Übernahme und Verbreitung des indischen Dezimalsystems

Das wesentliche Element der dezimalen Stellenwertdarstellung von Zahlen ist ein Symbol für die Null, das anzeigt, dass an dieser Stelle die zugehörige Stufenzahl nicht auftritt: So enthält die Zahl 207 zweimal 100, keinmal 10 und siebenmal 1; im Unterschied zu 27, das zweimal 10 und siebenmal 1 enthält. Diese wichtige Idee der Null geht zurück auf die indische Mathematik, wo sie spätestens seit dem 7. Jahrhundert n. Chr. verwendet und von dem indischen Astronomen und Mathematiker Brahmagupta beschrieben wurde. Die indischen Ziffern verbreiteten sich bis zum 8. Jahrhundert auch nach Syrien und Mesopotamien und wurden im 9. Jahrhundert von der islamischen Mathematik übernommen. Zuvor wurde von den Arabern die Abdschad-Zahlschrift verwendet, bei der, ähnlich wie bei der griechischen Zahlschrift, die Buchstaben des Alphabets für bestimmte Zahlenwerte stehen. Mit der arabischen Übersetzung der Siddhānta des indischen Mathematikers Aryabhata im 8. Jahrhundert fand die Zahl Null Eingang in das arabischsprachige Schrifttum. Die Null wurde im Arabischen sifr („leer“, „nichts“) genannt; aus dieser Bezeichnung entwickelte sich unter anderem das deutsche Wort „Ziffer“ und das englische „zero“ für Null.

Die erste bekannte Beschreibung dieses neuen Zahlensystems in arabischer Sprache stammt von dem Universalgelehrten al-Chwarizmi, einem der bedeutendsten Mathematiker des Islam. Er war wahrscheinlich choresmischer Abstammung, wurde um 780 geboren, arbeitete im Haus der Weisheit in Bagdad und starb zwischen 835 und 850. Sein Werk kitāb al-ḥisāb al-hindī (Buch des Rechnens mit indischen Zahlen) oder kitab al-jam' wa'l-tafriq al-ḥisāb al-hindī (‚Addition und Subtraktion in der indischen Arithmetik‘), im 12. Jahrhundert ins Lateinische übersetzt, führte die indisch-arabischen Zahlen sowie das Dezimalsystem in Europa ein. Das Werk ist nur in einer einzigen lateinischen Handschrift überliefert, das arabische Original ist verloren. Die lateinische Übersetzung beginnt mit den Worten: „Dixit Algorizmi“ („Al-Chwarizmi sagte“). Daraus entwickelte sich das heute für systematische Rechenverfahren verwendete Wort „Algorithmus“. Entgegen seinem Titel enthielt al-Chwarizmis Einführung in das indische Zahlensystem nicht nur Verfahren zum schriftlichen Addieren und Subtrahieren, sondern auch zum Multiplizieren, Dividieren sowie zum Ziehen von Quadratwurzeln. Eines der frühesten im arabischen Originaltext erhaltenen Werke über Arithmetik, das Buch Grundlagen des indischen Rechnens von Kuschyar ibn Labban (fl. 971–1029), war in den islamischen Ländern sehr einflussreich und spielte eine wichtige Rolle bei der endgültigen Verbreitung des Dezimalsystems.

Die von al-Chwarizmi und Kuschyar ibn Labban eingeführten schriftlichen Rechentechniken unterschieden sich teilweise deutlich von den heute verwendeten. Das lag darin begründet, dass sie für das in dieser Zeit übliche Rechnen auf einer sogenannten Staubtafel, einem flachen mit feinem Sand bestreuten Tablett, optimiert waren. Im Gegensatz zum Rechnen mit Stift und Papier konnten auf einer Staubtafel immer nur relativ wenige Ziffern gleichzeitig angeschrieben werden, allerdings bot sie den Vorteil, dass Ziffern sehr schnell ausgewischt und durch andere überschrieben werden können. Staubtafeln als Rechenhilfsmittel kamen jedoch bald zugunsten von Tinte und Papier außer Gebrauch. So schrieb bereits Abu l-Hasan al-Uqlidisi in seinem um 953 verfassten Buch der Kapitel über die indische Arithmetik, dass sich der Gebrauch der Staubtafel „nicht schickt“, weil man sie sonst nur bei „Taugenichtsen“ sehe, die „in den Straßen ihren Lebensunterhalt mit Astrologie bestreiten“. Dementsprechend gab al-Uqlidisi in seinem Buch schriftliche Rechentechniken an, die für das Anschreiben auf Papier optimiert waren.

Erfindung der Dezimalbrüche

In al-Uqlidisis Buch über indische Arithmetik findet sich neben dem Rechnen mit natürlichen Zahlen in Dezimaldarstellung auch die älteste bekannte Behandlung von Dezimalbrüchen. Zuvor war es üblich, nichtganzzahlige Anteile im Sexagesimalsystem anzugeben. Al-Uqlidisi führte Dezimalbrüche im Zusammenhang mit Divisionen durch 2 und durch 10 ein und zeigte die Nützlichkeit dieser neuen Darstellungsform an Beispielen: So halbierte er die Zahl 19 fünfmal und erhielt 0,59375 oder vergrößerte die Zahl 135 fünfmal um ein Zehntel, was als Dezimalbruch 217,41885 ergibt. Al-Uqlidisi verwendete allerdings noch nicht die heutige Schreibweise mit einem Dezimaltrennzeichen, sondern markierte die Einerstelle, indem er einen kleinen senkrechten Strich darüber setzte.

Die Verwendung von Dezimalbrüchen bei al-Uqlidisi erschien noch weitgehend als technischer Kunstgriff und Rechenhilfsmittel; es ist unklar, ob er ihre mathematische Bedeutung bereits vollständig erkannte. Das volle mathematische Verständnis von Dezimalbrüchen zur näherungsweisen Darstellung reeller Zahlen findet sich hingegen erst über 200 Jahre später in einer Abhandlung zur Arithmetik von as-Samaw’al (um 1130 bis um 1180) aus dem Jahr 1172. As-Samaw’al führte sie darin sorgfältig als eine Methode ein, um Zahlen mit (prinzipiell) beliebiger Genauigkeit zu approximieren, und demonstrierte dies an Beispielen, indem er unter anderem Dezimalbruchentwicklungen von ${\displaystyle {\tfrac {210}{13}}}$ und von ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$ bestimmte. Zur Berechnung höherer Wurzeln verwendete as-Samaw’al zudem numerische Iterationsverfahren, bei denen die Idee der „Konvergenz“ der berechneten Näherungen gegen den gesuchten Wert deutlich wird. Der letzte große Mathematiker in den Ländern des Islam während des europäischen Mittelalters, Dschamschid Masʿud al-Kaschi (um 1389 bis 1429), verfasste 1427 das Werk Schlüssel zur Arithmetik, in dem er, basierend auf dem binomischen Lehrsatz, eine allgemeine Methode zur Berechnung von n-ten Wurzeln beschrieb.

Algebraische Umformungen und Lösungen von Gleichungen bei al-Chwarizmi

Al-Chwarizmi verfasste neben seiner Einführung in die Arithmetik noch ein weiteres mathematisches Werk, das als Startpunkt der Algebra als eigenständige Wissenschaft gilt. Es trägt den Titel al-Kitab al-muchtasar fi hisab al-dschabr wa-l-muqabala (etwa: „Das kurzgefasste Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen“). Das Werk wurde 1145 von Robert von Chester unter dem Titel Liber algebrae et almucabala ins Lateinische übersetzt. Der erste Teil stellt das systematische Umformen und Lösen quadratischer Gleichungen dar; im zweiten Teil folgen zahlreiche Anwendungsaufgaben, die das Verfahren illustrieren. Al-Chwarizmi führte zunächst aus, wie jede lösbare quadratische Gleichung durch zwei Umformungstechniken, die er al-dschabr („Ergänzen“; daraus entstand später das Wort „Algebra“) und al-muqabala („Ausgleichen“) nannte, auf eine von sechs Standardformen gebracht werden kann. In moderner Notation mit der Unbekannten ${\displaystyle x}$ und mit Koeffizienten ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$, die gegebene positive Zahlen bezeichnen, sind das:

1) ${\displaystyle x^{2}=px}$,	2) ${\displaystyle x^{2}=p}$,	3) ${\displaystyle x=p}$,
4) ${\displaystyle x^{2}+px=q}$,	5) ${\displaystyle x^{2}+q=px}$,	6) ${\displaystyle px+q=x^{2}}$.

In den ersten drei Fällen kann die Lösung direkt bestimmt werden, für die Fälle 4, 5 und 6 gab al-Chwarizmi Regeln zur Lösung an und bewies diese jeweils geometrisch durch quadratische Ergänzung. Er verwendete dabei zwar stets konkrete Zahlenbeispiele, betonte aber die Allgemeingültigkeit der Überlegungen.

Das Vorgehen soll im Beispiel des Falls 5 erläutert werden, bei dem al-Chwarizmi feststellte, dass es der einzige der sechs Fälle ist, bei dem keine, genau eine oder genau zwei (positive) Lösungen existieren können. Alle anderen Fälle besitzen hingegen stets eine eindeutig bestimmte Lösung. Gegeben sei die Gleichung ${\displaystyle 2x^{2}+100-20x=58}$. Diese wird zunächst durch al-dschabr umgeformt, das bedeutet, dass Terme, die subtrahiert werden (hier also ${\displaystyle 20x}$), auf beiden Seiten der Gleichung addiert werden, sodass schließlich nur noch Additionen in der Gleichung vorkommen; im Beispiel ergibt sich ${\displaystyle 2x^{2}+100=58+20x}$. Der zweite Umformungsschritt al-muqabala besteht darin, gleichartige Terme auf der linken und rechten Seite der Gleichung auf einer Seite zusammenzufassen; im Beispiel erhält man ${\displaystyle 2x^{2}+42=20x}$. Division der Gleichung durch 2 liefert schließlich die Normalform ${\displaystyle x^{2}+21=10x}$. Mit der von al-Chwarizmi angegebenen Regel für den Fall 5 können nun die beiden Lösungen bestimmt werden:

${\displaystyle {\frac {10}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {10}{2}}\right)^{2}-21}}=3\quad }$ und ${\displaystyle \quad {\frac {10}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {10}{2}}\right)^{2}-21}}=7}$.

Weitere Entwicklung der Algebra im Islam

Die Ideen, die al-Chwarizmi in seinem Buch über al-dschabr und al-muqabala vorstellte, wurden von vielen islamischen Mathematikern aufgriffen, kommentiert und vertieft. Thabit ibn Qurra (826–901) verfasste eine Abhandlung, in der er die von al-Chwarizmi anhand spezieller Zahlenbeispiele gezeigten Lösungsformeln allgemein bewies. Er verwendete dafür zwei Sätze aus Euklids Elementen und zeigte, dass die dadurch bewiesenen geometrischen Lösungen mit den durch algebraische Umformungen erhaltenen Formeln übereinstimmen.

Der vermutlich aus Ägypten stammende Gelehrte Abu Kamil (um 850 bis um 930) veröffentlichte ein sehr einflussreiches Buch mit dem Titel Algebra. Die darin enthaltene Aufgabensammlung wurde beispielsweise gegen Ende des 12. Jahrhunderts von dem italienischen Mathematiker Leonardo von Pisa intensiv aufgegriffen. Abu Kamils Algebra, die als Kommentar zu al-Chwarizmis Werk gedacht war, enthält zahlreiche Fortschritte bei algebraischen Umformungen. Er zeigte darin unter anderem Rechenregeln zum Ausmultiplizieren von Ausdrücken, die die Unbekannte enthalten, oder Rechenregeln für Wurzeln, wie etwa ${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}}$. Dabei führte er sorgfältige Beweise für elementare Umformungen wie ${\displaystyle ax\cdot bx=ab\cdot x^{2}}$. Der zweite Teil von Abu Kamils Algebra enthält zahlreiche Aufgaben, die den theoretischen ersten Teil illustrieren. Eines der interessantesten Probleme zeigt laut John Lennart Berggren seinen „virtuosen“ Umgang mit den Regeln der Algebra: Abu Kamil betrachtete darin das nichtlineare Gleichungssystem ${\displaystyle 10=x+y+z}$, ${\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}}$, ${\displaystyle xz=y^{2}}$ mit drei Unbekannten und gab ausführlich die Berechnungsschritte an, die schließlich auf die Lösung ${\displaystyle x=5-{\sqrt {{\sqrt {3125}}-50}}}$ führen.

In der Folgezeit kam es zu einer weiteren Arithmetisierung der Algebra, das heißt, ihre geometrischen Ursprünge traten in den Hintergrund und die rein algebraischen Rechengesetze wurden weiterentwickelt. Der persische Mathematiker al-Karadschi (953–1029) betrachtete beliebige Potenzen der Unbekannten ${\displaystyle x}$ sowie daraus gebildete Summen und Differenzen. Er ging damit einen wichtigen Schritt in die Richtung einer Arithmetik für Polynome, scheiterte jedoch noch an einer allgemeingültigen Formulierung der Polynomdivision, da ihm – wie allen islamischen Mathematikern vor ihm – das Konzept der negativen Zahlen fehlte. Erst bei as-Samaw’al, etwa 70 Jahre später, findet sich unter anderem das Potenzgesetz ${\displaystyle x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}}$ für beliebige positive und negative Exponenten ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$. As-Samaw’al konnte damit ein effizientes tabellarisches Verfahren angeben, mit dem sich beliebige Polynomdivisionen ausführen lassen; zum Beispiel berechnete er damit

${\displaystyle {\frac {20x^{6}+2x^{5}+58x^{4}+75x^{3}+125x^{2}+96x+94+140x^{-1}+50x^{-2}+90x^{-3}+20x^{-4}}{2x^{3}+5x+5+10x^{-1}}}}$.

Auf dem Gebiet des Lösens algebraischer Gleichungen griff der persische Wissenschaftler und Dichter Omar Chayyam (1048–1131) al-Chwarizmis Klassifikation der quadratischen Gleichungen auf und erweiterte sie auf kubische Gleichungen, also auf Gleichungen, die die dritte Potenz der Unbekannten enthalten. Er zeigte, dass sich diese auf eine von 25 Standardformen bringen lassen, von denen 11 auf quadratische Gleichungen zurückgeführt werden können. Für die übrigen 14 Typen gab Omar Chayyam Verfahren an, mit denen sich die Lösungen geometrisch als Schnittpunkte von Kegelschnitten konstruieren lassen. Er drückte in seiner Abhandlung außerdem den „Wunsch“ aus, wie bei den quadratischen Gleichungen auch bei den kubischen die Lösung algebraisch durch Wurzelausdrücke berechnen zu können. Dabei waren jedoch, so Omar Chayyam, weder er selbst noch irgendein anderer Algebraiker erfolgreich. Chayyams Wunsch sollte sich erst im Jahr 1545 mit der Veröffentlichung von Lösungsformeln für Gleichungen dritten Grades durch den italienischen Gelehrten Gerolamo Cardano erfüllen.

Trigonometrische Funktionen

Die Ursprünge und die ersten Anwendungen der Trigonometrie, der „Dreiecksmessung“, in der Antike lagen in der Astronomie. Mathematische Texte, die sich mit diesem Gebiet befassten, waren daher meist einzelne Abschnitte in astronomischen Werken. Die umfassendste Zusammenstellung aller bis dahin gesammelten astronomischen Kenntnisse des antiken Griechenlands enthält der Almagest von Ptolemaios (um 100 n. Chr. bis nach 160). Die einzige „Winkelfunktion“, die die griechischen Astronomen verwendeten, war die einem Winkel (bzw. einem Kreisbogen) ${\displaystyle \alpha }$ zugeordnete Sehnenlänge ${\displaystyle \operatorname {chord} (\alpha )}$. Entsprechend ist im Almagest eine ausführliche Sehnentafel angegeben, also eine Tabelle, die in einer Spalte Winkel im Gradmaß und in der anderen Spalte die zugehörigen Sehnenlängen enthält.

Die islamischen Astronomen und Mathematiker übernahmen jedoch nicht die Sehnengeometrie der Griechen, sondern einen anderen Ansatz, der in der indischen Astronomie verwendet wurde: die Sinusgeometrie. In einem rechtwinkligen Dreieck ist ${\displaystyle \sin(\alpha )}$ das Verhältnis der Länge der dem Winkel ${\displaystyle \alpha }$ gegenüberliegenden Kathete zur Länge der Hypotenuse. Zwischen dem Sinus und der Bogenlänge besteht zwar mit ${\displaystyle \sin(\alpha )={\tfrac {1}{2}}\operatorname {chord} (2\alpha )}$ ein relativ einfacher Zusammenhang, die direkte Beziehung des Sinus auf rechtwinklige Dreiecke bietet jedoch große theoretische und praktische Vorteile. Bereits seit dem 4. oder 5. Jahrhundert waren in Indien Sinustafeln in Gebrauch.

Die Erweiterung der Sinusfunktion auf die heute verwendeten sechs trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans ist eine Neuerung der islamischen Mathematik. Tangens und Kotangens wurden zuerst im Zusammenhang mit Schattenlängen eingeführt: Ist ${\displaystyle \theta }$ der Höhenwinkel der Sonne über dem Horizont, dann ist ${\displaystyle \tan(\theta )}$ die Schattenlänge, die ein waagrechter Stab der Länge 1 auf eine senkrechte Wand wirft; ein senkrecht auf dem Boden stehender Stab (Gnomon) wirft hingegen einen Schatten der Länge ${\displaystyle \cot(\theta )}$. Sekans und Kosekans entsprechen dann den zu den Schatten gehörigen Hypotenusen, sind also gleich dem Abstand zwischen der Spitze des Gnomon und der des Schattens. Wegen der einfachen Zusammenhänge ${\displaystyle \cos(\theta )=\sin(90^{\circ }-\theta )}$, ${\displaystyle \cot(\theta )=\tan(90^{\circ }-\theta )}$ und ${\displaystyle \csc(\theta )=\sec(90^{\circ }-\theta )}$ genügt es für die Praxis, Tafeln für Sinus, Tangens und Sekans aufzustellen.

Die Leistungsfähigkeit dieser neuen Konzepte zeigte sich erstmals bei Abu l-Wafa, der im 10. Jahrhundert das Additionstheorem des Sinus

${\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin(\alpha )\cdot \cos(\beta )\pm \cos(\alpha )\cdot \sin(\beta )}$

in seiner modernen Form formulierte und bewies. Dieser Zusammenhang stellte eine Vereinfachung im Vergleich zu der bis dahin bekannten analogen Aussage für Sehnenlängen dar. Ein äußerst wichtiger Satz der Trigonometrie, der Sinussatz für ebene Dreiecke, wurde erstmals von dem persischen Gelehrten Nasir ad-Din at-Tusi im 13. Jahrhundert bewiesen. Damit war zum ersten Mal die Berechnung eines beliebigen Dreiecks aus drei Angaben zu seinen Winkeln oder Seiten möglich.

Sphärische Trigonometrie

Die sphärische Trigonometrie war, wie auch im antiken Griechenland und in Indien, in der islamischen Mathematik eng mit Fragestellungen der Astronomie verbunden: Astronomische Objekte lassen sich als Punkte auf der Himmelskugel auffassen. Die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf dieser Kugel ist ein Bogen eines Großkreises, drei Punkte ergeben zusammen mit den sie verbindenden Großkreisbögen ein sphärisches Dreieck. Die einzige allgemeine mathematische Berechnungsmöglichkeit für Seitenlängen sphärischer Dreiecke und Vierecke, die den Griechen bekannt war, beruhte auf einer Anwendung des Satzes von Menelaos. Er ist benannt nach Menelaos von Alexandria, der einige Jahrzehnte vor Ptolemaios lebte und, soweit bekannt ist, der erste Gelehrte war, der sich mit sphärischen Dreiecken beschäftigte. Bei Problemen, in denen dieser Satz nicht oder nur schwierig anzuwenden war, wurden ansonsten in der Astronomie praktische Mess- und Näherungsverfahren eingesetzt, etwa Kugelmodelle oder Astrolabien, deren Funktionsweise darauf basiert, dass die Himmelskugel durch stereografische Projektion auf eine Ebene abgebildet wird.

Ein wichtiger Fortschritt der islamischen Mathematik, der Berechnungen gegenüber dem Satz von Menelaos deutlich vereinfachte, war der Sinussatz für sphärische Dreiecke. Er wurde von Abu l-Wafa und, vermutlich unabhängig davon, von al-Bīrūnī und einem seiner Lehrer formuliert und bewiesen. Damit stand zum ersten Mal eine Möglichkeit zu Verfügung, um direkt Winkel (und nicht nur Seiten) sphärischer Dreiecke zu berechnen. Der Satz besagt: In einem sphärischen Dreieck mit Winkeln ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ und den Längen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ der jeweils gegenüberliegenden Seiten gilt:

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin \alpha }}={\frac {\sin b}{\sin \beta }}={\frac {\sin c}{\sin \gamma }}}$.

Insbesondere kann damit aus drei gegebenen Größen ein sphärisches Dreieck berechnet werden, wenn eine Seite und ein gegenüberliegender Winkel gegeben sind.

Die sphärische Trigonometrie ist nicht nur in der Astronomie von großer Bedeutung, sondern auch in der Geographie, wenn bei Messungen und Berechnungen die Kugelgestalt der Erde berücksichtigt wird. Bei al-Bīrūnī findet sich eine wichtige Anwendung für die islamische Religion: die Bestimmung der Qibla, der Gebetsrichtung nach Mekka. Al-Bīrūnī behandelte dieses Problem in einer Arbeit zur mathematischen Geographie mit dem Titel Bestimmung der Koordinaten von Städten. Er nahm darin an, dass die geographische Länge und Breite einer Stadt ${\displaystyle \mathrm {B} }$ sowie die Länge und Breite von Mekka ${\displaystyle \mathrm {A} }$ gegeben sind. In dem sphärischen Dreieck ${\displaystyle \mathrm {BAP} }$ mit dem Nordpol ${\displaystyle \mathrm {P} }$ sind dann die beiden Seiten ${\displaystyle \mathrm {PA} }$ und ${\displaystyle \mathrm {PB} }$ sowie deren Zwischenwinkel bei ${\displaystyle \mathrm {P} }$ bekannt. Da die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Seite unbekannt ist, kann der Sinussatz nicht direkt angewendet werden. Dieses Problem würde heute zum Beispiel mit dem Kosinussatz gelöst werden, der jedoch al-Bīrūnī noch nicht zur Verfügung stand. Stattdessen verwendete er Hilfsdreiecke und eine mehrfache Anwendung des Sinussatzes, um den Winkel im Punkt ${\displaystyle \mathrm {B} }$, also die Qibla, zu berechnen.