Kurs:Lineare Algebra/Teil II/23/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Kreuzprodukt zu zwei Vektoren ${\displaystyle {}x,y\in K^{3}}$.
2. Die Mittelsenkrechte zur Strecke zwischen den beiden Punkten ${\displaystyle {}A\neq B}$ in einer euklidischen Ebene.
3. Der Typ einer symmetrischen Bilinearform ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
4. Eine Sesquilinearform auf einem ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
5. Ein innerer Automorphismus einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
6. Die abgeschlossene Kugel mit Mittelpunkt ${\displaystyle {}x\in M}$ und Radius ${\displaystyle {}r\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$ in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}M}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz des Pythagoras in einem ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit Skalarprodukt.
2. Der Satz über den Gradienten zu einer Linearform auf einem euklidischen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
3. Der Charakterisierungssatz für einen Normalteiler ${\displaystyle {}H\subseteq G}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.

Bestimme diejenigen Vektoren im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$, deren Summennorm gleich ${\displaystyle {}1}$ und deren Maximumsnorm gleich ${\displaystyle {}{\frac {4}{5}}}$ ist.

Es sei

${\displaystyle {}v={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.}$

Die beiden Bedingungen sind

${\displaystyle {}\vert {x}\vert +\vert {y}\vert =1\,}$

und

${\displaystyle {}\operatorname {max} \left(\vert {x}\vert ,\,\vert {y}\vert \right)={\frac {4}{5}}\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}\vert {x}\vert ={\frac {4}{5}}\,}$

und

${\displaystyle {}\vert {y}\vert ={\frac {1}{5}}\,}$

oder umgekehrt. Daher gibt es die acht Lösungen

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\pm {\frac {4}{5}}\\\pm {\frac {1}{5}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\pm {\frac {1}{5}}\\\pm {\frac {4}{5}}\end{pmatrix}}\,.}$

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ euklidische Vektorräume und sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}\varphi }$ ist eine Isometrie.
2. Für jede Orthonormalbasis ${\displaystyle {}u_{i},i=1,\ldots ,n}$, von ${\displaystyle {}V}$ ist ${\displaystyle {}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n}$, Teil einer Orthonormalbasis von ${\displaystyle {}W}$.
3. Es gibt eine Orthonormalbasis ${\displaystyle {}u_{i},i=1,\ldots ,n}$, von ${\displaystyle {}V}$ derart, dass ${\displaystyle {}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n}$, Teil einer Orthonormalbasis von ${\displaystyle {}W}$ ist.

Aus (1) folgt (2). Wenn eine Isometrie vorliegt, und ${\displaystyle {}u_{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$, eine Orthonormalbasis von ${\displaystyle {}V}$ ist, so ist

${\displaystyle {}\left\langle \varphi (u_{i}),\varphi (u_{j})\right\rangle =\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,}$

und somit ist ${\displaystyle {}\varphi (u_{i})}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$, eine Orthonormalbasis von ${\displaystyle {}\varphi (V)}$. Diese kann man zu einer Orthonormalbasis von ${\displaystyle {}W}$ ergänzen.

Von (2) nach (3) ist klar, da es Orthonormalbasen von ${\displaystyle {}V}$ gibt.

Von (3) nach (1). Es sei ${\displaystyle {}u_{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$, eine Orthonormalbasis von ${\displaystyle {}V}$ mit der Eigenschaft, dass

${\displaystyle \varphi (u_{i}),\,i=1,\ldots ,n,}$

Teil einer Orthonormalbasis von ${\displaystyle {}W}$ ist. Für zwei beliebige Vektoren ${\displaystyle {}u=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}}$ und ${\displaystyle {}v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{i}}$ von ${\displaystyle {}V}$ ist dann

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle \varphi (u),\varphi (v)\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi (u_{i}),\sum _{j=1}^{n}b_{j}\varphi (u_{j})\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{i}b_{j}\left\langle \varphi (u_{i}),\varphi (u_{j})\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{i}b_{i}\\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{i}b_{i}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i},\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle u,v\right\rangle ,\end{aligned}}}$

es liegt also eine Isometrie vor.

Wir betrachten Dreiecke mit der Eigenschaft, dass die Eckpunkte ${\displaystyle {}A={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}B={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ fixiert sind und der dritte Eckpunkt ${\displaystyle {}C={\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}}}$ (mit ${\displaystyle {}s>0}$) variabel ist.

a) Bestimme den Höhenfußpunkt durch ${\displaystyle {}C}$.

b) Bestimme den Höhenfußpunkt durch ${\displaystyle {}B}$.

c) Bestimme den Höhenschnittpunkt.

a) Die Höhe durch ${\displaystyle {}C}$ ist einfach die durch die Gleichung ${\displaystyle {}x=r}$ gegebene Gerade, der Höhenfußpunkt ist also ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}r\\0\end{pmatrix}}}$.

b) Die Gerade zur Seite zwischen ${\displaystyle {}A}$ und ${\displaystyle {}C}$ wird direkt durch den Vektor ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}}}$ beschrieben. Dazu senkrecht steht ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}-s\\r\end{pmatrix}}}$. Die Höhengerade durch ${\displaystyle {}B}$ besitzt somit die Form

${\displaystyle {\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-s\\r\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}.}$

Die Bedingung für den Höhenfußpunkt ist demnach

${\displaystyle {}u{\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-s\\r\end{pmatrix}}\,,}$

was zum linearen Gleichungssystem

${\displaystyle {}ru+ts=1\,}$

${\displaystyle {}us-tr=0\,}$

führt. Die zweite Gleichung führt auf ${\displaystyle {}u=\lambda r}$ und ${\displaystyle {}t=\lambda s}$ und somit

${\displaystyle {}\lambda r^{2}+\lambda s^{2}=1\,,}$

also

${\displaystyle {}\lambda ={\frac {1}{r^{2}+s^{2}}}\,.}$

Der Höhenfußpunkt zur Höhe durch ${\displaystyle {}B}$ ist deshalb

${\displaystyle {\frac {r}{r^{2}+s^{2}}}{\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}}.}$

c) Die Bedingung für den Höhenschnittpunkt ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-s\\r\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\\z\end{pmatrix}}\,.}$

Die erste Zeile führt zu

${\displaystyle {}t={\frac {1-r}{s}}\,}$

und damit ist der Höhenschnittpunkt gleich

${\displaystyle {\begin{pmatrix}r\\{\frac {r-r^{2}}{s}}\end{pmatrix}}.}$

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, auf dem eine symmetrische Bilinearform ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ definiert sei. Zeige, dass man eine Orthogonalbasis eines Untervektorraumes ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ im Allgemeinen nicht zu einer Orthogonalbasis von ${\displaystyle {}V}$ ergänzen kann.

Es sei ${\displaystyle {}V=\mathbb {R} ^{2}}$, versehen mit der Standard-Minkowski-Form, die durch die Matrix ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$ bezüglich der Standardbasis gegeben ist. Es sei

${\displaystyle {}U=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\,.}$

Hierbei bildet der einzige Vektor ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$ eine Orthogonalbasis des eindimensionalen Raumes ${\displaystyle {}U}$. Die Orthogonalitätsbedingung

${\displaystyle {}\left\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\right\rangle =x-y=0\,}$

wird nur von Vielfachen von ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$ erfüllt. Es gibt also keinen zweiten Basisvektor, der zu ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$ orthogonal ist.

Zeige, dass die Untergruppen von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ genau die Teilmengen der Form

${\displaystyle {}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,}$

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl ${\displaystyle {}d}$ sind.

Eine Teilmenge der Form ${\displaystyle {}\mathbb {Z} d}$ ist aufgrund des Distributivgesetzes eine Untergruppe. Es sei umgekehrt ${\displaystyle {}H\subseteq \mathbb {Z} }$ eine Untergruppe. Bei ${\displaystyle {}H=0}$ kann man ${\displaystyle {}d=0}$ nehmen, sodass wir voraussetzen dürfen, dass ${\displaystyle {}H}$ neben ${\displaystyle {}0}$ noch mindestens ein weiteres Element ${\displaystyle {}x}$ enthält. Wenn ${\displaystyle {}x}$ negativ ist, so muss die Untergruppe ${\displaystyle {}H}$ auch das Negative davon, also ${\displaystyle {}-x}$ enthalten, welches positiv ist. D.h. ${\displaystyle {}H}$ enthält auch positive Zahlen. Es sei nun ${\displaystyle {}d}$ die kleinste positive Zahl aus ${\displaystyle {}H}$. Wir behaupten ${\displaystyle {}H=\mathbb {Z} d}$. Dabei ist die Inklusion ${\displaystyle {}\mathbb {Z} d\subseteq H}$ klar, da mit ${\displaystyle {}d}$ alle (positiven und negativen) Vielfachen von ${\displaystyle {}d}$ dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei ${\displaystyle {}h\in H}$ beliebig. Nach der Division mit Rest gilt

${\displaystyle h=qd+r{\text{ mit }}0\leq r<d.}$

Wegen ${\displaystyle h\in H}$ und ${\displaystyle qd\in H}$ ist auch ${\displaystyle {}r=h-qd\in H}$. Nach der Wahl von ${\displaystyle {}d}$ muss wegen ${\displaystyle {}r<d}$ gelten: ${\displaystyle {}r=0}$. Dies bedeutet ${\displaystyle {}h=qd}$ und damit ${\displaystyle {}h\in \mathbb {Z} d}$, also ${\displaystyle {}H\subseteq \mathbb {Z} d}$.

Welche der folgenden Abbildungen ist ein Gruppenhomomorphismus?

1. ${\displaystyle (\mathbb {R} _{+},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},1,\cdot ),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.}$

2. ${\displaystyle (\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.}$

3. ${\displaystyle (\mathbb {R} _{\geq 0},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} _{\geq 0},1,\cdot ),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.}$

4. ${\displaystyle (\mathbb {R} _{+},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.}$

1. Dies ist ein Gruppenhomomorphismus. Die positiven reellen Zahlen ${\displaystyle {}(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )}$ bilden mit der Multiplikation eine Gruppe und es gilt

   ${\displaystyle {}{\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {y}}\,,}$

   da die Quadrate davon übereinstimmen.

2. Dies ist kein Gruppenhomomorphismus, allein schon deshalb, weil die Wurzel für negative Zahlen gar nicht definiert ist.
3. Dies ist kein Gruppenhomomorphismus, da ${\displaystyle {}(\mathbb {R} _{\geq 0},1,\cdot )}$ keine Gruppe ist, da ${\displaystyle {}0}$ kein inverses Element besitzt.
4. Dies ist kein Gruppenhomomorphismus, da das neutrale Element links nicht auf das neutrale Element rechts abgebildet wird.

Es sei ${\displaystyle {}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )}$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$. Definiere die Begriffe „Halbachse von ${\displaystyle {}G}$“ und erläutere, wann zwei Halbachsen „äquivalent“ sind. Zu einer Halbachse ${\displaystyle {}H}$ sei

${\displaystyle {}G_{H}={\left\{g\in G\mid g(H)=H\right\}}\,.}$

Zeige, dass zu zwei äquivalenten Halbachsen ${\displaystyle {}H_{1}}$ und ${\displaystyle {}H_{2}}$ die Gruppen ${\displaystyle {}G_{H_{1}}}$ und ${\displaystyle {}G_{H_{2}}}$ isomorph sind.

Eine Halbachse zu ${\displaystyle {}G}$ ist eine Halbgerade, die durch die Drehachse eines Elementes ${\displaystyle {}g\in G}$, ${\displaystyle {}g\neq \operatorname {id} }$, gegeben ist. Zwei Halbachsen ${\displaystyle {}H}$ und ${\displaystyle {}H'}$ heißen äquivalent, wenn es ein ${\displaystyle {}f\in G}$ gibt mit ${\displaystyle {}f(H)=H'}$. Es seien zwei äquivalente Halbachsen ${\displaystyle {}H,H'}$ gegeben und seien ${\displaystyle {}G_{H}={\left\{g\in G\mid g(H)=H\right\}}}$ und ${\displaystyle {}G_{H'}={\left\{g\in G\mid g(H')=H'\right\}}}$ die zugehörigen Isotropiegruppen. Dann definiert ${\displaystyle {}f\in G}$ mit ${\displaystyle {}f(H)=H'}$ durch

${\displaystyle G_{H}\longrightarrow G_{H'},\,g\longmapsto fgf^{-1},}$

einen Isomorphismus der beiden Gruppen. Als ein innerer Automorphismus ist diese Zuordnung ein Isomorphismus auf ${\displaystyle {}G}$, man muss also nur noch zeigen, dass ${\displaystyle {}G_{H}}$ nach ${\displaystyle {}G_{H'}}$ abgebildet wird. Für ${\displaystyle {}g\in G_{H}}$ ist aber

${\displaystyle {}{\left(fgf^{-1}\right)}(H')=(fg)f^{-1}(H')=(fg)(H)=f(g(H))=f(H)=H'\,,}$

sodass ${\displaystyle {}fgf^{-1}\in G_{H'}}$ ist.

Berechne für die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}}$

die Maximumsnorm, wenn der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ als Definitionsraum mit der Summennorm und als Zielraum mit der euklidischen Norm versehen ist.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+2y\\4x+3y\end{pmatrix}}\,.}$

Die Maximumsnorm ist das Maximum der euklidischen Norm der Bildvektoren, also das Maximum von

${\displaystyle {}{\sqrt {{\left(x+2y\right)}^{2}+{\left(4x+3y\right)}^{2}}}={\sqrt {x^{2}+4y^{2}+4xy+16x^{2}+9y^{2}+24xy}}={\sqrt {17x^{2}+28xy+13y^{2}}}\,}$

für die Menge

${\displaystyle {}{\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid \,\mid \mid \!{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }\leq 1\right\}}={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mid \vert {x}\vert +\vert {y}\vert \leq 1\right\}}\,.}$

Das Maximum wird auf dem Ausschnitt des Randes mit ${\displaystyle {}x,y\geq 0}$ und ${\displaystyle {}x+y=1}$ angenommen. Dies führt auf den Ausdruck

${\displaystyle {}17x^{2}+28xy+13y^{2}=17x^{2}+28x(1-x)+13(1-x)^{2}=2x^{2}+2x+13\,}$

für ${\displaystyle {}x\in [0,1]}$. Die Maximumsnorm ist also ${\displaystyle {}{\sqrt {17}}}$.

Beweise den Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.

Es sei ${\displaystyle {}w\in \mathbb {R} ^{n}}$ die nach Lemma 54.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (3) eindeutig bestimmte stationäre Verteilung und

${\displaystyle {}U={\left\{{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\mid \sum _{i=1}^{n}u_{i}=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,.}$

Dies ist ein Untervektorraum von ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ der Dimension ${\displaystyle {}n-1}$. Nach Lemma 54.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (2) hat ${\displaystyle {}w}$ ausschließlich nichtnegative Einträge und gehört damit nicht zu ${\displaystyle {}U}$. Wegen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}(Mu)_{i}&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}u_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}u_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}u_{j}\end{aligned}}}$

ist ${\displaystyle {}U}$ invariant unter der Matrix ${\displaystyle {}M}$. Somit ist

${\displaystyle {}V=\mathbb {R} w\oplus U\,}$

eine direkte Summenzerlegung in invariante Untervektorräume. Für jedes ${\displaystyle {}u\in U}$ mit ${\displaystyle {}\mid \mid \!u\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }=1}$ ist

${\displaystyle {}\mid \mid \!Mu\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }<1\,}$

nach Lemma 54.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (2). Da die Sphäre zum Radius ${\displaystyle {}1}$ bezüglich jeder Norm kompakt ist, ist die induzierte Maximumsnorm von ${\displaystyle {}M{|}_{U}}$ kleiner als ${\displaystyle {}1}$. Nach Lemma 53.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) und Satz 53.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) konvergiert daher die Folge ${\displaystyle {}M^{n}u}$ für jedes ${\displaystyle {}u\in U}$ gegen den Nullvektor.

Es sei nun ${\displaystyle {}v\in V}$ ein Verteilungsvektor, den wir wegen

${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}v_{i}=1=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,}$

als

${\displaystyle {}v=w+u\,}$

mit ${\displaystyle {}u\in U}$ schreiben können. Wegen

${\displaystyle {}M^{m}v=M^{m}(w+u)=M^{m}w+M^{m}u=w+M^{m}u\,}$

und der Vorüberlegung konvergiert diese Folge gegen ${\displaystyle {}w}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und seien ${\displaystyle {}I}$ und ${\displaystyle {}J}$ endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)},\,(f,g)\longmapsto f\otimes g,}$

mit

${\displaystyle {}(f\otimes g)(i,j):=f(i)\cdot g(j)\,}$

multilinear ist.

Da die Situation symmetrisch ist, genügt es, die Linearität im ersten Eintrag bei fixiertem zweiten Eintrag zu zeigen. Es seien also ${\displaystyle {}f_{1},f_{2}\in \operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}}$, ${\displaystyle {}g\in \operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}}$ und ${\displaystyle {}a_{1},a_{2}\in K}$. Die Gleichheit ist in ${\displaystyle {}\operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)}}$ zu zeigen. Dazu sei ${\displaystyle {}i\in I}$ und ${\displaystyle {}j\in J}$. Dann ist insgesamt, wobei wir die Vektorraumstruktur auf den Abbildungsräumen und das Distributivgesetz in ${\displaystyle {}K}$ verwenden,

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left({\left(a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}\right)}\otimes g\right)}(i,j)&={\left(a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}\right)}(i)\cdot g(j)\\&={\left(a_{1}f_{1}(i)+a_{2}f_{2}(i)\right)}\cdot g(j)\\&=a_{1}f_{1}(i)g(j)+a_{2}f_{2}(i)g(j)\\&=a_{1}{\left(f_{1}\otimes g\right)}(i,j)+a_{2}{\left(f_{2}\otimes g\right)}(i,j),\end{aligned}}}$

was die Linearität zeigt.