Über Kurven und rationale Punkte

Eine algebraische Kurve ist im Prinzip eine große Familie von Punkten, die alle eine gemeinsame algebraische Relation erfüllen. Das bedeutet, dass es eine Gleichung zu Null gibt, in der ausschließlich addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert wird, die von allen Punkten gleichzeitig erfüllt wird. Ein Beispiel ist die Gleichung ${\displaystyle x^{2}-1=0}$ (${\displaystyle x}$ wird lediglich mit sich selbst multipliziert und anschließend wird 1 vom Ergebnis subtrahiert), die genau von ${\displaystyle x=\pm 1}$ gelöst wird. Somit bildet die Familie ${\displaystyle \{-1,1\}}$ die „Vorstufe“ einer Kurve, obgleich zwei Punkte noch nicht eine „kurvige“ Anschauung hervorrufen.

Ein erstes nicht-triviales und häufig genanntes Beispiel einer Kurve ist der Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt ${\displaystyle (0,0)}$ in der Zahlenebene, der genau durch die Punkte ${\displaystyle (x,y)}$ gegeben ist, welche die Relation ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ erfüllen. Es können also auch Punkte mit mehr als einer Koordinate Kurven bilden, und tatsächlich wird es auch erst hier „reichhaltiger“. Dass die reellen Lösungen der Gleichung ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ einen Kreis bilden, kann mit dem Satz des Pythagoras bewiesen werden. Von Interesse ist, dass eine eigentlich geometrische Figur wie der Kreis von einer algebraischen Relation herrührt. Auch anderen Gebilden wie Geraden, Ebenen, Hyperbeln etc. liegen algebraische Gleichungen zugrunde.

Während der Kreis erst durch Betrachtung aller reellen Zahlen „lückenlos“ entstehen kann, so liegt etwa ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}$ auf dem Kreis, da

${\displaystyle \left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}=1,}$

ist es für die Zahlentheorie von Interesse, Punkte auf Kurven zu finden, die ganz besonders „einfach“ sind. Damit sind zum Beispiel rationale Punkte gemeint, die neben der ohnehin schon restriktiven Kurvenlage die Eigenschaft haben sollen, dass ihre Koordinaten durch Quotienten ganzer Zahlen beschrieben werden können. So ist es eine klassische Frage der Zahlentheorie, welche rationalen Punkte auf dem Kreis ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ liegen. Zum Beispiel ist ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}$ kein rationaler Punkt, da man weiß, dass die Quadratwurzel aus 2 keine rationale Zahl ist. Beispiele für rationale Punkte sind ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}}\right)}$, da

${\displaystyle \left({\tfrac {3}{5}}\right)^{2}+\left({\tfrac {4}{5}}\right)^{2}={\tfrac {9}{25}}+{\tfrac {16}{25}}={\tfrac {9+16}{25}}={\tfrac {25}{25}}=1,}$

aber auch ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {5}{13}},{\frac {12}{13}}\right)}$ sowie ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {20}{101}},{\frac {99}{101}}\right)}$. Diese Punkte leiten sich aus den pythagoreischen Tripeln ab, also nicht-trivialen ganzen Zahlen ${\displaystyle (a,b,c)}$ mit ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$. Es kann über elementare Methoden gezeigt werden, dass es unendlich viele primitive pythagoreische Tripel gibt, also solche, die nicht ganze Vielfache anderer Tripel sind, weshalb der Kreis tatsächlich „übersät“ mit rationalen Punkten ist, siehe dazu auch in den Artikel Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis. Allgemein gelten quadratische Kurven hinsichtlich rationaler Punkte als weitgehend verstanden.

Bereits durch dieses Beispiel wird eine Synthese aus Geometrie (Figuren, hier ein Kreis), Algebra (Gleichungen, die nur Grundrechenarten verwenden) und Zahlentheorie (rationale Zahlen) erkennbar.

Elliptische Kurven

Bei Weitem nicht so zugänglich sind sogenannte elliptische Kurven (über den rationalen Zahlen), die allgemein in der Form ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$ mit rationalen Zahlen ${\displaystyle a,b}$ beschrieben werden können. Während der geometrischen Figur des Kreises eine quadratische Gleichung zugrunde lag, handelt es sich bei einer elliptischen Kurve um eine kubische Gleichung (also mit Termen hoch 3). Das Besondere an elliptischen Kurven ist, dass man aus zwei bereits bekannten (rationalen) Punkten ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$ über eine Verknüpfung ${\displaystyle P_{1}+P_{2}}$ einen neuen rationalen Punkt ${\displaystyle P_{3}}$ berechnen kann, genauso wie man aus zwei ganzen Zahlen mit der Addition eine neue ganze Zahl erzeugen kann. Bei der Addition eines rationalen Punktes zu sich selbst können zwei Situationen eintreten: Entweder der betrachtete Punkt ist von endlicher Ordnung und schließt einen endlichen Zyklus, d. h., irgendwann tritt die Situation ${\displaystyle P+P+P+\dotsb +P=P}$ ein und es geht von vorne los, oder es entstehen bis ins Unendliche immer neue Punkte, was vergleichbar mit der Erzeugung aller natürlicher Zahlen durch ${\displaystyle 1+1+1+1+\dotsb }$ ist. In diesem Fall sagt man, dass ${\displaystyle P}$ unendliche Ordnung hat. Gelegentlich spricht man bei Punkten endlicher Ordnung auch von trivialen und bei welchen mit unendlicher Ordnung auch von nicht-trivialen Punkten.

Die Theorie der elliptischen Kurven ist äußerst umfangreich, zahlentheoretisch im Zusammenhang mit dem großen Satz von Fermat von Bedeutung und wird von Mathematikern wie Henri Cohen auf den Umfang vieler tausend Seiten (in moderner mathematischer Sprache) geschätzt. Trotz ihrer Strukturen sind manche ihrer Eigenschaften bis heute nicht geklärt. So kennt man bis heute keinen allgemeinen Algorithmus, der endlich viele rationale Punkte liefert, mit deren Hilfe alle anderen rationalen Punkte auf der Kurve durch Verknüpfung gewonnen werden können (eine positive Antwort auf die starke Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer würde jedoch einen solchen Algorithmus liefern). Jedoch können Heegner-Punkte in manchen Fällen dabei helfen, nicht-triviale rationale Punkte zu erzeugen.

Was elliptische Kurven über den rationalen Zahlen, neben ihrer Fähigkeit einer Punktaddition, so in den Fokus des Interesses rückt, ist die Tatsache, dass sie die einzigen Kurven sind, die endlich, aber auch unendlich viele rationale Punkte haben können. Elliptische Kurven haben nämlich das Geschlecht ${\displaystyle g=1}$ und nach der Vermutung von Mordell, bewiesen von Gerd Faltings, haben Kurven von Geschlecht ${\displaystyle g=0}$ mit einem rationalen Punkt bereits unendlich viele rationale Punkte, während Kurven von Geschlecht ${\displaystyle g\geq 2}$ stets nur endlich viele rationale Punkte haben können. Für seine Leistung wurde Faltings 1986 mit der Fields-Medaille geehrt.

Parametrisierung von elliptischen Kurven

Die Eigenschaft einer elliptischen Kurve, über den komplexen Zahlen ein Donut zu sein, kann dadurch erklärt werden, wie sich diese parametrisieren lässt.

Eine Parametrisierung ist eine Abbildung von einem „einfachen“ Parameterobjekt in ein „kompliziertes“ Zielobjekt, mit dessen Hilfe durch Einsetzen von beliebigen Eingaben (Parametern) des Parameterobjekts beliebige nicht-triviale Teile des Zielobjekts erzeugt werden können. Mit „einfach“ ist gemeint, dass das Parameterobjekt in erster Linie ein „bekanntes Parameterobjekt“ ist, über das genügend Wissen vorhanden ist und aus dessen Vorrat nun nacheinander Werte eingesetzt werden, um damit ein anderes (unbekanntes, komplizierteres oder strukturell anspruchsvolleres) Objekt aufzubauen. Oft handelt es sich sowohl bei den Ein- als auch bei den Ausgaben um Punkte, die in ihrer Kollektion ein geometrisches Objekt darstellen.

Ein Beispiel einer Parametrisierung ist die des Kreises: Das „einfache“ Parameterobjekt ist hierbei das Intervall ${\displaystyle [0,1]}$, also alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1, über dessen Inhalt wir kanonisch verfügen, und das „komplizierte“ Zielobjekt der Kreis, wobei eine mögliche Abbildung

${\displaystyle t\mapsto (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$

ist. Nach dem Satz des Pythagoras ist ${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$ unabhängig von der Eingabe ${\displaystyle \theta }$, womit aufgrund der Periodizität und Stetigkeit von Sinus und Kosinus der gesamte Kreis erzeugt wird. Nutzt man die Veranschaulichung der komplexen Zahlen ${\displaystyle a+ib}$ (mit reellen Zahlen ${\displaystyle a,b}$) als Punkte ${\displaystyle (a,b)}$, vereinfacht sich die Parametrisierung zu

${\displaystyle t\mapsto e^{2\pi it}.}$

Für den Zusammenhang zwischen Sinus, Kosinus und der komplexen Exponentialfunktion siehe auch Eulersche Formel. Aus geometrischer bzw. topologischer Sicht wird das Intervall ${\displaystyle [0,1]}$, ein „Faden“ mit einer Längeneinheit, an beiden Enden genommen und zu einem Kreis zusammengeschlossen.

Das Besondere an der Kreisparametrisierung ist, dass sie von einer transzendenten Funktion generiert wird, nämlich ${\displaystyle f(t)=e^{2\pi it}}$. Dabei bedeutet transzendent, dass es kein allgemeines Prinzip gibt, die Funktionswerte ${\displaystyle e^{2\pi it}}$ durch endlich viele Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen oder Divisionen aus den Eingaben ${\displaystyle t}$ und festen Zahlen zu erzeugen. Unter diesen Umständen ist eigentlich zu erwarten, dass die Funktionswerte unter rationalen Eingaben ${\displaystyle t}$ keine besondere Struktur haben (es ist ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ zwar ein Körper, aber es wird nicht gefordert, dass dieser unter unendlich vielen algebraischen Operationen immer noch abgeschlossen sein muss). Erschwerend machen die algebraischen Zahlen im asymptotischen Sinne 0 % aller komplexen Zahlen aus, weshalb ein „Zufall“ ausgeschlossen wäre. Tatsächlich aber kann mittels Potenzgesetzen gezeigt werden, dass jeder der Werte ${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}$ mit rationalen Zahlen ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ eine algebraische Zahl ist, nämlich der Gleichung ${\displaystyle x^{q}-1=0}$ genügt. Die Algebraizität überträgt sich dann auf die einzelnen Komponenten ${\displaystyle \sin(2\pi t)}$ und ${\displaystyle \cos(2\pi t)}$. Demnach sind alle rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ in gewisser Weise die „Heegner-Punkte des Kreises“, da diese unter der Parametrisierung algebraische Punkte auf dem Kreis erzeugen. Beispielsweise ist

${\displaystyle f\left({\tfrac {1}{8}}\right)={\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},}$

wobei ${\displaystyle \left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)}$ auf dem Einheitskreis liegt (siehe oben).

Bei der Parametrisierung einer Menge von Punkten ${\displaystyle (x,y)}$, die alle gemeinsam eine Gleichung ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$ erfüllen, also einer elliptischen Kurve, wird im Prinzip genauso verfahren. Da diese mittels elliptischer Funktionen erfolgt, werden statt reeller Werte dieses Mal komplexe Zahlen in die Parameterfunktionen eingesetzt. Gesucht ist auch hier ein Funktionenpaar ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$, ähnlich wie Sinus und Kosinus, sodass für jedes ${\displaystyle t}$ aus den komplexen Zahlen ${\displaystyle g(t)^{2}=f(t)^{3}+af(t)+b}$ gilt. Nach Einsetzen eines Wertes ${\displaystyle t}$ lassen sich auch dann Koordinaten ${\displaystyle (x,y)=(f(t),g(t))}$ der Kurve abschreiben. Auch hier bedient man sich periodischer Funktionen, die jedoch von vornherein auf den komplexen Zahlen definiert werden. Als solche ordnen sie jedem Punkt einer Ebene (= jeder komplexen Zahl) eine komplexe Zahl zu. Als passende Objekte bieten sich die Weierstraßschen ℘-Funktionen an.

Diese Form der Parametrisierung ist aus Sicht der Funktionentheorie elementar, gibt aber noch keine Auskünfte über rationale Punkte auf der Kurve. Dafür muss eine andere, weit schwierigere, Parametrisierung betrachtet werden, siehe unten.

Definition von Heegner-Punkten über quadratische Gleichungen und Beispiele

Heegner-Punkte sind komplexe Zahlen mit positivem Imaginärteil, die irgendeine quadratische Gleichung der Form ${\displaystyle A\tau ^{2}+B\tau +C=0}$ mit ganzen Zahlen ${\displaystyle A>0,B,C}$ lösen. Es wird stets davon ausgegangen, dass ${\displaystyle A,B}$ und ${\displaystyle C}$ als größten gemeinsamen Teiler die ${\displaystyle 1}$ haben. Wegen der Lösungsformel/Mitternachtsformel drückt sich die Lösung mit positivem Imaginärteil der quadratischen Gleichung durch

${\displaystyle \tau ={\frac {-B+{\sqrt {B^{2}-4AC}}}{2A}}={\frac {-B+i{\sqrt {4AC-B^{2}}}}{2A}}}$

aus, wobei im letzten Schritt ${\displaystyle {\sqrt {-1}}=:i}$ gesetzt wurde. Die Zahl unter der Wurzel, nämlich ${\displaystyle B^{2}-4AC}$ wird als negativ gefordert, da sonst die Wurzel keine imaginäre Zahl erzeugen würde. Sie heißt auch die Diskriminante des Heegner-Punktes ${\displaystyle \tau }$ und wird manchmal als ${\displaystyle D(\tau )}$ notiert.

Darüber hinaus ist es entscheidend, Heegner-Punkten, neben ihrer Diskriminanten, weitere Daten zuzuordnen. Dies geschieht, um sie bei späteren Rechnungen mit passenden Objekten in Verbindung bringen zu können. Ferner sind diese Daten Teil der vollständigen Definition eines Heegner-Punktes und geben Auskunft darüber, auf welcher geometrischen Figur er später „gefunden“ werden kann. Zum einen hat man das Level von ${\displaystyle \tau }$, das aus der Gleichung ${\displaystyle A\tau ^{2}+B\tau +C=0}$ abgelesen werden kann. Es ist eine positive ganze Zahl ${\displaystyle N}$, die ${\displaystyle A}$ teilt, sodass der größte gemeinsame Teiler von ${\displaystyle {\tfrac {A}{N}},B}$ und ${\displaystyle CN}$ gleich ${\displaystyle 1}$ ist. Es hat die Eigenschaft, dass der Heegner-Punkt ${\displaystyle N\tau }$ die gleiche Diskriminante hat wie ${\displaystyle \tau }$.

Eine sehr wichtige Eigenschaft von Heegner-Punkten ${\displaystyle \tau }$ des Levels ${\displaystyle N}$ und der Diskriminante ${\displaystyle D(\tau )}$ ist, dass jede aus diesen umgeformte Zahl

${\displaystyle {\frac {a\tau +b}{Nc\tau +d}}}$

mit ganzen Zahlen ${\displaystyle a,b,c,d}$, sodass ${\displaystyle ad-Nbc=1}$ gilt, wieder ein Heegner-Punkt von Level ${\displaystyle N}$ und Diskriminante ${\displaystyle D(\tau )}$ ist. Dabei handelt es sich um eine Transformation mittels sog. Kongruenzuntergruppen. Es ist sogar möglich, ${\displaystyle \tau }$ mit all diesen Punkten zu identifizieren, da all diese wichtigen Eigenschaften nach der Transformation erhalten bleiben. Man nennt zwei miteinander identifizierte Punkte äquivalent. Beispielsweise sind auf Ebene von Level 1 die Punkte ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle {\tfrac {i}{i+1}}}$ und ${\displaystyle {\tfrac {4i+1}{11i+3}}}$ zueinander äquivalent. Jedoch sind ${\displaystyle i}$ und ${\displaystyle {\tfrac {i}{i+1}}}$ nicht äquivalent bei Level 11, jedoch noch ${\displaystyle i}$ und ${\displaystyle {\tfrac {4i+1}{11i+3}}}$. Generell steigt die Anzahl der möglichen Äquivalenzklassen mit dem Level an.

Dadurch wird motiviert, dass nur ein kleiner Teil von Heegner-Punkten auf der oberen Halbebene überhaupt betrachtet werden muss, da die dazu äquivalenten wegfallen. Man sagt auch, dass man die Klassen zueinander äquivalenter Punkte betrachtet. Dieses Identifizierungs-Prinzip lässt sich durch ein bekannteres Beispiel veranschaulichen: Es ist möglich eine beliebige reelle Zahl ${\displaystyle x}$ mit allen Zahlen zu identifizieren, die von der Form ${\displaystyle x+n}$ sind, wobei ${\displaystyle n}$ eine ganze Zahl ist. Somit hätten ${\displaystyle {\sqrt {2}}-42}$ und ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ dieselben „Eigenschaften“. Nach Berücksichtigung dieser Äquivalenz ist es ausreichend, das Intervall ${\displaystyle [0,1)}$ statt ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ zu studieren und 1-periodische Funktionen wie ${\displaystyle \sin(2\pi x)}$ behandeln äquivalente Punkte gleich. Der auf dem rechten Bild gezeigte graue Bereich ist eine Fläche, auf der die Klassen bezüglich Level 1 zusammengefasst sind – jedoch wäre auch jeder andere von blauen Linien umrandete Bereich wählbar. Es ist daher naheliegend, Funktionen auf der oberen Halbebene zu betrachten, die beim Wechsel zwischen zueinander äquivalenten (Heegner-)Punkten bzw. zwischen verschiedenen Identifizierungsbereichen ihren Wert nicht ändern, so wie ${\displaystyle \sin(2\pi x)}$ seinen Wert beim Wechsel ${\displaystyle x\mapsto x+42}$ von ${\displaystyle [0,1)}$ zu ${\displaystyle [42,43)}$ nicht ändert. Für die Level-1-Klassen ist eine solche invariante Funktion die sog. j-Funktion. Zum Beispiel ist

${\displaystyle j(i)=j\left({\frac {i}{i+1}}\right)=j\left({\frac {4i+1}{11i+3}}\right)}$

usw. Und genau wie ${\displaystyle x\mapsto (\cos(2\pi x),\sin(2\pi x))}$ aus ${\displaystyle [0,1)}$ einen Kreis – durch Biegen und an beiden Enden verkleben – parametrisiert, formt ${\displaystyle \tau \mapsto (j(\tau ),j(N\tau ))}$ aus dem Level-N-Identifizierungsbereich eine Modulkurve. Diese nennt man auch ${\displaystyle X_{0}(N)}$. Unter dieser Abbildung verwandeln sich Heegner-Punkte ${\displaystyle \tau }$ mit Level ${\displaystyle N}$ zu Punkten ${\displaystyle (j(\tau ),j(N\tau ))=(x,y)}$ auf der entsprechenden Modulkurve, werden aber weiterhin so bezeichnet. Als Kurven bestehen Modulkurven aus Punkten, die eine algebraische Gleichung lösen, siehe unten.

Die Anzahl der Klassen von Heegner-Punkten unter obiger Identifizierung hängt nach fester Wahl einer Diskriminante eng mit der Klassenzahl des Körpers ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ zusammen. Fixiert man eine Diskriminante, so liegen außerdem stets nur endlich viele Heegner-Punkte des betrachteten Levels und dieser Diskriminante in einem Identifizierungsbereich. Es gilt, dass die Anzahl „im Wesentlichen“ genau der Klassenzahl entspricht – hier wurden jedoch gewisse Transformationen ähnlich zu denen der Kongruenzuntergruppen noch nicht berücksichtigt, die ebenfalls Heegner-Punkte auf solche mit gleichen Eigenschaften senden. Diese nennt man auch Involutionen. Da sie aber nicht Teil der Kongruenzuntergruppen sind, werden die dadurch verwandten Punkte auch nach der Identifizierung durch die Kongruenzuntergruppe noch unterschieden. Erst nach erneuter Identifizierung von Klassen, die mit Involutionen auseinander hervorgehen, sind es schließlich genau so viele Klassen wie die Klassenzahl von ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$.

Der bereits in der Einleitung gezeigte Punkt

${\displaystyle \tau ={\frac {1+i{\sqrt {163}}}{2}}}$

ist ein Heegner-Punkt mit Level 1, denn es gilt

${\displaystyle (x-\tau )(x-{\overline {\tau }})=\left(x-{\frac {1+i{\sqrt {163}}}{2}}\right)\left(x-{\frac {1-i{\sqrt {163}}}{2}}\right)=x^{2}-x+41.}$

Ein Beispiel für einen Heegner-Punkt mit Level 3 ist

${\displaystyle \tau ={\frac {-1+i{\sqrt {59}}}{6}},}$

der mit der quadratischen Form ${\displaystyle 3x^{2}+xy+5y^{2}}$ mit Diskriminante ${\displaystyle D(\tau )=1^{2}-4\cdot 3\cdot 5=1-60=-59}$ korrespondiert. Ferner ergibt sich, dass zum Beispiel auch

${\displaystyle {\frac {4\tau +1}{15\tau +4}}={\frac {3558+6i{\sqrt {59}}}{13356}}}$

ein Heegner-Punkt mit Level 3 und Diskriminante ${\displaystyle -59}$ ist, denn ${\displaystyle 4\cdot 4-1\cdot 15=1}$.

Von Modulkurven zu elliptischen Kurven: Eine Veranschaulichung

Die Parametrisierung ${\displaystyle z\mapsto (\wp (z),\wp '(z))}$, mit der Weierstraßschen ℘-Funktion, beschreibt zwar die Figur einer elliptischen Kurve, bringt aber keine zahlentheoretischen Informationen. Um rationale Punkte auf einer elliptischen Kurve konstruieren zu können, müssten einfache Punkte ${\displaystyle z}$ auf der Periodenmasche bekannt sein, sodass die Koordinaten ${\displaystyle (\wp (z),\wp '(z))}$ rational sind. Solche hypothetischen „Heegner-Punkte“ gibt es im Allgemeinen jedoch nicht, bzw. sie können nicht einfach erraten werden. Dank des Modularitätssatzes, der nach längerer Zeit von Andrew Wiles und anderen bewiesen werden konnte, ist allerdings bekannt, dass es noch eine weitere Art gibt, elliptische Kurven ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$, die über den rationalen Zahlen definiert sind (also mit ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} }$), zu parametrisieren. Auch in diesem Falle ist die Funktion, die bei der Abbildung eine Rolle spielt, periodisch und transzendent. Jedoch ist die Abbildung deutlich komplizierter als die Variante mittels der Weierstraßschen ℘-Funktionen. Beim Parameterobjekt handelt es sich um die obere Halbebene, also alle komplexen Zahlen mit positivem Imaginärteil.

Dafür wird der Führer ${\displaystyle N}$ der elliptischen Kurve ausgerechnet, eine positive ganze Zahl. Dieser sagt aus, dass die elliptische Kurve von der Modulkurve ${\displaystyle X_{0}(N)}$ parametrisiert wird: Da die parametrisierende Funktion auf der oberen Halbebene unter Substitution ${\displaystyle \tau \mapsto {\tfrac {a\tau +b}{Nc\tau +d}}}$ mit ganzen Zahlen ${\displaystyle ad-Nbc=1}$ auf der elliptischen Kurve unverändert bleibt, ist dies mathematisch sinnvoll. Zwar wirkt das Parameterobjekt jetzt viel komplizierter, aber im Gegensatz zur elliptischen Kurve bzw. Periodenmasche können auf diesem Objekt manche algebraischen Punkte (ggf. sogar rationale Punkte) direkt erraten werden – die sog. Heegner-Punkte. Der Schlüssel zu der Erkenntnis, dass die Punkte ${\displaystyle (j(\tau ),j(N\tau ))}$ mit einem Level-N-Heegner-Punkt algebraische Koordinaten haben, ist, dass sich die quadratische Gleichung ${\displaystyle A\tau ^{2}+B\tau +C=0}$ zu

${\displaystyle {\frac {-C}{A\tau +B}}=\tau }$

umformen lässt. Aus den Invarianzeigenschaften von ${\displaystyle j}$ kann argumentiert werden, dass es dann bereits ganze Zahlen ${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\dotsc ,a_{0}}$ gibt, sodass

${\displaystyle a_{n}j(\tau )^{n}+a_{n-1}j(\tau )^{n-1}+\dotsb +a_{0}=0}$

ist. Ähnliches gilt für ${\displaystyle N\tau }$. Die von Wiles vorhergesagte direkte, transzendente Parametrisierung kann damit in zwei, in der Theorie, einfachere Abbildungen zerlegt werden, von denen die erste eine Zwischenparametrisierung der Modulkurve vorsieht. Dadurch wird der algebraische Charakter der Gesamtabbildung an den Heegner-Punkten sichtbar. Durch die Unterteilung geht die Abbildung von der oberen Halbebene in die Modulkurve und von der Modulkurve in die elliptische Kurve anstatt von der oberen Halbebene direkt in die elliptische Kurve:

• Parametrisierung der Modulkurve analog zur elliptischen Kurve: Über die j-Funktion werden Punkte von der oberen Halbebene mittels ${\displaystyle z\mapsto (j(z),j(Nz))=(x,y)}$ abgebildet, die eine Gleichung lösen, wie in etwa ${\displaystyle y^{2}=x^{7}-16x^{6}+4x^{3}-2x+87}$. Dabei ist ${\displaystyle N}$ eine bestimmte natürliche Zahl, die auch Führer der späteren elliptischen Kurve genannt wird.
• Abbildung von Punkten ${\displaystyle (x,y)}$ auf der Modulkurve, die also jene sehr komplizierte Gleichung lösen, auf Punkte der elliptischen Kurve mit Führer ${\displaystyle N}$, die die Gleichung ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$ lösen. Hier kommen keine Funktionen wie Sinus, Kosinus, ℘ oder j ins Spiel, sondern es handelt sich um eine schlichte algebraische Abbildung. Das bedeutet, dass Punkte ${\displaystyle (x,y)}$, die die Gleichung der Modulkurve erfüllen, auf Punkte ${\displaystyle (p(x,y),q(x,y))}$ abgebildet werden, die die Gleichung der elliptischen Kurve lösen, wobei ${\displaystyle p(x,y)}$ und ${\displaystyle q(x,y)}$ Polynome in zwei Variablen sind. Ein Beispiel für eine algebraische Abbildung wäre ${\displaystyle (x,0)\mapsto (x,x^{2})}$ von der Kurve ${\displaystyle y=0}$ auf die Normalparabel ${\displaystyle y=x^{2}}$. Es war eine der großen Leistungen von Andrew Wiles zu erklären, dass die (parametrisierende) Abbildung zwischen Modulkurve und elliptischer Kurve algebraisch ist. Dies ist bemerkenswert, weil die Funktion auf der oberen Halbebene transzendent war.

Es ist in der Praxis schwierig, sowohl die Gleichung der Modulkurven als auch die Polynome ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ explizit anzugeben, da diese mit steigendem Führer schnell kompliziert werden. Es wird daher bei berechnenden Algorithmen stets der Weg von der oberen Halbebene direkt in die elliptische Kurve gewählt, siehe unten.

Zusammenfassend: Da algebraische Punkte auf der Modulkurve mittels Heegner-Punkten und der j-Funktion „direkt ausgerechnet“ werden können und die folgende algebraische Abbildung von der Modulkurve in die elliptische Kurve die Algebraizität beibehält, werden durch dieses Verfahren algebraische Punkte auf der elliptischen Kurve generiert. Dies ist der analoge Teil zum Kreis – hier konnten mittels der transzendenten Funktion ${\displaystyle t\mapsto e^{2\pi it}}$ direkt algebraische Werte auf dem Kreis ausgerechnet werden (also spielt das Intervall ${\displaystyle [0,1]}$ hier die Rolle der oberen Halbebene).

Es ist selbst in der Praxis unüblich, die Gleichungen, die eine Modulkurve ${\displaystyle X_{0}(N)}$ definieren, hinzuschreiben, da diese sog. modular equations sehr schnell sehr kompliziert werden. Bereits im Fall ${\displaystyle N=2}$ findet man

${\displaystyle -x^{2}y^{2}+x^{3}+1488x^{2}y+1488xy^{2}+y^{3}-162000x^{2}+40773375xy-162000y^{2}+8748000000x+8748000000y-157464000000000=0.}$

Durch einen einzelnen Heegner-Punkt wird zunächst noch kein rationaler Punkt auf der elliptischen Kurve geboren. Auch im Gegensatz zum Kreis stammen Heegner-Punkte nicht aus den rationalen Zahlen, sondern liegen, wenn in der oberen Halbebene und nicht auf der Modulkurve startend, in einem quadratischen Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$ mit einer ganzen Zahl ${\displaystyle D<0}$. Dann ist ${\displaystyle D}$ die betreffende Diskriminante. Werden jedoch mehrere verwandte Heegner-Punkte geschickt miteinander verrechnet, kann in manchen Fällen gewährleistet werden, dass die damit erzeugten Punkte auf der elliptischen Kurve sogar rational sind. Die Anzahl der Heegner-Punkte, die benötigt wird, hängt dabei von der Klassenzahl des quadratischen Körpers ab, in dem sie liegen.

Die betrachtete Parametrisierung kann also, mitsamt diesem Prinzip, als eine verallgemeinerte Version von ${\displaystyle e^{2\pi it}}$ angesehen werden.

Der Modularitätssatz und Heegner-Punkte

Es ist bei der Berechnung rationaler Punkte auf elliptischen Kurven nicht sinnvoll, über die Gleichungen zu gehen, die Modulkurven definieren, siehe oben, sondern stattdessen wird direkt von der oberen Halbebene aus parametrisiert. Mittels der Parametrisierung ${\displaystyle f(\tau )}$ von Wiles werden Heegner-Punkte, also Lösungen quadratischer Gleichungen mit positivem Imaginärteil, durch die Funktion ${\displaystyle f(\tau )}$ auf einen Wert gesendet, der auf der zur elliptischen Kurve gehörigen Periodenmasche liegt. Von dort aus kann ${\displaystyle f(\tau )}$ über Anwendung der entsprechenden ℘-Funktionen auf ein Tupel ${\displaystyle (x(\tau ),y(\tau ))}$ gesendet werden, sodass ${\displaystyle y(\tau )^{2}=x(\tau )^{3}+ax(\tau )+b}$. Gleichzeitig haben diese ausgewählten ${\displaystyle x(\tau )}$ und ${\displaystyle y(\tau )}$ beide gute algebraische Eigenschaften, erfüllen für sich genommen also eine algebraische Gleichung. Im besten Falle handelt es sich bei ${\displaystyle (x(\tau ),y(\tau ))}$ um einen rationalen Punkt.

Aus den Daten ${\displaystyle E\colon y^{2}=x^{3}+ax+b}$ kann, das konnte Wiles zeigen, mittels eines Algorithmus die Parametrisierung ${\displaystyle f(\tau )}$ gewonnen werden. Für diesen ist es zunächst wichtig, dass ${\displaystyle a,b}$ beide rational sind. Zum Beispiel trifft dies bei der Kurve ${\displaystyle E\colon y^{2}=x^{3}-3x+1}$ zu. Für die Konstruktion von ${\displaystyle f}$ muss ${\displaystyle E}$ über Primzahlen betrachtet werden. Das bedeutet, dass bei einer Primzahl ${\displaystyle p}$ nur noch mit den Restklassen ${\displaystyle 0,1,2,\dotsc ,p-1}$ bei Teilung durch ${\displaystyle p}$ gerechnet wird. Zum Beispiel ist ${\displaystyle 7=2}$ modulo ${\displaystyle 5}$, da ${\displaystyle 7-2}$ durch ${\displaystyle 5}$ teilbar ist, also sowohl ${\displaystyle 7}$ als auch ${\displaystyle 2}$ nach Division mit ${\displaystyle 5}$ den gleichen Rest lassen. Bei der Konstruktion von ${\displaystyle f(\tau )}$ muss die Gleichung ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-3x+1}$ nur noch unter Aspekten der Restgleichheit betrachtet werden, aber theoretisch für alle Primzahlen nacheinander. Beispielsweise hätte man für ${\displaystyle p=2}$ nur zu prüfen, ob die vier Punkte ${\displaystyle (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}$ auf der modulo ${\displaystyle 2}$ reduzierten Kurve ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-3x+1}$ liegen, da ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle 1}$ die einzigen Reste modulo ${\displaystyle 2}$ sind. Durch Einsetzen in oberer Reihenfolge in ${\displaystyle E\colon y^{2}=x^{3}-3x+1}$ findet man ${\displaystyle 0=1,0=-1,1=1,1=-1}$, wobei die Aussagen ${\displaystyle 1=1}$ und ${\displaystyle 1=-1}$ modulo ${\displaystyle 2}$ beide wahr sind, da die Restklassen übereinstimmen. Also liegen hier 2 Punkte auf der Kurve. Ähnlich kann modulo beliebiger Primzahlen verfahren werden, und damit wird eine Folge ganzer Zahlen über die Lösungsanzahlen erzeugt. Aus dieser Folge kann wiederum eine Folge ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dotsc }$ ganzer Zahlen ermittelt werden, welche die Funktion ${\displaystyle f_{E}(\tau )}$ kodiert, die später zum Aufbau der Parametrisierung eingesetzt werden kann. Sie entsteht durch Bilden der Fourierreihe

${\displaystyle f_{E}(\tau ):=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{2\pi in\tau }=a_{1}e^{2\pi i\tau }+a_{2}e^{4\pi i\tau }+a_{3}e^{6\pi i\tau }+\dotsb }$.

Außerdem konnte Wiles beweisen, dass diese Funktion nicht nur, wegen der Fourierreihe, periodisch ist, sondern sogar noch weitere Transformationseigenschaften hat. Diese Transformationseigenschaften machen ${\displaystyle f_{E}(\tau )}$ zu einer Modulform und erlauben es, ${\displaystyle f_{E}(\tau )}$ dafür zu benutzen, auf der oben beschriebenen Modulkurve Integrale auszurechnen. Setzt man in das Integral

${\displaystyle f(\tau )=2\pi i\int _{i\infty }^{\tau }f_{E}(z)\mathrm {d} z=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n}}e^{2\pi in\tau }=a_{1}e^{2\pi i\tau }+{\frac {a_{2}}{2}}e^{4\pi i\tau }+{\frac {a_{3}}{3}}e^{6\pi i\tau }+\dotsb }$

einen Heegner-Punkt ein, wobei ${\displaystyle i\infty }$ der Punkt unendlich weit oben auf der oberen Halbebene ist, ist das Ergebnis zunächst eindeutig bestimmt. Die Summe als Ergebnis des Integrals wurde durch summandenweise Anwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Regel, dass ${\displaystyle {\tfrac {e^{xa}}{a}}}$ Stammfunktion von ${\displaystyle e^{ax}}$ ist, gewonnen. Man will jedoch nicht mehr die obere Halbebene, sondern die Modulkurve betrachten, denn Wiles’ Parametrisierung ist eine zwischen algebraischen Kurven und nur als solche kann sie eine algebraische Abbildung darstellen. Demnach müsste das Integral eigentlich unverändert bleiben, wenn man statt ${\displaystyle \tau }$ Heegner-Punkte einsetzt, die mit ${\displaystyle \tau }$ nach Verbiegen und Falten von Fundamentalbereichen zu einem Donut identifiziert werden. Man kann zeigen, dass die Eindeutigkeit als komplexe Zahl zwar verloren geht, jedoch wieder hergestellt wird, falls man das Ergebnis auf einer Periodenmasche sieht und es egal ist, welche Masche genau gewählt ist. Diese Periodenmasche gehört im Regelfall genau zur zu Beginn betrachteten expliziten elliptischen Kurve. Damit liegt das Ergebnis aber schon auf der betrachteten elliptischen Kurve und hat dort gute Eigenschaften.

Einordnung der zahlentheoretischen Bedeutung

Explizites Beispiel für das Vorgehen zur Konstruktion eines rationalen Punktes

Möchte man versuchen, einen nicht-trivialen rationalen Punkt auf einer elliptischen Kurve über den rationalen Zahlen mittels Heegner-Punkten zu finden, ist der Ausgangspunkt die Gleichung der Kurve. Dabei ist für die Rationalität des erzeugten Punktes wichtig, dass alle Heegner-Punkte eines Levels und einer bestimmten Diskriminante auf der Modulkurve einfließen. Dabei wurden Äquivalenzen bezüglich Involutionen schon berücksichtigt, was bedeutet, dass immer ${\displaystyle h(D)}$ (Klassenzahl) Punkte in den Algorithmus gepackt werden. Es wird exemplarisch das Beispiel

${\displaystyle E\colon y^{2}=x^{3}-157^{2}x}$

gewählt. Der erste Schritt ist, das Level dieser Kurve zu bestimmen. Dieses ist eine positive ganze Zahl und bestimmt nachher darüber, welche Heegner-Punkte für die Konstruktion in Frage kommen können – nämlich solche, die gleiches Level wie die Kurve haben. Das Level ${\displaystyle N}$ der elliptischen Kurve gibt die eindeutige Zahl, sodass die von Wiles genannte Parametrisierung ${\displaystyle X_{0}(N)\longrightarrow E}$ von der Modulkurve ${\displaystyle X_{0}(N)}$ in die Kurve ${\displaystyle E}$ existiert. Es kann mittels eines Algorithmus von John T. Tate aus den Koeffizienten der algebraischen Gleichung von ${\displaystyle E}$ berechnet werden. Im Falle von ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-157^{2}x}$ erhält man ${\displaystyle N=32\cdot 157^{2}=788\,768}$. Nun müssen systematisch zum Level passende Diskriminanten ${\displaystyle D<0}$ durchgegangen werden, die in die Formel von Gross und Zagier eingesetzt werden, um numerisch zu prüfen, ob für die kanonische Höhe des späteren rationalen Punktes ${\displaystyle 0}$ herauskommt oder nicht. Zum Beispiel liefert die Formel für ${\displaystyle D=-31}$ ein Ergebnis sehr nahe an ${\displaystyle 0}$, weshalb hier höchstwahrscheinlich ein Torsionspunkt herauskommt, der trivial ist. Bei ${\displaystyle D=-39}$ kommt jedoch nicht ${\displaystyle 0}$ heraus, also kann diese Diskriminante gewählt werden. Gesucht sind nun Heegner-Punkte des Levels ${\displaystyle N=788\,768}$ und Diskriminante ${\displaystyle D=-39}$. Die Klassenzahl von ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-39}})}$ ist 4, weshalb theoretisch 4 nicht zueinander äquivalente Heegner-Punkte gebraucht werden, jedoch kann der Algorithmus dies auf die 2 Punkte

${\displaystyle \tau _{1}={\frac {-1\,275\,547+i{\sqrt {39}}}{1\,577\,536}}}$

und

${\displaystyle \tau _{2}={\frac {-1\,275\,547+i{\sqrt {39}}}{3\,155\,072}}}$

reduzieren. Dahinter verbirgt sich ein Rechentrick, der Symmetrien zwischen je zwei betrachteten Punkten ausnutzt. Diese lösen die quadratischen Gleichungen ${\displaystyle 788\,768\tau _{1}^{2}+1\,275\,547\tau _{1}+515\,684=0}$ und ${\displaystyle 1\,577\,536\tau _{2}^{2}+1\,275\,547\tau _{2}+257\,842=0}$. Für die weiteren Rechnungen muss die zu ${\displaystyle E}$ zugehörige Modulform ${\displaystyle f_{E}}$ numerisch hinreichend gut ermittelt werden. Dann werden die Punkte ${\displaystyle \tau _{1}}$ und ${\displaystyle \tau _{2}}$ in die Parametrisierungen eingesetzt und durch eine Umformung wird alles in die Form gebracht, als wenn alle 4 inäquivalenten Punkte eingesetzt worden wären. Das Ergebnis ist nun Teil der Periodenmasche zur elliptischen Kurve, kann jedoch mittels ${\displaystyle z\mapsto (\wp (z),\wp '(z))}$ auf die eigentliche Kurve transportiert werden. Der durch diese Heegner-Punkte konstruierte rationale Punkt ist schließlich

${\displaystyle \left({\frac {95732359354501581258364453}{277487787329244632169121}},{\frac {834062764128948944072857085701103222940}{146172545791721526568155259438196081}}\right).}$

Dieser rationale Punkt beweist nach einem Satz von Tunnell, dass es zu ${\displaystyle d=157}$ ein rechtwinkliges Dreieck gibt, das ausschließlich rationale Seitenlängen und den Flächeninhalt ${\displaystyle 157}$ hat. Das zugeordnete rechtwinkelige Dreieck, berechnet von Don Zagier, hat die Seitenlängen (${\displaystyle a,b}$ Katheten, ${\displaystyle c}$ Hypotenuse):

${\displaystyle a={\frac {411340519227716149383203}{21666555693714761309610}}}$, ${\displaystyle b={\frac {6803298487826435051217540}{411340519227716149383203}}}$ und ${\displaystyle c={\frac {224403517704336969924557513090674863160948472041}{8912332268928859588025535178967163570016480830}}.}$

Webers Algebra

Der Grundstein der Theorie um Heegner-Punkte wurde bereits 1908 in Heinrich Webers Werk Lehrbuch der Algebra gelegt. In diesem beschäftigte Weber sich intensiv mit der j-Funktion und ihrer Verbindung zur Klassenkörpertheorie. Er gilt als Entdecker der Theorie der komplexen Multiplikation. Komplexe Multiplikation bezieht sich dabei auf elliptische Kurven, auf denen Punkte nicht nur ganzzahlig vervielfacht werden können, etwa ${\displaystyle P\mapsto P+P+P}$, sondern wo es auch eine Multiplikation mit bestimmten imaginären Zahlen gibt, also exemplarisch ${\displaystyle P\mapsto iP}$. Die Theorie der komplexen Multiplikation, wie sie von Weber entwickelt wurde, gibt Auskunft über den Körper, in dem ${\displaystyle j(A)}$ lebt, wenn ${\displaystyle A}$ ein Ideal eines gegebenen komplexen quadratischen Rings ist. Zum Beispiel bewies Weber die Identität

${\displaystyle j\left({\sqrt {-14}}\right)=2^{3}\left(323+228{\sqrt {2}}+(231+161{\sqrt {2}}){\sqrt {2{\sqrt {2}}-1}}\right)^{3}}$

im Rahmen dieser von ${\displaystyle j}$ erzeugten Körpererweiterungen. Während es sich bei der Eingabe von ${\displaystyle j}$ um den Heegner-Punkt ${\displaystyle i{\sqrt {14}}}$ (hier in der Schreibweise ${\displaystyle {\sqrt {-14}}}$) handelt, ist die rechte Seite als Verkettung von Wurzelausdrücken und ganzen Zahlen eine algebraische Zahl, löst also eine algebraische Gleichung. Adjungiert man diese Zahl zu dem zur Diskriminante des Heegner-Punkts gehörigen quadratischen Zahlkörper hinzu, ergibt sich die abelsche Körpererweiterung ${\displaystyle K(j({\sqrt {-14}}))}$ des Zahlkörpers ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-14}})}$. Dieses Programm wurde von Weber jedoch in größerer Allgemeinheit als nur zur vollen Modulgruppe verfolgt und später von Heegner wieder aufgegriffen.

Jedoch kam die Theorie der Modulfunktionen ziemlich abrupt völlig aus der Mode. Erich Hecke und Robert Alexander Rankin leisteten zwar wichtige Beiträge, jedoch geht aus den damaligen Publikationen hervor, dass die meisten Mathematiker ein halbes Jahrhundert lang kaum wussten, dass die Theorie der Modulfunktionen überhaupt jemals existiert hatte.

Die Arbeit von Heegner

Im Jahr 1952 veröffentlichte Kurt Heegner eine Arbeit in der Mathematischen Zeitschrift, innerhalb der er sich mit dem Problem kongruenter Zahlen und elliptischer Kurven beschäftigte. Heegner, ein erfolgreicher Elektroingenieur, der sich aber auch in Mathematik habilitiert hatte, war mit Webers Lehrbuch zur Algebra gut vertraut. Er gab zunächst eine historische Einführung zu kongruenten Zahlen. Eine positive ganze Zahl ${\displaystyle m}$ heißt kongruent, falls sie als Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seiten in Erscheinung tritt (Heegner nannte solche Dreiecke Harpedonapten-Dreieck). In seinem Aufsatz zitierte er im Anschluss verschiedene Dinge von Weber und bewies einige Theoreme, die zeigen, dass das Problem kongruenter Zahlen für bestimmte Familien von ${\displaystyle m}$ lösbar ist. Schließlich löste er plötzlich das klassische Problem der Charakterisierung aller imaginär-quadratischen Zahlkörper mit Klassenzahl 1. Zu Heegners Nachteil gab es 1952 niemanden mehr, der Webers Algebra ausreichend gut beherrschte, um seine Leistung zu würdigen.

Heegners Arbeit war schwer zu folgen, was womöglich ein weiterer Grund war, weshalb sich zu seiner Zeit niemand im Detail damit beschäftigte. Es wurde außerdem davon ausgegangen, dass seine Beweisführungen zum Klassenzahlproblem lückenhaft seien, und, obwohl seine Arbeit über kongruente Zahlen mittlerweile als korrekt anerkannt ist, blieb lange Zeit unentdeckt, dass Heegner den Grundstein einer fundamentalen neuen Methode gelegt hatte – der analytischen Realisierung abelscher Erweiterungen imaginär-quadratischer Zahlkörper, analog zum Kronecker-Weber-Fall über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Heegner starb in dieser Ungewissheit.

Entwicklung ab den 1970er Jahren

Es war Bryan Birch, der in den späten 1970er und frühen 1980er Jahren erstmals Heegner-Punkte auf modularen elliptischen Kurven systematisch untersuchte. Auf der Grundlage der von ihm gesammelten numerischen Beweise stellte er fest, dass die sog. Höhen dieser Punkte mit ersten Ableitungen am zentralen kritischen Punkt der Hasse-Weil-Zetafunktion der elliptischen Kurve zusammenzuhängen schienen. Die von Birch initiierte Arbeit sollte eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie der nächsten zwei Jahrzehnte spielen und so grundlegende Fragen wie das Gaußsche Klassenzahlproblem und die Birch- und Swinnerton-Dyer-Vermutung beleuchten.

Das Studium der Heegner-Punkte nahm Mitte der 1980er Jahre dank zweier Durchbrüche Fahrt auf. Der erste Durchbruch war die Gross-Zagier-Formel, die die Beobachtungen von Birch bestätigte und die Höhen der Heegner-Punkte mittels der ersten Ableitung am zentralen Punkt einer zugehörigen Rankin-L-Reihe ausdrückte. Der zweite kam einige Jahre später, als Victor Kolyvagin zeigte, wie sog. Heegner-Systeme auf einer elliptischen Kurve die Größe und Struktur deren Selmer-Gruppe kontrollieren. Zusammengenommen führten diese beiden Erkenntnisse zu einem vollständigen Beweis der Birch- und Swinnerton-Dyer-Vermutung (in ihrer etwas schwächeren Form, die eine Gleichheit zwischen dem Rang der elliptischen Kurve und der Ordnung ihrer L-Reihe bei ${\displaystyle s=1}$ vorschreibt) für alle modularen elliptischen Kurven über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, deren L-Funktion höchstens eine einfache Nullstelle bei ${\displaystyle s=1}$ hat. Die Methode erbrachte einen Beweis der sog. Schafarewitsch-Tate-Vermutung auch für diese Kurven.

Der Unterbeweis der Shimura-Taniyama-Vermutung von 1994 zeigte, dass die Ergebnisse von Gross und Zagier sowie von Kolyvagin bedingungslos für alle elliptischen Kurven über den rationalen Zahlen gelten.

Invarianzeigenschaften

Modulkurven können wie die natürlichen Zahlen systematisch beschriftet werden, man bezeichnet sie auch mit ${\displaystyle X_{0}(1),X_{0}(2),X_{0}(3),\dotsc }$ usw. Sie alle können als Oberflächen von Gebilden mit Löchern dargestellt werden, wobei die Anzahl der Löcher das Geschlecht der Modulkurve bezeichnet (eine Eigenschaft, kompakte Flächen zu charakterisieren). Eine Kugeloberfläche hat Geschlecht 0, ein Donut Geschlecht 1 und eine Brezel Geschlecht 3. Im Falle von ${\displaystyle X_{0}(11)}$ liegt ein Donut vor, auf dem der oben eingeführte Heegner-Punkt definiert werden kann. Dafür muss man wissen, dass sich der Donut auf der im oberen Bild gezeigten oberen Halbebene der komplexen Zahlen versteckt: Beginnt man, wie oben mit den unteren (transformierten) Punkten im oberen Bild angedeutet, Punkte miteinander zu identifizieren, so bleibt eine begrenzte Figur übrig, die durch anschließendes Verbiegen und Verkleben zu einer Fläche mit Geschlecht verformt werden kann.

Der Level eines Heegner-Punktes muss nicht eindeutig sein. So haben beispielsweise alle Heegner-Punkte den Level 1, da offensichtlich stets ${\displaystyle D(1\cdot \tau )=D(\tau )}$ gilt. Interessant sind die Fälle höheren Levels. So kann man zum Beispiel einfache Methoden angeben, aus einem Heegner-Punkt mit Level ${\displaystyle N}$ beliebig viele neue Heegner-Punkte mit Level ${\displaystyle N}$ zu konstruieren. Zuerst wird beobachtet, dass sich die oben definierte Diskriminante unter unimodularer Transformation nicht ändert. Das bedeutet: Ist ${\displaystyle \textstyle \gamma =\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$, also eine ganzzahlige Matrix mit Determinante gleich 1 (die volle Modulgruppe ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ operiert auf der oberen Halbebene durch Möbius-Transformation), so ist

${\displaystyle D(\gamma (\tau ))=D\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=D(\tau ).}$

Also ist, wenn ${\displaystyle \tau }$ ein Heegner-Punkt mit Level 1 ist, auch ${\displaystyle \gamma (\tau )}$ ein Heegner-Punkt mit Level 1. Für höhere Level kann ähnlich, jedoch nur selektiver vorgegangen werden. Da die Erhaltung der Level-N-Eigenschaft mit steigenden Werten ${\displaystyle N}$ zunehmend „schwieriger“ ist, können hier nur noch bestimmte Matrizen diese Eigenschaft stabil halten. Alle Matrizen aus der Kongruenzuntergruppe ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ erfüllen dies – es muss daher nur die Eigenschaft ${\displaystyle N|c}$ vorausgesetzt werden. Ist also ${\displaystyle \tau }$ ein Heegner-Punkt mit Level ${\displaystyle N}$ und ${\displaystyle \gamma \in \Gamma _{0}(N)}$ eine Matrix, so ist ${\displaystyle \gamma (\tau )}$ wieder ein Heegner-Punkt mit Level ${\displaystyle N}$, und sowohl ${\displaystyle \tau }$ als auch ${\displaystyle \gamma (\tau )}$ haben die gleiche Diskriminante.

Die Eigenschaft, dass sowohl Diskriminante als auch Level eines Heegner-Punktes mit Level ${\displaystyle N}$ unter Transformationen ${\displaystyle \gamma \in \Gamma _{0}(N)}$ erhalten bleiben, ist für die Zahlentheorie von äußerster Wichtigkeit. Sie erlaubt, das Konzept des Heegner-Punktes (mit Level ${\displaystyle N}$) auf der Modulkurve ${\displaystyle X_{0}(N)=\Gamma _{0}(N)\backslash {\overline {\mathbb {H} }}}$ zu definieren, da alle entscheidenden Eigenschaften jedes Elements in der Klasse ${\displaystyle [\tau ]}$ unter ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ invariant bleiben. Über Möbiustransformation operiert die Gruppe ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ auf der oberen Halbebene ${\displaystyle \mathbb {H} }$ zuzüglich der sog. Spitzen ${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \{i\infty \}}$, also ${\displaystyle {\overline {\mathbb {H} }}:=\mathbb {H} \cup \mathbb {Q} \cup \{i\infty \}}$, und der Quotient ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)\backslash {\overline {\mathbb {H} }}}$ ist die Menge aller Klassen von Punkten, die über die Operation äquivalent sind.

Existenz und die Heegner-Hypothese

Es ist nicht klar, ob zu gegebenem Level ${\displaystyle N}$ und Führer ${\displaystyle c}$ ein Heegner-Punkt existiert. Um die Existenz zu gewährleisten, muss die sog. Heegner-Hypothese erfüllt sein: Diese ist eine Annahme an die zu ${\displaystyle c}$ gehörige Ordnung ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$. Sie besagt, dass es ein Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {n}}\subseteq {\mathcal {O}}}$ gibt, sodass

${\displaystyle {\mathcal {O}}/{\mathfrak {n}}\cong \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} .}$

Dies ist ein Isomorphismus von Gruppen. Dieser kann so interpretiert werden: Das Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ist so wählbar, dass ${\displaystyle {\mathfrak {n}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}^{-1}}$ in der Gruppe der gebrochenen Ideale, wobei der Heegner-Punkt ${\displaystyle \tau }$ zu der Isogenie ${\displaystyle \mathbb {C} /{\mathfrak {a}}\rightarrow \mathbb {C} /{\mathfrak {b}}}$ korrespondiert. Andersherum hat die Isogenie ${\displaystyle \mathbb {C} /{\mathfrak {a}}\rightarrow \mathbb {C} /{\mathfrak {a}}{\mathfrak {n}}^{-1}}$ einen Kern, der isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }$ ist. Es kann damit gezeigt werden, dass die Heegner-Hypothese hinreichend und notwendig für die Existenz von Heegner-Punkten ist.

Die Führer von Heegner-Punkten

Neben dem Level ${\displaystyle N}$, das sich auf die Wahl der Modulkurve ${\displaystyle X_{0}(N)}$ bezieht, besitzen Heegner-Punkte nach ihrer Definition eine weitere Kenngröße, ihren sog. Führer. Dieser wird oft als ${\displaystyle c}$ (vom englischen conductor) bezeichnet. Dessen Bedeutung liegt in der Konstruktion sog. Ringklassenkörper (ring class fields) ${\displaystyle H_{c}}$, gewisser abelscher Erweiterungen des imaginär-quadratischen Grundkörpers ${\displaystyle K}$. Diese haben die Eigenschaft, dass der durch den einzelnen Heegner-Punkt ${\displaystyle \tau }$ konstruierte Punkt auf der zugehörigen elliptischen Kurve zunächst über ${\displaystyle H_{c}}$ definiert ist. Weitere Details hierzu sind in diesem Artikel im Abschnitt über Klassenkörpertheorie beschrieben.

In manchen Anwendungen von Heegner-Punkten ist es bedeutsam, zu einem Level ${\displaystyle N}$ ganze (unendliche) Systeme von Heegner-Punkten zu betrachten, sog. Heegner-Systeme. Dabei werden die Punkte mit ${\displaystyle \tau _{n}}$ oder alternativ ${\displaystyle (P_{n})}$ beschriftet, wobei ${\displaystyle n}$ deren Führer bezeichnet und ${\displaystyle (n,N)=1}$ erfüllt. Heegner-Systeme existieren nur unter bestimmten Bedingungen. Mehr Details finden sich in diesem Artikel unter Heegner-Systeme.

Von besonderem Interesse ist der Fall ${\displaystyle c=1}$, in dem die gewählte Diskriminante von ${\displaystyle \tau }$ sogar eine Fundamentaldiskriminante ist. Der zugehörige Ringklassenkörper ist dann der Hilbertsche Klassenkörper von ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$, also dessen maximal unverzweigte abelsche Erweiterung.

Charakterisierung

Neben der gegebenen Definition können quadratisch irrationale Heegner-Punkte über elementare Zahlentheorie charakterisiert werden. Ist ${\displaystyle \tau }$ ein quadratisch irrationaler CM-Punkt der oberen Halbebene mit zugehöriger binärer quadratischer Form ${\displaystyle (A,B,C)}$, so ist er genau dann ein Heegner-Punkt mit Level ${\displaystyle N}$, wenn ${\displaystyle N|A}$ und ${\displaystyle \operatorname {ggT} (A/N,B,CN)=1}$.

Aus dieser Charakterisierung kann gefolgert werden, dass, falls ${\displaystyle \tau }$ ein Heegner-Punkt mit Level ${\displaystyle N}$ und Diskriminante ${\displaystyle D(\tau )}$ ist, auch ${\displaystyle \textstyle -{\frac {1}{N\tau }}}$ ein Heegner-Punkt mit Level ${\displaystyle N}$ und Diskriminante ${\displaystyle D(\tau )}$ ist. Der Operator ${\displaystyle \textstyle \tau \mapsto -{\frac {1}{N\tau }}}$ wird auch als Fricke-Involution bezeichnet.

Werden Level ${\displaystyle N}$ und Diskriminante ${\displaystyle D}$ (mit den nötigen Eigenschaften) fixiert, so gibt es ${\displaystyle 2^{s}\cdot h(D)}$ Heegner-Punkte auf der Kurve ${\displaystyle X_{0}(N)}$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle s}$ die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von ${\displaystyle N}$. Die Punkte werden durch die Gruppenoperation von ${\displaystyle W\times \mathrm {Gal} (H/K)}$ auf ${\displaystyle X_{0}(N)}$ permutiert, wobei ${\displaystyle W}$ die Gruppe der verschiedenen Involutionen auf ${\displaystyle X_{0}(N)}$ bezeichnet.