Kurs:Elementare Algebra/24/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Betrag einer komplexen Zahl ${\displaystyle {}z=a+b{\mathrm {i} }}$.
2. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen ${\displaystyle {}(G,\circ ,e_{G})}$ und ${\displaystyle {}(H,\circ ,e_{H})}$.
3. Ein Radikal in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
4. Die eulersche Funktion ${\displaystyle {}\varphi (n)}$ zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$.
5. Die Dimension eines ${\displaystyle {}K}$-Vektorraums ${\displaystyle {}V}$ (${\displaystyle {}V}$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
6. Eine konstruierbare Zahl ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich ${\displaystyle {}R}$.
2. Der Chinesische Restsatz für ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$.
3. Der Satz über die Restklassendarstellung zur erzeugten Algebra ${\displaystyle {}K[f]}$ zu einem algebraischen Element ${\displaystyle {}f\in L}$ bei einer Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.

Es sei ${\displaystyle {}(M,\circ ,e)}$ ein Monoid und ${\displaystyle {}x,y,a\in M}$.

a) Folgt aus ${\displaystyle {}x=y}$ die Beziehung ${\displaystyle {}a\circ x=a\circ y}$?

b) Folgt aus ${\displaystyle {}a\circ x=a\circ y}$ die Beziehung ${\displaystyle {}x=y}$?

a) Das stimmt, da ja die Verknüpfung wohldefiniert ist und die gleiche Operation auf das gleiche Element angewendet wird.

b) Das stimmt nicht. Wir betrachten die Multiplikation in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(4)}$ mit ${\displaystyle {}a=2}$ und ${\displaystyle {}x=2\neq 0=y}$. Dann ist

${\displaystyle {}a\cdot 2=4=0=a\cdot 0\,.}$

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms

${\displaystyle X^{3}-1}$

und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in ${\displaystyle {}\mathbb {R} [X]}$ und in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }[X]}$ an.

Zunächst ist ${\displaystyle {}1}$ eine Nullstelle und daher ist ${\displaystyle {}X-1}$ ein Linearfaktor. Division mit Rest ergibt

${\displaystyle {}(X^{3}-1)=(X-1)(X^{2}+X+1)\,.}$

Wir müssen also noch die komplexen Nullstellen von ${\displaystyle {}X^{2}+X+1}$ bestimmen. Dazu ist

${\displaystyle {}X^{2}+X+1={\left(X+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}+1={\left(X+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {3}{4}}\,.}$

Damit ist

${\displaystyle {}X+{\frac {1}{2}}=\pm {\mathrm {i} }{\sqrt {\frac {3}{4}}}\,}$

und somit sind die weiteren Nullstellen

${\displaystyle x_{2}=-{\frac {1}{2}}+{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\,{\text{ und }}\,\,x_{3}=-{\frac {1}{2}}-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}.}$

Die Faktorzerlegung über ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ ist somit

${\displaystyle {}(X^{3}-1)=(X-1){\left(X+{\frac {1}{2}}-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}{\left(X+{\frac {1}{2}}+{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und seien ${\displaystyle {}n}$ verschiedene Zahlen ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K}$ und Zahlen ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K}$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom ${\displaystyle {}Q}$ vom Grad ${\displaystyle {}n}$ gibt, das ${\displaystyle {}Q(a_{i})=b_{i}}$ für alle ${\displaystyle {}i}$ erfüllt.

Nach dem Interpolationssatz für Polynome gibt es ein Polynom ${\displaystyle {}P}$ vom Grad ${\displaystyle {}\leq n-1}$ mit ${\displaystyle {}P(a_{i})=b_{i}}$ für alle ${\displaystyle {}i}$. Wir betrachten das Polynom

${\displaystyle {}R=(X-a_{1})(X-a_{2})\cdots (X-a_{n})\,.}$

Dieses ist ein normiertes Polynom vom Grad ${\displaystyle {}n}$, das an den Stellen ${\displaystyle {}a_{i}}$ den Wert ${\displaystyle {}0}$ annimmt. Deshalb ist

${\displaystyle {}Q:=P+R\,}$

ein normiertes Polynom vom Grad ${\displaystyle {}n}$ mit

${\displaystyle {}Q(a_{i})=P(a_{i})+R(a_{i})=b_{i}\,,}$

womit die Existenz gezeigt ist. Zum Nachweis der Eindeutigkeit seien ${\displaystyle {}Q}$ und ${\displaystyle {}Q'}$ normierte Polynome vom Grad ${\displaystyle {}n}$ mit ${\displaystyle {}Q(a_{i})=b_{i}=Q'(a_{i})}$. Dann besitzt ${\displaystyle {}Q-Q'}$ einen Grad ${\displaystyle {}\leq n-1}$, das an den ${\displaystyle {}n}$ Stellen den Wert ${\displaystyle {}0}$ besitzt. Deshalb ist es nach Korollar 5.6 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) das Nullpolynom und somit ist ${\displaystyle {}Q=Q'}$.

Man finde ein Polynom ${\displaystyle {}f\in \mathbb {R} [X]}$ mit ${\displaystyle {}f(0)=0}$, ${\displaystyle {}f(1)=1}$, ${\displaystyle {}f(-1)=1}$ und ${\displaystyle {}f(3)=9}$.

Das Polynom ${\displaystyle {}X^{2}}$ erfüllt offenbar diese Eigenschaften.

Es sei ${\displaystyle {}z}$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}z}$ ist teilerfremd zu ${\displaystyle {}10}$.
2. ${\displaystyle {}z}$ ist teilerfremd zu ${\displaystyle {}10^{k}}$ für ein ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} _{+}}$.
3. ${\displaystyle {}z}$ ist teilerfremd zu ${\displaystyle {}10^{k}}$ für jedes ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} _{+}}$.
4. Die Endziffer von ${\displaystyle {}z}$ im Zehnersystem ist ${\displaystyle {}1,3,7}$ oder ${\displaystyle {}9}$.

Wegen

${\displaystyle {}10^{k}=2^{k}\cdot 5^{k}\,}$

bedeuten (1), (2) und (3) jeweils, dass in der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}z}$ weder ${\displaystyle {}2}$ noch ${\displaystyle {}5}$ vorkommt. Wegen

${\displaystyle {}z=10v+r\,}$

mit der Endziffer ${\displaystyle {}r}$ zwischen ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}9}$ ist ${\displaystyle {}z}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}2}$ (bzw. von ${\displaystyle {}5}$) genau dann, wenn das für die Endziffer ${\displaystyle {}r}$ gilt. Dies sind aber genau die geraden Ziffern oder die ${\displaystyle {}5}$. Dass ${\displaystyle {}z}$ weder ein Vielfaches der ${\displaystyle {}2}$ noch der ${\displaystyle {}5}$ ist, ist somit äquivalent dazu, dass die Endziffer gleich ${\displaystyle {}1,3,7}$ oder ${\displaystyle {}9}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}n\geq 1}$ eine natürliche Zahl.

1. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}(n!)^{2}}$ und ${\displaystyle {}(n-1)!\cdot (n+1)!}$.
2. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von ${\displaystyle {}(n!)^{2}}$ und ${\displaystyle {}(n-1)!\cdot (n+1)!}$.

1. Es ist

   ${\displaystyle {}(n!)^{2}=(n!)(n!)=n\cdot (n-1)!\cdot n!\,}$

   und

   ${\displaystyle {}(n-1)!(n+1)!=(n-1)!\cdot (n+1)n!=(n+1)(n-1)!\cdot n!\,.}$

   Daher ist ${\displaystyle {}(n-1)!\cdot n!}$ ein gemeinsamer Teiler der beiden Zahlen. Die beiden anderen Faktoren, also ${\displaystyle {}n}$ bzw. ${\displaystyle {}n+1}$ sind teilerfremd, da ihr Abstand ${\displaystyle {}1}$ ist. Somit tragen diese Faktoren nicht zum größten gemeinsamen Teiler bei und daher ist der größte gemeinsame Teiler gleich ${\displaystyle {}(n-1)!\cdot n!}$.

2. Nach Lemma 21.3 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) und Teil (1) ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen gleich

   ${\displaystyle {}{\frac {(n!)(n!)(n-1)!(n+1)!}{(n-1)!\cdot n!}}=(n!)(n+1)!\,.}$

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}5+2{\mathrm {i} }}$ und ${\displaystyle {}3+7{\mathrm {i} }}$.

Wir setzen ${\displaystyle {}a=5+2{\mathrm {i} }}$ und ${\displaystyle {}b=3+7{\mathrm {i} }}$ und führen die Division mit Rest ${\displaystyle {}a}$ durch ${\displaystyle {}b}$ durch. Es ist (in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$)

${\displaystyle {}{\frac {a}{b}}={\frac {5+2{\mathrm {i} }}{3+7{\mathrm {i} }}}={\frac {(5+2{\mathrm {i} })(3-7{\mathrm {i} })}{(3+7{\mathrm {i} })(3-7{\mathrm {i} })}}={\frac {29-29{\mathrm {i} }}{58}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\,.}$

Für diese Zahl ist ${\displaystyle {}0}$ eine beste ganzzahlige Approximation, wir nehmen also ${\displaystyle {}q=0}$ und erhalten ${\displaystyle {}a=0b+a}$. Wir drehen also die Sache um und erhalten

${\displaystyle {}{\frac {b}{a}}={\frac {3+7{\mathrm {i} }}{5+2{\mathrm {i} }}}={\frac {(3+7{\mathrm {i} })(5-2{\mathrm {i} })}{(5+2{\mathrm {i} })(5-2{\mathrm {i} })}}={\frac {29+29{\mathrm {i} }}{29}}=1+{\mathrm {i} }\,.}$

Das Ergebnis ist also eine ganze Gaußsche Zahl, und ${\displaystyle {}a}$ teilt daher ${\displaystyle {}b}$. Also ist ${\displaystyle {}a=5+2{\mathrm {i} }}$ der größte gemeinsame Teiler.

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon G\longrightarrow H.}$

Wenn ${\displaystyle {}\varphi }$ injektiv ist, so darf auf jedes Element ${\displaystyle {}h\in H}$ höchstens ein Element aus ${\displaystyle {}G}$ gehen. Da ${\displaystyle {}e_{G}}$ auf ${\displaystyle {}e_{H}}$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf ${\displaystyle {}e_{H}}$ gehen, d.h. ${\displaystyle {}\ker \varphi =\{e_{G}\}}$. Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass ${\displaystyle {}g,{\tilde {g}}\in G}$ beide auf ${\displaystyle {}h\in H}$ geschickt werden. Dann ist

${\displaystyle {}\varphi {\left(g{\tilde {g}}^{-1}\right)}=\varphi (g)\varphi ({\tilde {g}})^{-1}=hh^{-1}=e_{H}\,}$

und damit ist ${\displaystyle {}g{\tilde {g}}^{-1}\in \operatorname {kern} \varphi }$, also ${\displaystyle {}g{\tilde {g}}^{-1}=e_{G}}$ nach Voraussetzung und damit ${\displaystyle {}g={\tilde {g}}}$.

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativen Ringe mit ${\displaystyle {}6}$ Elementen.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring mit sechs Elementen und sei ${\displaystyle {}\mathbb {Z} \rightarrow R}$ der kanonische Ringhomomorphismus, der ${\displaystyle {}1}$ auf ${\displaystyle {}1}$ schickt. Die (additive) Ordnung der ${\displaystyle {}1}$ in ${\displaystyle {}R}$ (also die Charakteristik von ${\displaystyle {}R}$) ist ein Teiler von ${\displaystyle {}6}$. Die Ordnung eins ist nicht möglich, das wäre der Nullring. Bei Ordnung ${\displaystyle {}2}$ (oder ${\displaystyle {}3}$) wäre ${\displaystyle {}R}$ eine ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{2}}$ (bzw. ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{3}}$-)Algebra, also insbesondere ein Vektorraum über diesem Körper. Dann müsste aber die Anzahl eine Primzahlpotenz sein, was nicht der Fall ist. Also ist die Ordnung ${\displaystyle {}6}$ und der kanonische Homomorphismus ist surjektiv, also ${\displaystyle {}R\cong \mathbb {Z} /(6)}$, und dies ist der einzige kommutative Ring mit sechs Elementen.

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass ${\displaystyle {}a\in \mathbb {Z} }$ genau dann eine Einheit modulo ${\displaystyle {}n}$ ist, wenn ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}n}$ teilerfremd sind.

Sind ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}n}$ teilerfremd, so gibt es nach Satz 20.1 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) eine Darstellung der ${\displaystyle {}1}$, es gibt also ganze Zahlen ${\displaystyle {}r,s}$ mit

${\displaystyle {}ra+sn=1\,.}$

Betrachtet man diese Gleichung modulo ${\displaystyle {}n}$, so ergibt sich ${\displaystyle {}ra=1}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$. Damit ist ${\displaystyle {}a}$ eine Einheit mit dem inversen Element ${\displaystyle {}a^{-1}=r}$.

Ist umgekehrt ${\displaystyle {}a}$ eine Einheit in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$, so gibt es ein ${\displaystyle {}r\in \mathbb {Z} /(n)}$ mit ${\displaystyle {}ar=1}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$. Das bedeutet aber, dass ${\displaystyle {}ar-1}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}n}$ ist, sodass also

${\displaystyle {}ar-1=sn\,}$

gilt. Dann ist aber wieder ${\displaystyle {}ar-sn=1}$ und ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}n}$ sind teilerfremd.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein endlicher Körper mit ${\displaystyle {}q}$ Elementen.

a) Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum der Dimension ${\displaystyle {}d}$. Wie viele Elemente besitzt ${\displaystyle {}V}$?

b) Zeige, dass ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum genau dann endlich ist, wenn er endlichdimensional ist.

c) Wie viele Basen besitzt ein ${\displaystyle {}d}$-dimensionaler ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum?

a) Da es eine Basis ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{d}}$ gibt, ist ${\displaystyle {}V}$ isomorph zu ${\displaystyle {}K^{d}}$. Dieser Raum besteht aus allen ${\displaystyle {}d}$-Tupeln und besitzt damit ${\displaystyle {}q^{d}}$ Elemente.

b) Wenn ${\displaystyle {}V}$ endlichdimensional ist, so folgt die Endlichkeit der Menge ${\displaystyle {}V}$ direkt aus a). Wenn ${\displaystyle {}V}$ endlich ist, so kann man ganz ${\displaystyle {}V}$ als endliches Erzeugendensystem wählen. Eine Teilmenge davon bildet eine endliche Basis. Also ist ${\displaystyle {}V}$ endlichdimensional.

c) Wir überlegen uns, auf wie viele Arten wir eine Basis ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{d}}$ zusammenstellen können. Damit müssen wir nur beachten, dass ${\displaystyle {}v_{i+1}}$ jeweils nicht im dem von den ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{i}}$ erzeugten Untervektorraum liegt. Durch diese Bedingung besitzt dieser Untervektorraum insbesondere ${\displaystyle {}q^{i}}$ Elemente. Das bedeutet, dass man für ${\displaystyle {}v_{i+1}}$ genau ${\displaystyle {}q^{d}-q^{i}}$ Auswahlmöglichkeiten hat. Daher gibt es insgesamt

${\displaystyle {}(q^{d}-1)(q^{d}-q)(q^{d}-q^{2})\cdots (q^{d}-q^{d-2})(q^{d}-q^{d-1})=q^{\frac {d(d-1)}{2}}(q^{d}-1)(q^{d-1}-1)(q^{d-2}-1)\cdots (q^{2}-1)(q-1)\,}$

Basen.

Berechne

${\displaystyle {\left({\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {5}}\right)}\cdot {\left({\frac {4}{5}}+{\frac {5}{3}}{\sqrt {5}}\right)}.}$

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left({\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {5}}\right)}\cdot {\left({\frac {4}{5}}+{\frac {5}{3}}{\sqrt {5}}\right)}&={\frac {7}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}-{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{3}}\cdot 5+{\left({\frac {7}{3}}\cdot {\frac {5}{3}}-{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)}{\sqrt {5}}\\&={\frac {28}{15}}-{\frac {75}{6}}+{\left({\frac {35}{9}}-{\frac {6}{5}}\right)}{\sqrt {5}}\\&={\frac {56-375}{30}}+{\frac {175-54}{45}}\cdot {\sqrt {5}}\\&=-{\frac {319}{30}}+{\frac {121}{45}}\cdot {\sqrt {5}}\end{aligned}}}$

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen ${\displaystyle {}K\subseteq L\subseteq M}$.

Wir setzen ${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{K}L=n}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{L}M=m}$. Es sei ${\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{n}\in L}$ eine ${\displaystyle {}K}$-Basis von ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}y_{1},\ldots ,y_{m}\in M}$ eine ${\displaystyle {}L}$-Basis von ${\displaystyle {}M}$. Wir behaupten, dass die Produkte

${\displaystyle x_{i}y_{j},1\leq i\leq n,1\leq j\leq m,}$

${\displaystyle {}K}$

${\displaystyle {}M}$

bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum ${\displaystyle {}M}$ über ${\displaystyle {}K}$ aufspannen. Es sei dazu ${\displaystyle {}z\in M}$. Wir schreiben

${\displaystyle z=b_{1}y_{1}+\cdots +b_{m}y_{m}{\text{ mit Koeffizienten }}b_{j}\in L.}$

${\displaystyle {}b_{j}}$

${\displaystyle {}b_{j}=a_{1j}x_{1}+\cdots +a_{nj}x_{n}}$ mit Koeffizienten ${\displaystyle {}a_{ij}\in K}$ ausdrücken. Das ergibt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}z&=b_{1}y_{1}+\cdots +b_{m}y_{m}\\&=(a_{11}x_{1}+\cdots +a_{n1}x_{n})y_{1}+\cdots +(a_{1m}x_{1}+\cdots +a_{nm}x_{n})y_{m}\\&=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}a_{ij}x_{i}y_{j}.\end{aligned}}}$

Daher ist ${\displaystyle {}z}$ eine ${\displaystyle {}K}$-Linearkombination der Produkte ${\displaystyle {}x_{i}y_{j}}$.
Um zu zeigen, dass diese Produkte linear unabhängig sind, sei

${\displaystyle 0=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}c_{ij}x_{i}y_{j}}$

angenommen mit ${\displaystyle {}c_{ij}\in K}$. Wir schreiben dies als ${\displaystyle {}0=\sum _{j=1}^{m}(\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i})y_{j}}$. Da die ${\displaystyle {}y_{j}}$ linear unabhängig über ${\displaystyle {}L}$ sind und die Koeffizienten der ${\displaystyle {}y_{j}}$ zu ${\displaystyle {}L}$ gehören folgt, dass ${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i}=0}$ ist für jedes ${\displaystyle {}j}$. Da die ${\displaystyle {}x_{i}}$ linear unabhängig über ${\displaystyle {}K}$ sind und ${\displaystyle {}c_{ij}\in K}$ ist folgt, dass ${\displaystyle {}c_{ij}=0}$ ist für alle ${\displaystyle {}i,j}$.

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

${\displaystyle {}y=3x-2\,}$

gegebenen Geraden.

Der Einheitskreis ist durch

${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=1\,}$

gegeben. Darin setzen wir

${\displaystyle {}y=3x-2\,}$

ein und erhalten

${\displaystyle {}x^{2}+(3x-2)^{2}=10x^{2}-12x+4=1\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}x^{2}-{\frac {6}{5}}x+{\frac {3}{10}}=0\,}$

und damit

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {{\frac {6}{5}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {6}{5}}\right)}^{2}-4\cdot {\frac {3}{10}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {6}{5}}\pm {\sqrt {{\frac {36}{25}}-{\frac {6}{5}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {6}{5}}\pm {\frac {1}{5}}{\sqrt {6}}}{2}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {6}}}{10}}.\end{aligned}}}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}y_{1,2}&=3\cdot {\frac {6\pm {\sqrt {6}}}{10}}-2\\&={\frac {-2\pm 3{\sqrt {6}}}{10}}.\end{aligned}}}$

Die Schnittpunkte sind also ${\displaystyle {}\left({\frac {6+{\sqrt {6}}}{10}},\,{\frac {-2+3{\sqrt {6}}}{10}}\right)}$ und ${\displaystyle {}\left({\frac {6-{\sqrt {6}}}{10}},\,{\frac {-2-3{\sqrt {6}}}{10}}\right)}$.

Beschreibe eine Situation, an der man den Unterschied zwischen einer koordinatenfreien Geometrie und einer Geometrie mit Koordinaten erläutern kann.

Ist es möglich, zum Einheitsquadrat einen flächengleichen Kreis mit Zirkel und Lineal zu konstruieren?

Dies ist nicht möglich. Das Einheitsquadrat hat den Flächeninhalt ${\displaystyle {}1}$. Der Radius ${\displaystyle {}r}$ eines flächengleichen Kreises müsste die Bedingung

${\displaystyle {}\pi r^{2}=1\,,}$

also

${\displaystyle {}r={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,,}$

erfüllen. Wäre dies konstruierbar, so wäre nach Lemma 25.8 (Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)) auch der Kehrwert ${\displaystyle {}{\sqrt {\pi }}}$ konstruierbar, was aber die Quadratur des Kreises bedeutet würde.

Charakterisiere mit Hilfe von Fermatschen Primzahlen (ohne Beweis) diejenigen natürlichen Zahlen ${\displaystyle {}n}$, für die das reguläre ${\displaystyle {}n}$-Eck konstruierbar ist. Wende diese Charakterisierung für ${\displaystyle {}n}$ zwischen ${\displaystyle {}30}$ und ${\displaystyle {}40}$ an.

Zu einer natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n}$ ist das reguläre ${\displaystyle {}n}$-Eck genau dann konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}n}$ die Gestalt hat

${\displaystyle {}n=2^{\alpha }p_{1}{\cdots }p_{k}\,}$

mit verschiedenen Fermatsche Primzahlen ${\displaystyle {}p_{1},\ldots ,p_{k}}$. Dabei ist eine Fermatsche Primzahl eine Primzahl der Form ${\displaystyle {}p=2^{s}+1}$. Für das Zahlenintervall von ${\displaystyle {}30}$ bis ${\displaystyle {}40}$ sind nur die Fermatschen Primzahlen ${\displaystyle {}3,5,17}$ relevant, und daher sind lediglich die regulären ${\displaystyle {}n}$-Ecke für

${\displaystyle 30=2\cdot 3\cdot 5,\,32=2^{5},\,34=2\cdot 17,\,40=2^{3}\cdot 5}$

konstruierbar.