Dann ist insbesondere ${\displaystyle {}xy_{i}}$ für jedes ${\displaystyle {}i}$ eine ${\displaystyle {}R}$-Linearkombination der ${\displaystyle y_{j},\,j=1,\ldots ,n}$. Dies bedeutet

${\displaystyle {}xy_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}y_{j}\,}$

mit ${\displaystyle {}r_{ij}\in R}$, oder, als Matrix geschrieben,

${\displaystyle {}x{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1,1}&r_{1,2}&\ldots &r_{1,n}\\r_{2,1}&r_{2,2}&\ldots &r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n,1}&r_{n,2}&\ldots &r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.}$

Dies schreiben wir als

${\displaystyle {}0={\begin{pmatrix}x-r_{1,1}&-r_{1,2}&\ldots &-r_{1,n}\\-r_{2,1}&x-r_{2,2}&\ldots &-r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-r_{n,1}&-r_{n,2}&\ldots &x-r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.}$

Nennen wir diese Matrix ${\displaystyle {}A}$ (die Einträge sind aus ${\displaystyle {}S}$), und sei ${\displaystyle {}A^{\operatorname {adj} }}$ die adjungierte Matrix. Dann gilt ${\displaystyle {}A^{\operatorname {adj} }Ay=0}$ (${\displaystyle {}y}$ bezeichne den Vektor ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$) und nach der Cramerschen Regel ist ${\displaystyle {}A^{\operatorname {adj} }A=(\det A)E_{n}}$, also gilt ${\displaystyle {}((\det A)E_{n})y=0}$. Es ist also ${\displaystyle {}(\det A)y_{j}=0}$ für alle ${\displaystyle {}j}$ und damit

${\displaystyle {}(\det A)z=0\,}$

für alle ${\displaystyle {}z\in M}$. Da ${\displaystyle {}M}$ nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss ${\displaystyle {}\det A=0}$ sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in ${\displaystyle {}x}$ vom Grad ${\displaystyle {}n}$, sodass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.

Beweise den Satz über die Hilbert-Reihe eines positiv graduierten Polynomringes ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$

Die Monome ${\displaystyle {}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}}$ vom Gesamtgrad ${\displaystyle {}d=\sum _{j=1}^{n}d_{j}\nu _{j}}$ bilden eine ${\displaystyle {}K}$- Basis von ${\displaystyle {}R_{d}}$. Die Dimension der ${\displaystyle {}d}$-ten Stufe ${\displaystyle {}R_{d}}$ ist also die Anzahl der Elemente in der Menge

${\displaystyle {}A_{d}:={\left\{(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}\mid \nu _{1}d_{1}+\ldots +\nu _{n}d_{n}=d\right\}}\,.}$

Die Behauptung folgt somit aus

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{d=0}^{\infty }\vert {A_{d}}\vert z^{d}&=\sum _{d=0}^{\infty }\sum _{(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in A_{d}}z^{d}\\&={\left(\sum _{\nu _{1}=0}^{\infty }z^{\nu _{1}d_{1}}\right)}\cdots {\left(\sum _{\nu _{n}=0}^{\infty }z^{\nu _{n}d_{n}}\right)}\\&={\frac {1}{1-z^{d_{1}}}}\cdots {\frac {1}{1-z^{d_{n}}}},\end{aligned}}}$

wobei wir im letzten Schritt die Formel für die geometrische Reihe verwendet haben.