Kurs:Lineare Algebra/Teil II/24/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Metrik auf einem normierten Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ über ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$.
2. Ähnliche Dreiecke in der euklidischen Ebene.
3. Ein Beobachtervektor in einem Minkowskiraum ${\displaystyle {}V}$.
4. Eine Untergruppe ${\displaystyle {}H}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
5. Kommensurable reelle Zahlen ${\displaystyle {}r,s\neq 0}$.
6. Die Norm einer linearen Abbildung

   ${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

   zwischen normierten endlichdimensionalen ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorräumen.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Spektralsatz für komplexe Isometrien.
2. Der Höhensatz.
3. Das Injektivitätskriterium für einen Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H.}$

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises ${\displaystyle {}E}$ mit dem Kreis ${\displaystyle {}K}$, der den Mittelpunkt ${\displaystyle {}(1,0)}$ und den Radius ${\displaystyle {}2}$ besitzt.

Der Einheitskreis ist die Lösungsmenge der Gleichung

${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=1\,}$

und ${\displaystyle {}K}$ ist die Lösungsmenge der Gleichung

${\displaystyle {}(x-1)^{2}+y^{2}=x^{2}-2x+1+y^{2}=4\,.}$

Wenn man von der zweiten Gleichung die erste abzieht, so erhält man

${\displaystyle {}-2x+1=3\,,}$

also

${\displaystyle {}x=-1\,.}$

Aus der Einheitskreisgleichung folgt daraus, dass

${\displaystyle {}y=0\,}$

sein muss. Der einzige Schnittpunkt ist also ${\displaystyle {}(-1,0)}$ (der in der Tat ein Schnittpunkt ist).

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}{\frac {5}{13}}\\{\frac {12}{13}}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-{\frac {12}{13}}\\{\frac {5}{13}}\end{pmatrix}}}$ eine Orthonormalbasis des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ bilden.
2. Bestimme die Koordinaten des Vektors ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}17\\-11\end{pmatrix}}}$ bezüglich dieser Orthonormalbasis.

Was ist das Kreuzprodukt auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$? Welche Merkregel kennen Sie dafür?

Beweise den Satz über die Eigenwerte einer Isometrie.

Es sei ${\displaystyle {}\varphi (v)=\lambda v}$ mit ${\displaystyle {}v\neq 0}$, d.h. ${\displaystyle {}v}$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle {}\lambda \in {\mathbb {K} }}$. Wegen der Isometrieeigenschaft gilt

${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert =\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.}$

Wegen ${\displaystyle {}\Vert {v}\Vert \neq 0}$ folgt daraus ${\displaystyle {}\vert {\lambda }\vert =1}$. Im Reellen bedeutet dies ${\displaystyle {}\lambda =\pm 1}$.

Es sei ${\displaystyle {}D\neq 0}$, wir betrachten das Dreieck mit den Eckpunkten ${\displaystyle {}(0,0),(1,0),\left({\frac {1}{2}},\,{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\right)}$.

1. Bestimme den Umkreismittelpunkt des Dreiecks.
2. Berechne den Umkreisradius des Dreiecks.

1. Die Mittelsenkrechte zur Grundseite ist durch ${\displaystyle {}x={\frac {1}{2}}}$ gegeben, und die Mittelsenkrechte zum linken Schenkel wird durch ${\displaystyle {}{\left({\frac {1}{4}},{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{4}}\right)}+t{\left({\sqrt {\vert {D}\vert }},-1\right)}}$ beschrieben. Gleichsetzen ergibt

   ${\displaystyle {\frac {1}{4}}+t{\sqrt {\vert {D}\vert }}={\frac {1}{2}}\,\,{\text{ bzw. }}\,\,t{\sqrt {\vert {D}\vert }}={\frac {1}{4}}{\text{ und }}t={\frac {1}{4{\sqrt {\vert {D}\vert }}}}.}$

   Damit ist die zweite Koordinate gleich ${\displaystyle {}{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{4}}-{\frac {1}{4{\sqrt {\vert {D}\vert }}}}}$. Der Umkreismittelpunkt ist also

   ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},\,{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{4}}-{\frac {1}{4{\sqrt {\vert {D}\vert }}}}\right)}$

2. Der Umkreisradius ist die Quadratwurzel aus

   ${\displaystyle {}{\frac {1}{4}}+{\left({\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{4}}-{\frac {1}{4{\sqrt {\vert {D}\vert }}}}\right)}^{2}={\frac {1}{4}}+{\frac {\vert {D}\vert }{16}}+{\frac {1}{16\vert {D}\vert }}-{\frac {1}{8}}={\frac {1}{16}}{\left(2+\vert {D}\vert +{\frac {1}{\vert {D}\vert }}\right)}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum und ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ eine symmetrische Bilinearform auf ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass die Dimension des Ausartungsraumes nicht mit der maximalen Dimension eines Untervektorraumes übereinstimmen muss, auf dem die eingeschränkte Form die Nullform ist.

Wir betrachten die symmetrisch Bilinearform auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$, die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

gegeben ist. Diese Form ist nicht ausgeartet, und somit ist der Ausartungsraum gleich ${\displaystyle {}0}$ und insbesondere nulldimensional. Es ist

${\displaystyle {}\left\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right\rangle ={{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}^{\text{tr}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}=1-1=0\,.}$

Wenn man also die Form auf den eindimensionalen Untervektorraum ${\displaystyle {}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$ einschränkt, so ergibt sich die Nullform.

Der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {3}}{5}}\\{\frac {\sqrt {2}}{5}}\\{\frac {\sqrt {6}}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}}$ ein Beobachtervektor ist und bestimme eine Orthogonalbasis der Raumkomponente dazu.

Es ist

${\displaystyle {}\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {3}}{5}}\\{\frac {\sqrt {2}}{5}}\\{\frac {\sqrt {6}}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {3}}{5}}\\{\frac {\sqrt {2}}{5}}\\{\frac {\sqrt {6}}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\right\rangle ={\frac {3}{25}}+{\frac {2}{25}}-{\frac {6}{5}}={\frac {3+2-30}{25}}={\frac {-25}{25}}=-1\,,}$

also liegt ein Beobachtervektor vor. Die Raumkomponente dieses Beobachters ist die Ebene, die dazu bezüglich der Minkowski-Form senkrecht steht. Dies führt auf die Bedingung

${\displaystyle {}\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {3}}{5}}\\{\frac {\sqrt {2}}{5}}\\{\frac {\sqrt {6}}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\right\rangle ={\frac {\sqrt {3}}{5}}x+{\frac {\sqrt {2}}{5}}y-{\frac {\sqrt {6}}{\sqrt {5}}}z=0\,,}$

was nach Multiplikation mit ${\displaystyle {}5}$ zu

${\displaystyle {}{\sqrt {3}}x+{\sqrt {2}}y-{\sqrt {30}}z=0\,}$

äquivalent ist. Einfache, linear unabhängige Lösungen sind ${\displaystyle {}v={\begin{pmatrix}0\\{\sqrt {15}}\\1\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}w={\begin{pmatrix}{\sqrt {10}}\\0\\1\end{pmatrix}}}$, diese bilden eine Basis der Raumkomponente. Um eine Orthogonalbasis zu bekommen, machen wir den Ansatz

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle v,v+\alpha w\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}0\\{\sqrt {15}}\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\{\sqrt {15}}\\1\end{pmatrix}}+\alpha {\begin{pmatrix}{\sqrt {10}}\\0\\1\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=\left\langle {\begin{pmatrix}0\\{\sqrt {15}}\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\{\sqrt {15}}\\1\end{pmatrix}}\right\rangle +\alpha \left\langle {\begin{pmatrix}0\\{\sqrt {15}}\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\sqrt {10}}\\0\\1\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=14-\alpha ,\end{aligned}}}$

also ist

${\displaystyle {}\alpha =14\,}$

und ${\displaystyle {}v}$ zusammen mit

${\displaystyle {}z=v+\alpha w={\begin{pmatrix}0\\{\sqrt {15}}\\1\end{pmatrix}}+14{\begin{pmatrix}{\sqrt {10}}\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14{\sqrt {10}}\\{\sqrt {15}}\\15\end{pmatrix}}\,}$

eine Orthogonalbasis.

Die lineare Abbildung ${\displaystyle {}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-3&7\\4&5\end{pmatrix}}}$ beschrieben. Auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ sei ein Skalarprodukt ${\displaystyle {}\Psi }$ durch ${\displaystyle {}\Psi (e_{1},e_{1})=4}$, ${\displaystyle {}\Psi (e_{2},e_{2})=5}$ und ${\displaystyle {}\Psi (e_{1},e_{2})=3}$ gegeben. Bestimme die Matrix des adjungierten Endomorphismus zu ${\displaystyle {}\varphi }$ bezüglich des gegebenen Skalarproduktes und bezüglich der Basis ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}}$.

Gesucht ist die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}}$

derart, dass

${\displaystyle {}{\hat {\varphi }}{\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}{\hat {\varphi }}{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}=c{\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\,}$

gilt. Der adjungierte Endomorphismus muss

${\displaystyle {}\Psi {\left(\varphi (v),w\right)}=\Psi {\left(v,{\hat {\varphi }}(w)\right)}\,}$

für alle ${\displaystyle {}v,w\in \mathbb {R} ^{2}}$ erfüllen. Für die Kombinationen aus ${\displaystyle {}v=e_{1},e_{2}}$ und

${\displaystyle {}w={\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\,}$

ergeben sich die Bedingungen

${\displaystyle {}\Psi {\left({\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}}\right)}=\Psi {\left({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},a{\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\right)}\,,}$

${\displaystyle {}\Psi {\left({\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}}\right)}=\Psi {\left({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},a{\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\right)}\,,}$

${\displaystyle {}\Psi {\left({\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\right)}=\Psi {\left({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},c{\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\right)}\,}$

und

${\displaystyle {}\Psi {\left({\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\right)}=\Psi {\left({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},c{\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\right)}\,.}$

Die ersten beiden Bedingungen führen zu

${\displaystyle {}-36+81-100=-55=4(3a+b)+3(-5a+4b)=-3a+16b\,}$

und zu

${\displaystyle {}84-60-125=-101=5(-5a+4b)+3(3a+b)=-16a+23b\,.}$

Dieses lineare Gleichungssystem besitzt die Lösung

${\displaystyle {}a={\frac {351}{187}}\,}$

und

${\displaystyle {}b=-{\frac {577}{187}}\,.}$

Die dritte und die vierte Bedingung führen zu

${\displaystyle {}-12-24+80=44=-3c+16d\,}$

und zu

${\displaystyle {}28+99+100=227=-16c+23d\,.}$

Dieses lineare Gleichungssystem besitzt die Lösung

${\displaystyle {}c={\frac {-2620}{187}}\,}$

und

${\displaystyle {}d={\frac {23}{187}}\,.}$

Beweise den Satz über die Normcharakterisierung von normalen Endomorphismen.

Es ist

${\displaystyle {}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,{\hat {\varphi }}(\varphi (w))\right\rangle =\left\langle v,({\hat {\varphi }}\circ \varphi )(w)\right\rangle \,}$

und unter Verwendung von Lemma 41.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (3) ist

${\displaystyle {}\left\langle {\hat {\varphi }}(v),{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle =\left\langle v,\varphi ({\hat {\varphi }}(w))\right\rangle =\left\langle v,(\varphi \circ {\hat {\varphi }})(w)\right\rangle \,.}$

Wenn ${\displaystyle {}\varphi }$ und ${\displaystyle {}{\hat {\varphi }}}$ vertauschen, so gilt also auch

${\displaystyle {}\left\langle {\hat {\varphi }}(v),{\hat {\varphi }}(w)\right\rangle =\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle \,}$

für beliebige ${\displaystyle {}v,w\in V}$. Wenn dies umgekehrt gilt, so ist

${\displaystyle {}\left\langle v,({\hat {\varphi }}\circ \varphi )(w))\right\rangle =\left\langle v,(\varphi \circ {\hat {\varphi }})(w))\right\rangle \,}$

für alle ${\displaystyle {}v\in V}$ und daher sind die Endomorphismen vertauschbar. Daher sind (1) und (2) äquivalent. Von (2) nach (3) ist eine Einschränkung. Umgekehrt kann man aus (3) auch (2) gewinnen, da man das Skalarprodukt gemäß der Polarisationsformel aus der Norm erhalten kann.

Bestimme die Ordnung der Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}}$

über dem Körper mit ${\displaystyle {}3}$ Elementen.

Wir betrachten den Vektorraum ${\displaystyle {}V=\mathbb {R} ^{2}}$ und den Untervektorraum

${\displaystyle {}U=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}}\subset V\,.}$

a) Skizziere ${\displaystyle {}U}$ und eine Auswahl von Äquivalenzklassen der durch ${\displaystyle {}U}$ gegebenen Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle {}V}$.

b) Welche mathematische Struktur besitzen die Äquivalenzklassen zu ${\displaystyle {}U}$?

c) Welche mathematische Struktur besitzt die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation?

a) ${\displaystyle {}\,}$

b) Die Äquivalenzklassen sind affine Räume mit ${\displaystyle {}U}$ als dem zugrundeliegenden Vektorraum.

c) Die Quotientenmenge ist selbst ein Vektorraum.

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H.}$

Wenn ${\displaystyle {}\varphi }$ injektiv ist, so darf auf jedes Element ${\displaystyle {}h\in H}$ höchstens ein Element aus ${\displaystyle {}G}$ gehen. Da ${\displaystyle {}e_{G}}$ auf ${\displaystyle {}e_{H}}$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf ${\displaystyle {}e_{H}}$ gehen, d.h. ${\displaystyle {}\ker \varphi =\{e_{G}\}}$. Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass ${\displaystyle {}g,{\tilde {g}}\in G}$ beide auf ${\displaystyle {}h\in H}$ geschickt werden. Dann ist

${\displaystyle {}\varphi {\left(g{\tilde {g}}^{-1}\right)}=\varphi (g)\varphi ({\tilde {g}})^{-1}=hh^{-1}=e_{H}\,}$

und damit ist ${\displaystyle {}g{\tilde {g}}^{-1}\in \operatorname {kern} \varphi }$, also ${\displaystyle {}g{\tilde {g}}^{-1}=e_{G}}$ nach Voraussetzung und damit ${\displaystyle {}g={\tilde {g}}}$.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine ${\displaystyle {}n\times n}$- spaltenstochastische Matrix und sei

${\displaystyle {}U={\left\{{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\mid \sum _{i=1}^{n}u_{i}=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,.}$

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}U}$ invariant unter ${\displaystyle {}M}$ ist.

b) Zeige, dass die Einschränkung ${\displaystyle {}M{|}_{U}}$ stabil ist.

c) Zeige, dass die Einschränkung ${\displaystyle {}M{|}_{U}}$ nicht asymptotisch stabil sein muss.

a) Es sei

${\displaystyle {}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,.}$

Für ${\displaystyle {}u={\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\in U}$ ist

${\displaystyle {}\varphi (u)={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}u_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{nj}u_{j}\end{pmatrix}}\,}$

und daher

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}(Mu)_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}u_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)}u_{j}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}=0\,,}$

d.h. ${\displaystyle {}Mu\in U}$.

b) Nach Korollar 54.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist ${\displaystyle {}M}$ selbst stabil. Aufgrund von Satz 53.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist klar, dass die Einschränkung einer stabilen Abbildung auf einen invarianten Untervektorraum wieder stabil ist. Daher ist die Einschränkung ${\displaystyle {}M{|}_{U}}$ stabil.

c) Es sei ${\displaystyle {}M}$ die Einheitsmatrix auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle {}n\geq 2}$. Dann ist die Einschränkung auf ${\displaystyle {}U}$ die Identität und damit nicht asymptotisch stabil.

Wir betrachten den Würfel.

Es sei ${\displaystyle {}\alpha }$ diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}G}$, die den Eckpunkt ${\displaystyle {}B}$ auf ${\displaystyle {}D}$ schickt, und es sei ${\displaystyle {}\beta }$ die Halbdrehung um die Kantenmittelpunktsachse zu den beiden Kanten ${\displaystyle {}A,E}$ und ${\displaystyle {}C,G}$.

a) Man gebe die Wertetabellen für die Permutationen auf der Eckpunktmenge ${\displaystyle {}\{A,B,C,D,E,F,G,H\}}$, die durch ${\displaystyle {}\alpha ,\beta ,\alpha \beta }$ und ${\displaystyle {}\beta \alpha }$ bewirkt werden.

b) Man gebe die Wertetabellen für die Permutationen auf der Menge der Würfelseiten an, die durch ${\displaystyle {}\alpha ,\beta ,\alpha \beta }$ und ${\displaystyle {}\beta \alpha }$ bewirkt werden.

c) Bestimme die Drehachse von ${\displaystyle {}\alpha \beta }$ und von ${\displaystyle {}\beta \alpha }$ sowie die Ordnung dieser Drehungen.

a) Die Wertetabellen für die angegebenen Permutationen sind

${\displaystyle {}x}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}D}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}F}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}H}$
${\displaystyle {}\alpha (x)}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}D}$	${\displaystyle {}H}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}F}$

${\displaystyle {}x}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}D}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}F}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}H}$
${\displaystyle {}\beta (x)}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}H}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}F}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}D}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}B}$

${\displaystyle {}x}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}D}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}F}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}H}$
${\displaystyle {}\alpha \beta (x)}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}F}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}H}$	${\displaystyle {}D}$

${\displaystyle {}x}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}D}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}F}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}H}$
${\displaystyle {}\beta \alpha (x)}$	${\displaystyle {}E}$	${\displaystyle {}F}$	${\displaystyle {}B}$	${\displaystyle {}A}$	${\displaystyle {}H}$	${\displaystyle {}G}$	${\displaystyle {}C}$	${\displaystyle {}D}$

b) Wir bezeichen die Seiten mit

${\displaystyle {}I=\{A,B,C,D\}\,,}$

${\displaystyle {}II=\{A,B,E,F\}\,,}$

${\displaystyle {}III=\{A,D,E,H\}\,,}$

${\displaystyle {}IV=\{B,C,F,G\}\,,}$

${\displaystyle {}V=\{C,D,G,H\}\,,}$

${\displaystyle {}VI=\{E,F,G,H\}\,.}$

${\displaystyle {}s}$	${\displaystyle {}I}$	${\displaystyle {}II}$	${\displaystyle {}III}$	${\displaystyle {}IV}$	${\displaystyle {}V}$	${\displaystyle {}VI}$
${\displaystyle {}\alpha (s)}$	${\displaystyle {}III}$	${\displaystyle {}I}$	${\displaystyle {}II}$	${\displaystyle {}V}$	${\displaystyle {}VI}$	${\displaystyle {}IV}$

${\displaystyle {}s}$	${\displaystyle {}I}$	${\displaystyle {}II}$	${\displaystyle {}III}$	${\displaystyle {}IV}$	${\displaystyle {}V}$	${\displaystyle {}VI}$
${\displaystyle {}\beta (s)}$	${\displaystyle {}VI}$	${\displaystyle {}III}$	${\displaystyle {}II}$	${\displaystyle {}V}$	${\displaystyle {}IV}$	${\displaystyle {}I}$

${\displaystyle {}s}$	${\displaystyle {}I}$	${\displaystyle {}II}$	${\displaystyle {}III}$	${\displaystyle {}IV}$	${\displaystyle {}V}$	${\displaystyle {}VI}$
${\displaystyle {}\alpha \beta (s)}$	${\displaystyle {}IV}$	${\displaystyle {}II}$	${\displaystyle {}I}$	${\displaystyle {}VI}$	${\displaystyle {}V}$	${\displaystyle {}III}$

${\displaystyle {}s}$	${\displaystyle {}I}$	${\displaystyle {}II}$	${\displaystyle {}III}$	${\displaystyle {}IV}$	${\displaystyle {}V}$	${\displaystyle {}VI}$
${\displaystyle {}\beta \alpha (s)}$	${\displaystyle {}II}$	${\displaystyle {}VI}$	${\displaystyle {}III}$	${\displaystyle {}IV}$	${\displaystyle {}I}$	${\displaystyle {}V}$

c) ${\displaystyle {}\alpha \beta }$ ist die Vierteldrehung um die Seitenmittelpunktsaches der Seiten II und V mit der Ordnung ${\displaystyle {}4}$. ${\displaystyle {}\beta \alpha }$ ist die Vierteldrehung um die Seitenmittelpunktsaches der Seiten III und IV mit der Ordnung ${\displaystyle {}4}$.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler normierter ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum. Wir versehen den Endomorphismenraum ${\displaystyle {}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}}$ mit der zugehörigen Maximumsnorm. Es seien ${\displaystyle {}\varphi ,\psi \in \operatorname {End} _{}{\left(V\right)}}$ Endomorphismen. Zeige

${\displaystyle {}\mid \mid \!\varphi \circ \psi \!\mid \mid _{\operatorname {max} }\leq \mid \mid \!\varphi \!\mid \mid _{\operatorname {max} }\cdot \mid \mid \!\psi \!\mid \mid _{\operatorname {max} }\,.}$

Für jeden Vektor ${\displaystyle {}v\in V}$ der Norm ${\displaystyle {}1}$ ist

${\displaystyle {}\Vert {\psi (v)}\Vert \leq \mid \mid \!\psi \!\mid \mid _{\operatorname {max} }\,}$

und daher ist (mit dem Ansatz ${\displaystyle {}w=\mid \mid \!\psi \!\mid \mid _{\operatorname {max} }z}$)

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {(\varphi \circ \psi )(v)}\Vert &=\Vert {\varphi (\psi (v))}\Vert \\&\leq {\max {\left(\Vert {\varphi (w)}\Vert ,\Vert {w}\Vert \leq \mid \mid \!\psi \!\mid \mid _{\operatorname {max} }\right)}}\\&={\max {\left(\Vert {\varphi (\mid \mid \!\psi \!\mid \mid _{\operatorname {max} }\cdot z)}\Vert ,\Vert {z}\Vert \leq 1\right)}}\\&={\max {\left(\Vert {\mid \mid \!\psi \!\mid \mid _{\operatorname {max} }\varphi (z)}\Vert ,\Vert {z}\Vert \leq 1\right)}}\\&=\mid \mid \!\psi \!\mid \mid _{\operatorname {max} }{\max {\left(\Vert {\varphi (z)}\Vert ,\Vert {z}\Vert \leq 1\right)}}\\&=\mid \mid \!\psi \!\mid \mid _{\operatorname {max} }\cdot \mid \mid \!\varphi \!\mid \mid _{\operatorname {max} }.\end{aligned}}}$

Also ist

${\displaystyle {}\mid \mid \!\varphi \circ \psi \!\mid \mid _{\operatorname {max} }={\max {\left(\Vert {(\varphi \circ \psi )(v)}\Vert ,\Vert {v}\Vert \leq 1\right)}}=\mid \mid \!\psi \!\mid \mid _{\operatorname {max} }\cdot \mid \mid \!\varphi \!\mid \mid _{\operatorname {max} }\,.}$

Wir betrachten die durch die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&-2&1\\1&2&-4\\0&3&-1\end{pmatrix}}}$

gegebene lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}.}$

Bestimme die Matrix von

${\displaystyle \bigwedge ^{2}\varphi \colon \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}}$

bezüglich der Basis ${\displaystyle {}e_{1}\wedge e_{2},e_{1}\wedge e_{3},e_{2}\wedge e_{3}}$.

Es ist

${\displaystyle {}\varphi (e_{1})=3e_{1}+e_{2}\,,}$

${\displaystyle {}\varphi (e_{2})=-2e_{1}+2e_{2}+3e_{3}\,,}$

${\displaystyle {}\varphi (e_{3})=e_{1}-4e_{2}-1e_{3}\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi (e_{1}\wedge e_{2})&=\varphi (e_{1})\wedge \varphi (e_{2})\\&={\left(3e_{1}+e_{2}\right)}\wedge {\left(-2e_{1}+2e_{2}+3e_{3}\right)}\\&=6e_{1}\wedge e_{2}+9e_{1}\wedge e_{3}-2e_{2}\wedge e_{1}+3e_{2}\wedge e_{3}\\&=8e_{1}\wedge e_{2}+9e_{1}\wedge e_{3}+3e_{2}\wedge e_{3},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi (e_{1}\wedge e_{3})&=\varphi (e_{1})\wedge \varphi (e_{3})\\&={\left(3e_{1}+e_{2}\right)}\wedge {\left(e_{1}-4e_{2}-1e_{3}\right)}\\&=-12e_{1}\wedge e_{2}-3e_{1}\wedge e_{3}+e_{2}\wedge e_{1}-e_{2}\wedge e_{3}\\&=-13e_{1}\wedge e_{2}-3e_{1}\wedge e_{3}-e_{2}\wedge e_{3},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi (e_{2}\wedge e_{3})&=\varphi (e_{2})\wedge \varphi (e_{3})\\&={\left(-2e_{1}+2e_{2}+3e_{3}\right)}\wedge {\left(e_{1}-4e_{2}-1e_{3}\right)}\\&=8e_{1}\wedge e_{2}+2e_{1}\wedge e_{3}+2e_{2}\wedge e_{1}-2e_{2}\wedge e_{3}+3e_{3}\wedge e_{1}-12e_{3}\wedge e_{2}\\&=6e_{1}\wedge e_{2}-e_{1}\wedge e_{3}+10e_{2}\wedge e_{3}.\end{aligned}}}$

Die beschreibende Matrix ist daher

${\displaystyle {\begin{pmatrix}8&-13&6\\9&-3&-1\\3&-1&10\end{pmatrix}}.}$