Kurs:Lineare Algebra/Teil II/21/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Standardskalarprodukt auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$.
2. Der Abstand von nichtleeren Teilmengen ${\displaystyle {}A,B\subseteq M}$ in einem metrischen Raum ${\displaystyle {}M}$.
3. Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$.
4. Die Ordnung eines Elementes ${\displaystyle {}g\in G}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
5. Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation ${\displaystyle {}\sim }$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$.
6. Eine eigentliche Symmetrie einer Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq V}$ eines euklidischen Vektorraumes ${\displaystyle {}V}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Koeffizienten zu einer Orthonormalbasis in einem Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ mit Skalarprodukt.
2. Der Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.
3. Der Satz über die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts.

a) Es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}$

eine eigentliche Isometrie. Zeige, dass für das Kreuzprodukt die Gleichung

${\displaystyle {}\varphi {\left(x\times y\right)}=\varphi (x)\times \varphi (y)\,}$

gilt.

b) Zeige, dass diese Gleichung bei einer Isometrie nicht gelten muss.

a) Es sei

${\displaystyle {}x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}\,}$

und

${\displaystyle {}y={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}=y_{1}e_{1}+y_{2}e_{2}+y_{3}e_{3}\,.}$

Da ${\displaystyle {}\varphi }$ eine Isometrie ist, bilden die

${\displaystyle {}u_{i}=\varphi (e_{i})\,}$

nach Lemma 33.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ebenfalls eine Orthonormalbasis, und da die Isometrie eigentlich ist, gilt

${\displaystyle {}\det \left(u_{1},\,u_{2},\,u_{3}\right)=1\,.}$

Deshalb kann man Lemma 33.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) anwenden und erhält

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi (x)\times \varphi (y)&=\varphi (x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3})\times \varphi (y_{1}e_{1}+y_{2}e_{2}+y_{3}e_{3})\\&=(x_{1}u_{1}+x_{2}u_{2}+x_{3}u_{3})\times \varphi (y_{1}u_{1}+y_{2}u_{2}+y_{3}u_{3})\\&=(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})u_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})u_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})u_{3}\\&=\varphi {\left((x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})e_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})e_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})e_{3}\right)}\\&=\varphi {\left(x\times y\right)}.\end{aligned}}}$

b) Wir betrachten die Isometrie, die durch ${\displaystyle {}e_{1}\mapsto e_{1}=u_{1}}$, ${\displaystyle {}e_{2}\mapsto e_{2}=u_{2}}$, ${\displaystyle {}e_{3}\mapsto -e_{3}=u_{3}}$ gegeben ist. Es ist

${\displaystyle {}e_{1}\times e_{2}=e_{3}\,,}$

und somit

${\displaystyle {}\varphi (e_{1})\times \varphi (e_{2})=e_{1}\times e_{2}=e_{3}\neq \varphi (e_{3})=\varphi (e_{1}\times e_{2})\,.}$

aber

Beweise den Satz, dass eine Linearform auf einem euklidischen Vektorraum einen eindeutigen Gradienten besitzt.

Die Aussage folgt aus dem Zusatz. Es sei also eine Orthonormalbasis ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{n}}$ gegeben und sei ${\displaystyle {}w=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}}$. Dann ist für jedes ${\displaystyle {}j}$

${\displaystyle {}\left\langle w,u_{j}\right\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i},u_{j}\right\rangle =a_{j}=f(u_{j})\,.}$

D.h. die beiden linearen Abbildungen ${\displaystyle {}v\mapsto \left\langle w,v\right\rangle }$ und ${\displaystyle {}f}$ stimmen auf einer Basis überein, sind also nach Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) identisch. Für jeden anderen Vektor ${\displaystyle {}w'=\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{i}}$ ist der Wert der zugehörigen Linearform an mindestens einem Basisvektor ${\displaystyle {}u_{j}}$ von ${\displaystyle {}f(u_{j})}$ verschieden, daher liegt Eindeutigkeit vor.

Es sei ein (nichtausgeartetes) Dreieck und eine Gerade ${\displaystyle {}G}$ in der Ebene gegeben, wobei die Gerade durch keinen Eckpunkt des Dreiecks verläuft. Zeige, dass die Gerade höchstens zwei Seiten des Dreiecks trifft. Verwende, dass eine Gerade die Ebene in zwei disjunkte offene Halbebene zerlegt, die beide konvex sind.

Es seien ${\displaystyle {}U_{1}}$ und ${\displaystyle {}U_{2}}$ die beiden offenen Halbebenen, die durch die Gerade ${\displaystyle {}G}$ getrennt werden. Die drei Eckpunkte liegen in ${\displaystyle {}U_{1}\cup U_{2}}$, da die Gerade selbst durch keinen Eckpunkt verläuft. Wenn zwei Eckpunkte in ${\displaystyle {}U_{1}}$ (oder in ${\displaystyle {}U_{2}}$) liegen, so gehört wegen der Konvexität auch die Verbindungsstrecke dieser beiden Eckpunkte (die ja die zugehörige Dreiecksseite ist) ganz zu ${\displaystyle {}U_{1}}$ und hat deshalb mit ${\displaystyle {}G}$ keinen Schnittpunkt.

Es sei ${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$ eine symmetrische Bilinearform vom Typ ${\displaystyle {}(p,q)}$ auf einem reellen Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ der Dimension ${\displaystyle {}n}$. Es sei ${\displaystyle {}W\subseteq V}$ ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass die Einschränkung der Form auf ${\displaystyle {}W}$ positiv definit sei. Zeige, dass es einen ${\displaystyle {}p}$-dimensionalen Untervektorraum ${\displaystyle {}U}$ mit ${\displaystyle {}W\subseteq U\subseteq V}$ derart gibt, dass die Einschränkung auf ${\displaystyle {}U}$ ebenfalls positiv definit ist.

Es sei ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{d}}$ eine Orthogonalbasis von ${\displaystyle {}W}$. Diese ergänzen wir zu einer Orthogonalbasis ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{d},v_{d+1},\ldots ,v_{n}}$ von ${\displaystyle {}V}$. Die Gramsche Matrix der Form auf ${\displaystyle {}V}$ wird bezüglich dieser Orthogonalbasis durch eine Diagonalmatrix beschrieben, deren Diagonaleinträge gleich ${\displaystyle {}\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle }$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$, sind. Nach dem Trägheitssatz von Sylvester ist die Anzahl der positiven Einträge der Diagonalelemente gleich ${\displaystyle {}p}$. Da die ersten ${\displaystyle {}d}$ Einträge positiv sind, gibt es noch ${\displaystyle {}p-d}$ (das kann ${\displaystyle {}0}$ sein) weitere Positionen, wo eine positive Zahl steht. Nach Umnummerierung können wir annehmen, dass die ersten ${\displaystyle {}p}$ Einträge positiv sind. Wir betrachten den ${\displaystyle {}p}$-dimensionalen Untervektorraum

${\displaystyle {}U=\langle v_{1},\ldots ,v_{p}\rangle \,.}$

Dieser enthält ${\displaystyle {}W}$ als Untervektorraum, und die Einschränkung der Form darauf ist positiv definit, da man diese Eigenschaft auf einer Orthogonalbasis überprüfen kann.

Bestimme mit dem Eigenwertkriterium den Typ der durch die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}7&0&0\\0&5&-4\\0&-4&2\end{pmatrix}}}$

gegebenen symmetrischen Bilinearform.

Das charakteristische Polynom der Matrix ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}x-7&0&0\\0&x-5&4\\0&4&x-2\end{pmatrix}}&=(x-7)((x-5)(x-2)-16)\\&=(x-7)(x^{2}-7x+10-16)\\&=(x-7)(x^{2}-7x-6).\end{aligned}}}$

Das Polynom ${\displaystyle {}x^{2}-7x-6}$ hat an der Stelle ${\displaystyle {}0}$ einen negativen Wert, deshalb besitzt es eine positive und eine negative Nullstelle. Da ${\displaystyle {}7}$ eine weitere Nullstelle des charakteristische Polynoms ist, besitzt dieses ${\displaystyle {}2}$ positive und eine negative Nullstelle. Daher ist der Typ der Bilinearform gleich ${\displaystyle {}(2,1)}$.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ ein Untervektorraum mit der orthogonalen Projektion

${\displaystyle p_{U}\colon V\longrightarrow U.}$

Es sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow V}$

eine lineare Abbildung und sei ${\displaystyle {}{\hat {\varphi }}}$ der zugehörige adjungierte Endomorphismus. Zeige die Beziehung

${\displaystyle {}p_{U}\circ {\hat {\varphi }}{|}_{U}={\left(p_{U}\circ \varphi {|}_{U}\right)}^{\hat {}}\,.}$

Es ist

${\displaystyle {}\varphi =p_{U}\circ \varphi \oplus p_{U^{\perp }}\circ \varphi \,}$

und ebenso

${\displaystyle {}{\hat {\varphi }}=p_{U}\circ {\hat {\varphi }}\oplus p_{U^{\perp }}\circ {\hat {\varphi }}\,.}$

Für ${\displaystyle {}u,v\in U}$ gilt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle p_{U}(\varphi (u)),v\right\rangle &=\left\langle \varphi (u)-p_{U^{\perp }}(\varphi (u)),v\right\rangle \\&=\left\langle \varphi (u),v\right\rangle -\left\langle p_{U^{\perp }}(\varphi (u)),v\right\rangle \\&=\left\langle \varphi (u),v\right\rangle \\&=\left\langle u,{\hat {\varphi }}(v)\right\rangle \\&=\left\langle u,p_{U}({\hat {\varphi }}(v))+p_{U^{\perp }}({\hat {\varphi }}(v))\right\rangle \\&=\left\langle u,p_{U}({\hat {\varphi }}(v))\right\rangle .\end{aligned}}}$

Deshalb erfüllt ${\displaystyle {}p_{U}\circ {\hat {\varphi }}{|}_{U}}$ die charakteristische Eigenschaft des adjungierten Endomorphismus von ${\displaystyle {}p_{U}\circ \varphi {|}_{U}}$ und stimmt daher mit diesem überein.

Beweise die universelle Eigenschaft der Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation.

Es sei ${\displaystyle {}[x]\in M/\sim }$ gegeben. Die einzige Möglichkeit für ${\displaystyle {}{\overline {\varphi }}}$ ist ${\displaystyle {}{\overline {\varphi }}([x]):=\varphi (x)}$ zu setzen. Es muss aber gezeigt werden, dass diese Abbildung überhaupt wohldefiniert ist, also unabhängig von der Wahl des Repräsentanten ist. Es sei hierzu ${\displaystyle {}[x]=[y]}$, also ${\displaystyle {}x\sim y}$. Dann ist nach der Voraussetzung an ${\displaystyle {}\varphi }$ aber ${\displaystyle {}\varphi (x)=\varphi (y)}$.

Betrachte die rationalen Zahlen ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,+,0)}$ als kommutative Gruppe. Es sei ${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {Q} }$ eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass ${\displaystyle {}G}$ zyklisch ist.

Es werde ${\displaystyle {}G}$ von den rationalen Zahlen ${\displaystyle {}q_{1}={\frac {a_{1}}{b_{1}}}}$, ... , ${\displaystyle {}q_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ erzeugt. Durch Übergang zu einem Hauptnenner können wir annehmen, dass

${\displaystyle {}b_{1}=\ldots =b_{n}=b\,}$

ist. Es sei ${\displaystyle {}a}$ der größte gemeinsame Teiler der Zähler ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{n}}$. Nach dem Lemma von Bezout kann man diesen als ganzzahlige Linearkombination dieser Zähler ausdrücken, d.h. ${\displaystyle {}{\frac {a}{b}}}$ gehört zu ${\displaystyle {}G}$. Da die ${\displaystyle {}a_{i}}$ Vielfache von ${\displaystyle {}a}$ sind, gehören ${\displaystyle {}{\frac {a_{i}}{b}}}$ zu der von ${\displaystyle {}{\frac {a}{b}}}$ erzeugten Gruppe, also ist

${\displaystyle {}G=\mathbb {Z} {\frac {a}{b}}\,.}$

Beweise den Satz, dass der Kern eines Gruppenhomomorphismus ein Normalteiler ist.

Eine Untergruppe liegt aufgrund von Lemma 44.21 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) vor. Wir verwenden Lemma 46.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)). Es sei also ${\displaystyle {}x\in G}$ beliebig und ${\displaystyle {}h\in \operatorname {kern} \varphi }$. Dann ist

${\displaystyle {}\varphi {\left(xhx^{-1}\right)}=\varphi (x)\varphi (h)\varphi {\left(x^{-1}\right)}=\varphi (x)e_{H}\varphi {\left(x^{-1}\right)}=\varphi (x)\varphi (x)^{-1}=e_{H}\,,}$

also gehört ${\displaystyle {}xhx^{-1}}$ ebenfalls zum Kern.

Bestimme die Ordnung der Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}}$

über dem Körper mit ${\displaystyle {}3}$ Elementen.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}\,}$

und

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.}$

Letztere Matrix hat die Ordnung ${\displaystyle {}2}$, deshalb hat die Ausgangsmatrix die Ordnung ${\displaystyle {}8}$.

Bestimme die eigentliche und die uneigentliche Symmetriegruppe eines jeden Großbuchstabens

A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z.

Diskutiere bei Zweifelsfällen die möglichen Interpretationen.

1. Keine Symmetrie außer der Identität:
   F,G,J,L,P,Q,R.
2. Keine eigentliche Symmetrie außer der Identität, eine Achsenspiegelung
   Horizontale Achse
   B,C,D,E,K.
   Vertikale Achse
   A,M,T,U,V,W,Y.
   
3. Eigentliche Symmetrien: Identität und Halbdrehung, keine uneigentliche Symmetrie:
   N,S,Z.
   
4. Eigentliche Symmetrien: Identität und Halbdrehung, zwei Achsenspiegelungen:
   H,I,O,X.

Zweifelfälle: Wenn man bei K den Strich nach rechts oben als kürzer als den nach rechts unten versteht, gehört K zur ersten Kategorie.

Wenn man X als eine rechtwinklige Überkreuzung versteht, so gibt es zusätzlich die Vierteldrehungen und die Spiegelungen an den Strängen.

Wenn man O als kreisrund versteht, so ist die Symmetriegruppe die volle Symmetriegruppe der Ebene.

Beweise den Satz über die Charakterisierung von orientierungstreuen Abbildungen mit der Determinante.

Es sei ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ eine Basis von ${\displaystyle {}V}$. Wegen der Bijektivität von ${\displaystyle {}\varphi }$ bilden auch die Bilder

${\displaystyle \varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})}$

eine Basis von ${\displaystyle {}V}$. Es sei

${\displaystyle {}\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,}$

sodass

${\displaystyle {}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,}$

die beschreibende Matrix der Abbildung bezüglich der Basis ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ist. Diese Matrix ist auch die Basiswechselmatrix ${\displaystyle {}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {\varphi (v)}}}$. Die Positivität der Determinante dieser Übergangsmatrix bedeutet nach Definition, dass die beiden Basen die gleiche Orientierung repräsentieren.

Der Matrizenraum ${\displaystyle {}\operatorname {Mat} _{n}(\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{n^{2}}}$ sei mit der Summennorm (bezogen auf die ${\displaystyle {}n^{2}}$ Einträge) versehen. Zeige, dass ${\displaystyle {}n\times n}$-Matrizen ${\displaystyle {}M,N}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}\mid \mid \!M\circ N\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }\leq \mid \mid \!M\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }\cdot \mid \mid \!N\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }\,}$

erfüllen.

Es sei

${\displaystyle {}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,}$

und

${\displaystyle {}N={\left(b_{k\ell }\right)}_{k\ell }\,.}$

Die Produktmatrix

${\displaystyle {}MN={\left(c_{rs}\right)}_{rs}\,}$

besitzt die Einträge

${\displaystyle {}c_{rs}=\sum _{j=1}^{n}a_{rj}b_{js}\,.}$

Die Summennorm des Produktes ist also

${\displaystyle {}\mid \mid \!MN\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }=\sum _{r,s}\vert {\sum _{j=1}^{n}a_{rj}b_{js}}\vert \leq \sum _{r,s}{\left(\sum _{j=1}^{n}\vert {a_{rj}b_{js}}\vert \right)}=\sum _{r,s,j}\vert {a_{rj}}\vert \vert {b_{js}}\vert \,.}$

Das Produkt der Summennormen der einzelnen Matrizen ist

${\displaystyle {}\mid \mid \!M\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }\cdot \mid \mid \!N\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }={\left(\sum _{i,j}\vert {a_{ij}}\vert \right)}{\left(\sum _{k,\ell }\vert {b_{k\ell }}\vert \right)}=\sum _{i,j,k,\ell }\vert {a_{ij}}\vert \vert {b_{k\ell }}\vert \,.}$

Dies ist zumindest so groß wie die zuerst genannte Summe, da hier überhaupt alle Betragsprodukte vorkommen, während in der ersten Summe gewisse Indexbedingungen erfüllt sein müssen.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine Körpererweiterung, ${\displaystyle {}V,W}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}K}$- Vektorräume und

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

eine ${\displaystyle {}K}$- lineare Abbildung. Zeige, dass es eine natürliche Isomorphie zwischen ${\displaystyle {}\operatorname {kern} \left(\operatorname {Id} _{L}\otimes \varphi \right)}$ und ${\displaystyle {}L\otimes _{K}\operatorname {kern} \varphi }$ gibt.

Aus der Untervektorraumbeziehung

${\displaystyle {}\operatorname {kern} \varphi \subseteq V\,}$

folgt nach Proposition 56.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)), dass eine Untervektorraumbeziehung

${\displaystyle {}L\otimes _{K}\operatorname {kern} \varphi \subseteq L\otimes _{K}V\,}$

vorliegt. Es ist zu zeigen, dass dieser Untervektorraum mit dem Kern von ${\displaystyle {}\operatorname {Id} _{L}\otimes \varphi }$ übereinstimmt. Dabei ist die Inklusion

${\displaystyle {}L\otimes _{K}\operatorname {kern} \varphi \subseteq \operatorname {kern} \left(\operatorname {Id} _{L}\otimes \varphi \right)\,}$

klar, da ja die Gesamtabbildung

${\displaystyle \operatorname {kern} \varphi \longrightarrow V\longrightarrow W}$

die Nullabbildung ist und sich dies auf das Tensorprodukt mit ${\displaystyle {}L}$ überträgt. Wir können auch ${\displaystyle {}W}$ durch den Bildraum

${\displaystyle {}B=\varphi (V)\,}$

ersetzen und haben dann die surjektiven Abbildungen

${\displaystyle V\longrightarrow B}$

bzw.

${\displaystyle L\otimes _{K}V\longrightarrow L\otimes _{K}B.}$

Nach Proposition 56.13 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (5) ändern sich die Dimensionen bei Tensorierung nicht. Daher folgt die Gleichheit

${\displaystyle {}L\otimes _{K}\operatorname {kern} \varphi =\operatorname {kern} \left(\operatorname {Id} _{L}\otimes \varphi \right)\,}$

aus der Dimensionsformel.

Vereinfache in ${\displaystyle {}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}}$ den Ausdruck

${\displaystyle e_{1}\wedge (e_{2}-4e_{3})-e_{2}\wedge (5e_{1}+3e_{2}-4e_{3})+{\left(7e_{3}\right)}\wedge e_{1}-4{\left(5e_{1}\wedge 2e_{3}\right)}+(2e_{1}-8e_{2})\wedge (2e_{1}-8e_{2}).}$

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,e_{1}\wedge (e_{2}-4e_{3})-e_{2}\wedge (5e_{1}+3e_{2}-4e_{3})+{\left(7e_{3}\right)}\wedge e_{1}-4{\left(5e_{1}\wedge 2e_{3}\right)}+(2e_{1}-8e_{2})\wedge (2e_{1}-8e_{2})\\&=e_{1}\wedge e_{2}-4e_{1}\wedge e_{3}-5e_{2}\wedge e_{1}+4e_{2}\wedge e_{3}+7e_{3}\wedge e_{1}-40e_{1}\wedge e_{3}\\&=e_{1}\wedge e_{2}-4e_{1}\wedge e_{3}+5e_{1}\wedge e_{2}+4e_{2}\wedge e_{3}-7e_{1}\wedge e_{3}-40e_{1}\wedge e_{3}\\&=6e_{1}\wedge e_{2}-51e_{1}\wedge e_{3}+4e_{2}\wedge e_{3}\,\end{aligned}}}$